管理学线性代数PPT学习教案

1、会计学1管理学线性代数管理学线性代数2第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化复习：正交矩阵与正交变换的概念复习：正交矩阵与正交变换的概念定义定义4 4 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足EAAT（即（即 ），），TAA1那么称那么称 A 为为正交矩阵正交矩阵.122 AA正正交交，则则：）由由定定义义不不难难推推出出若若（均正交均正交，即，即正交，则正交，则即若即若正交，则正交，则得：若得：若）由逆矩阵可交换定义）由逆矩阵可交换定义（*11,1AAAEAAAAAAAATTTT 的正交向量组的正交向量组的列向量组是长度都为的列向量组是长度都为即即且且则

2、：则：）设正交矩阵）设正交矩阵（1., 2 , 1, 0, 1),(321AnjijiaaaaaaaAjTiiTin 第1页/共60页3的的一一个个规规范范正正交交基基的的列列向向量量组组是是则则正正交交，若若）的的结结论论性性无无关关的的，由由（）因因为为正正交交向向量量组组是是线线（nRAA,34的正交变换的正交变换到到为为为列向量，则为列向量，则为正交矩阵，为正交矩阵，）若）若（xyPxyyxP ,5（6 6）性质：正交变换不改变向量的长度）性质：正交变换不改变向量的长度向量组一样成立向量组一样成立的列向组成立的，对行的列向组成立的，对行）对正交矩阵）对正交矩阵（A7第十三讲：特征值应用

3、，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化的的正正交交向向量量组组的的列列向向量量组组是是长长度度都都为为即即且且即即：，1., 2 , 1, 0, 1100010001),(),(),(,),(2122212121112121212121AnjijiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAEAAaaaAjTiiTinTnTnTnnTTTnTTTnTnTTnTnTTn 第2页/共60页4四、特征值与特征向量的概念四、特征值与特征向量的概念1.定义定义：设设 A 是是 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x 使使关系式：

4、关系式：xAx（1）成立，那么称数成立，那么称数 为方阵为方阵 A 的的特征值特征值，非零向量非零向量 x 称为称为 A 对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量.注意：定义的几个要点注意：定义的几个要点（1） A 是是 n 阶矩阵，即方阵阶矩阵，即方阵（2）特征值）特征值 是数，是数，（3）特征向量）特征向量x 是非零向量是非零向量2.如何求特征值与特征向量如何求特征值与特征向量（1）特征值的求法）特征值的求法第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第3页/共60页5由定义（由定义（1）式也可写成）式也可写成:ExAx即即0 xEA（2）由于特征向量

5、由于特征向量x非零，所以方程（非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是）有非零解的充要条件是0 EA （3）（3）式是以）式是以为未知数的一元为未知数的一元 n 次方程，称为次方程，称为 A 的的特征方程特征方程在方程（在方程（3）或（）或（3*）中）中A 的特征值的特征值就是特征方程的根就是特征方程的根.因此因此, n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个特征值个特征值(重根按重数计算重根按重数计算).所以，求特征值就是解特征方程求出所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程个根的过程即即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa（3*）,)(EA f称为方阵称为方阵 A 的的特

6、征多项式特征多项式.经常地，经常地，记记第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第4页/共60页6（2 2）特征向量的求法：）特征向量的求法：设设 为方阵为方阵 A 的一个的一个特征值特征值，i则由方程则由方程, 0 xEAi可求得可求得非零解非零解 ，ipx 便是便是 A 的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量. ipi的特征向量；的特征向量；于特征值于特征值：说特征向量是指对应：说特征向量是指对应的特征向量；因此：的特征向量；因此：对应于对应于其解就是其解就是都有齐次方程组（都有齐次方程组（值值注意：对应每一个特征注意：对应每一个特征iiii

7、xEA 1, 0), 所所有有的的解解，即即通通解解是是求求出出（即即：所所有有的的特特征征向向量量就就的的特特征征向向量量就就有有多多少少。对对应应于于，其其解解有有多多少少，（对对应应于于一一个个齐齐次次方方程程组组：每每一一个个0) 0)2 xEAxEAiiii 第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量3.3.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质（1 1）利用特征值计算行列式）利用特征值计算行列式若若 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 的特征值为的特征值为 n ,21则则第5页/共60页7nnnaaa 221121 1)2)An 21（2）含含负负

8、指指数数）的的特特征征值值（是是则则的的多多项项式式是是关关于于的的特特征征值值是是矩矩阵阵若若AAfA)()(,)(, 1) 1) 设设是方阵是方阵 A A 的特征值，证明的特征值，证明: :的的特特征征值值是是kkA 0p证：证：因因是是 A A 的特征值，的特征值， 所以存在所以存在 使得使得. pAp于是于是ApApA2pAApP2ppAkk依次类推可得依次类推可得: :的的特特征征值值是是即即：kkA ppAppAppApA 10, 011 ，故：，故：所以所以因为因为得：得：可逆时，由可逆时，由证：当证：当 1)21的特征值为的特征值为，则，则的特征值为的特征值为可逆，可逆，若若

