计算机数学09PPT学习教案

1、会计学1计算机数学计算机数学09基本要求、重点难点9.1数值计算中的误差 9.2函数插值法 9.3方程f(x)0的数值解法 9.4数值积分 第1页/共22页9.5常微分方程的数值解法9.6演示与实验八 第2页/共22页基本要求掌握数值计算方法。 了解函数插值法及数值积分。掌握方程f(x)0的数值解法及常微分方程的数值解法。 第3页/共22页重点难点重点：无穷个数的问题级数。级数在各种领域的应用及幂级数。难点：方程f(x)0的数值解法及常微分方程的数值解法。第4页/共22页9.1数值计算中的误差 1. 描述误差：在将实际问题转化为数学模型时，为了便于分析和计算，进行合理简化，往往要忽略一些次要因

2、素(如求物体下落速度时往往忽略空气阻力等)，这样产生的误差为描述误差。2. 测量误差：数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到的。而测量过程受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响，得到的数据与实际数据有一定的误差，称此类误差为测量误差。3. 舍入误差：计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这就必然产生舍入误差。4. 截断误差：当数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法来求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。 第5页/共22页9.2函数插值法 9.2.1有关概念 定义9.1 设yf(x)在a，b上有定义，且已知在点ax0 x

3、1xnb上的值y0，y1，y2，yn，若存在一简单函数P(x)使：P(xi)f(xi)成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，xn称为插值节点，包括插值节点的区间a，b称为插值区间。求插值函数P(x)的方法称为插值法。 从几何意义上：插值法就是求曲线yP(x)使其通过给定的n+1个点(xi，yi) (i0，1，n)，并用它近似已知曲线yf(x)，如图所示。 第6页/共22页定理9.1 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)多项式逼近定理) 设yf(x)是闭区间a，b上的任意连续函数，0为任意正数，则存在多项式P(x)，使对一切xa，b有 f(x)P(x)。第7页/共22页9.2

4、.2拉格朗日插值多项式 所谓插值法就是找一个多项式函数P(x)使在插值点xi (i0，1，2，n)上使P(xi )f(xi ) (i0，1，2，n)。拉格朗日插值多项式: 定理9.2 满足P(xi )f(xi ) (i0，1，2，n)，且次数不高于n的多项式P(x)是惟一的，即 式为惟一满足此要求的多项式，且若f(x)在a，b上存在n+1阶导数，则存在(a，b)，使f(x)P(x)f(n+1)()(n+1)!(xx0)(xx1)(xxn)。第8页/共22页9.3方程f(x)0的数值解法 9.3.1根的初始区间 例考察f(x)x3x10。注意到f(0)10，f(2)50，知f(x)在区间(0，2

5、)内至少有一个实根。 从上表可以看出区间1.0，1.5上，f(1.0)0，f(1.5)0，知区间(1.0，1.5)内必有一根，从而把f(x)在(0，2)上搜索根，很容易地缩小为(1.0，1.5)上搜索根。可见寻求方程根的初始区间很重要。用扫描法确定方程的根的初始区间，可给定一个扫描下界，如xa，然后按预先选定步长h，依次计算 f(a)，f(a+h)，f(a+2h)，f(a+nh)， 其中ba+nh是扫描区间的上界，同时检验每次函数值 f(a+kh)与f(a+(k1)h) 是否异号，如果是异号，表示方程f(x)0在区间a+(k1)h，a+kh内有根，即为一个初始有根区间。第9页/共22页9.3.

6、2二分法 二分法：用二分有根区间求方程近似根的方法。二分法的算法步骤如下：第10页/共22页9.3.3牛顿迭代法牛顿(迭代)公式：xn+1xnf(xn)/f (xn)。牛顿迭代法的算法步骤如下：第11页/共22页9.4数值积分 9.4.1矩形求积公式 第12页/共22页9.4.2梯形求积公式 第13页/共22页9.4.3抛物线法求积公式 第14页/共22页9.5常微分方程的数值解法 9.5.1欧拉公式 在式y(xi+1)yi+hf(xi+h，y(xi+h)中，取0，即取f(xi+h，y(xi+h)f(xi，yi)， 于是有y(xi+1)yi+hf(xi，yi)， 记右端值为yi+1，则有y(x

7、i+1)yi+1yi+hf(xi，yi)， 称为欧拉公式。它可以由y(xi)yi出发，求出y(xi+1)的近似值yi+1。第15页/共22页9.5.2改进欧拉公式在式y(xi+1)yi+hf(xi+h，y(xi+h)中，取0和1所对应的f(xi+h，y（xi+h）)的平均值去近似f(xi+h，y（xi+h）)。即取的 于是有上式中是含待求y(xi+1)的隐式，不能直接求出y(xi+1)的近似值。可以先利用欧拉公式算出y(xi+1)的一个初步近似值，记为i+1，称i+1为y(xi+1)的预报值，然后将i+1代入上式的右端的y(xi+1)，将右端计算出的值记为yi+1，称yi+1为y(xi+1)的

8、校正值，即称上式为改进欧拉公式。 第16页/共22页9.5.3龙格库塔公式 在式y(xi+1)yi+hf(xi+h，y(xi+h)中，取的某些特定值所对应的f(xi+h，y(xi+h)的近似值的加权平均值，作为f(xi+h，y(xi+h)的近似值，再逐次预报校正，便可以得到各种形式的龙格库塔公式。下面给出四阶龙格库塔公式： 第17页/共22页改进的欧拉公式可以写成二阶龙格库塔公式的形式：第18页/共22页9.6.1实验目的 9.6演示与实验八 1. 学习用Mathematica求插值多项式；2. 学习用Mathematica求方程的数值解。9.6.2内容与步骤1. 用Mathematica求插值多项式在Mathematica中产生插值多项式以下几种方法： (1) InterpolatingPolynomial插值数据，x这种方法得到的答案是准确结果，而不是近似函数。(2) Interpolation插值数据 这种方法得到的答案是一个如下形式的近似函数：InterpolatingFunction0，60，“” 第19页/共22页2. 用Mathematica求方程的数值