9、AAA第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第6页/共60页8 ppAApApAAaAaAaAaaAssmmmm）（）（特征值，即：特征值，即：）的）的（）为）为（则则的特征值，即的特征值，即为为若若）设）设 ,31110ppAppAppApApApAsskk ,11则由以上结论：则由以上结论：的特征向量的特征向量对应对应为为的特征值的特征值为为证：证：papapapapapAapAapAaApapapAssmmmmssmmmm 11101110)(ppaaaaassmmmm)()(1110 的特征值的特征值（为为即即)(A （3 3）不同的特征值对应的特

10、征向量线性无关）不同的特征值对应的特征向量线性无关线线性性无无关关。各各不不相相等等，则则对对应应的的特特征征向向量量，若若是是依依次次与与之之个个特特征征值值，的的是是方方阵阵定定理理：设设mmmmppppppmA,2121,2121 第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第7页/共60页9mxxx,21证证设有常数设有常数 ，0mmxxxppp2211即即, 0mmxxxpppA2211则则, 0mmmxxxppp222111, 0mmmmmmxxxppp122121111, 0mmmxxxppp222221121同理同理: :将上面各式写成矩阵的形式

11、将上面各式写成矩阵的形式: : 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 000, 第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第8页/共60页10 mmxxp pp pp p2211 x 11211 21111mmmm m 0 00 00 0或或: :当当 个不相同时，个不相同时，m ,21范德蒙德行列式范德蒙德行列式1122111111 mmmmm 0 mjiij1 则该方程组有唯一零解则该方程组有唯一零解, 0mmxxxppp2211但但 ，0ipmi, 2 , 1所以所以., 2 , 10mixi所以向量组所以向量组 线性无关线性无关.

12、.mppp,21第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第9页/共60页11第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化的的特特征征值值与与特特征征向向量量。求求矩矩阵阵，使使得得）求求矩矩阵阵（，维维列列向向量量，且且满满足足：的的是是线线性性无无关关，阶阶矩矩阵阵，为为分分）设设，数数学学（改改编编自自例例BBABAAAA)2(;)()(,1322331330513213213233223211321 BA)(311221001)()322()(13213213232321321 ，）由已知，）由已知，解：（解：（ 311

13、221001B所以，所以，第10页/共60页12 3122)1(311221001)2(EB先求特征值：先求特征值：0)4()1()54)(1(2)3)(2)(1(22 411, 4, 1321，特特征征值值为为所所以以， 第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化0)(, 121 XEBEB为系数的齐次方程组为系数的齐次方程组解以解以对特征值对特征值求特征向量：求特征向量： ， 000000211211211000EB第11页/共60页13 10,01,232321xxxxx令自由变量令自由变量得同解方程组：得同解方程组： 。为为任任意意实实数数且且不不同同

14、时时为为，特特征征向向量量为为：得得基基础础解解系系：0,1, 0, 2,0, 1, 121221121kkkkTT 0)4(, 43 XEBEB为为系系数数的的齐齐次次方方程程组组解解以以对对特特征征值值 ， 0001100011102200011112210034EB 0,110, 1,0333321 kkxxxxT 特征向量为；特征向量为；，则基础解系：则基础解系：令自由变量令自由变量得同解方程组：得同解方程组：第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第12页/共60页14的特征值。的特征值。）求（求（有特征值有特征值单位矩阵，若单位矩阵，若阶阶为为的

15、伴随矩阵，的伴随矩阵，为为阶矩阵，阶矩阵，为为）设）设（例例EAAnEAAAnA 2*, 03 .982 的负指数。的负指数。可含有可含有即为所求。注意，即为所求。注意，变成变成将将的特征值为的特征值为分析，本题已知分析，本题已知AAffAfEAA)()(),()(,2* 1,11*的特征值为的特征值为，则，则的特征值为的特征值为因为因为 AAAAAEAAEAAEAAf 212212*)()()()(1)(1)()(2212 AAf第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化的特征值的特征值阶矩阵阶矩阵也是也是的特征值，证明的特征值，证明阶矩阵阶矩阵是是设设BA

16、nBAmmnnm 0. 8).()()(, 0BpBpBABpABpBpABppp ，即即：且且：对对应应的的特特征征向向量量，是是证证：设设第13页/共60页15第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化的特征值。的特征值。为为由于由于矛盾。即得：矛盾。即得：与已知与已知即即即：即：假定假定则：易得：则：易得：令：令：BAqqBABpBpBAqppABpABpBpqqqpBnmmn .)().()(. 00, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0.11的特征值相同。的特征值相同。与与阶矩阵，证明阶矩阵，证明为为设设AAnAT. 6相相同同。征征方方程程相相

17、同同，即即特特征征值值特特征征多多项项式式相相同同，则则特特证证： EAEAEAEATTTT )()(。或或的的特特征征值值只只能能取取证证明明设设21, 023. 72AEAA pAEAAA，设设特特征征向向量量为为的的特特征征值值为为，则则证证明明：设设 232 . 2, 1, 0)2)(1(, 0, 0, 0, 0, ppAppA又又则：则：第14页/共60页16定义定义：设设 A、B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P , 使使-1P APB则称则称 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵， 或说矩阵或说矩阵 A 与与 B 相似相似.对对 A 进行运算进行运算,AP

18、P1称为称为对对 A 进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵可逆矩阵 P 称为把称为把 A 变成变成 B 的的相似变换矩阵相似变换矩阵.（2）对角化的概念：）对角化的概念：，简称可对角化，简称可对角化可对角化成可对角化成则称矩阵则称矩阵满足满足与对角矩阵与对角矩阵使得使得如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵对于任意矩阵对于任意矩阵 AAPPAPA,11.相似矩阵与对角化相似矩阵与对角化（1）相似矩阵的概念）相似矩阵的概念二、矩阵对角化问题的研究二、矩阵对角化问题的研究2.相似矩阵的性质相似矩阵的性质（1）特征值相同性）特征值相同性定理定理3 3 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似相似，则，则

19、A 与与 B 的特征多项式相的特征多项式相相同，从而相同，从而 A 与与 B 的的特征值也相同特征值也相同。第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第15页/共60页17证证因因 A 与与 B 相似，相似，即有可逆矩阵即有可逆矩阵 P，使使,1BAPP所以所以EBEPPAPP11PEAP1PEAP1EA（2）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素推论推论若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵n21 相似，则相似，则 即是即是 A 的的 n 个特征值个特征值.n,21证证因因 就是就是的的 n 个特征值，个特征值，

20、n,21由相似矩阵特征值相同定理知由相似矩阵特征值相同定理知 它们也是它们也是 A 的的 n 个特征值个特征值.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第16页/共60页18 .,4512422421.10yxyxA相似，求相似，求与与设方阵设方阵 第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,2012 ,4511yAyxyx 且且相似矩阵特征值相同相似矩阵特征值相同5, 4 yxyxyxxxxA483,201001560151010415100104042112422421 定理定理4 4 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相

21、似（即与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.1.n阶方阵阶方阵A对角化的条件对角化的条件三、对角化方法研究三、对角化方法研究求相似矩阵求相似矩阵P第17页/共60页19证：必要性：证：必要性： APPPA1满满足足：在在可可逆逆矩矩阵阵相相似似，由由相相似似定定义义，存存与与对对角角矩矩阵阵如如果果,21npppP把把 P P 用列向量表示为用列向量表示为nPP为为满满秩秩矩矩阵阵，即即秩秩为为可可逆逆，所所以以，方方阵阵因因为为线性无关线性无关充要条件，充要条件，根据向量组线性无关的根据向量组线性

22、无关的nppp,21 PAPAPP得得：根根据据：,1 nnnppppppA 212121, ,2211nnppp nApApAp,21于是有于是有iiipApni, 21而而 P P 的列向量的列向量 就是就是 A A 的对应于特征值的对应于特征值ip可见可见 是是 A A 的特征值，的特征值，ii的特征向量的特征向量.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第18页/共60页20充分性：如果充分性：如果有有个线性无关的特征向量，则以个线性无关的特征向量，则以这这个特征向量为向量组组成矩阵个特征向量为向量组组成矩阵，得得：由由iiipAp 即即：,2211

23、nnppp nApApAp,21 nnnppppppA 212121,相似相似与对角矩阵与对角矩阵。即。即，得：，得：根据：根据： AAPPPAP12.An对角化的判定方法对角化的判定方法个个特特征征向向量量对对每每一一个个特特征征值值求求一一个个特特征征向向量量第第一一步步任任务务：找找 n一个特征向量一个特征向量每一个特征值至少存在每一个特征值至少存在：结论结论nA1出一个特征向量出一个特征向量每一个特征值至少可求每一个特征值至少可求。基础解系至少一个向量基础解系至少一个向量有无穷多非零解。有无穷多非零解。（，。得解向量即为特征向量得解向量即为特征向量求解（求解（对每一个对每一个，得特征值

24、得特征值解方程解方程对于对于 0),)(00), 2 , 1(., 0,21xEAnEAREAxEAniEAAiiiiin 第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第19页/共60页21线线性性无无关关特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量第第二二步步任任务务：让让每每一一个个入下一步：入下一步：（图示如下）。否则进（图示如下）。否则进与对角矩阵相似与对角矩阵相似个特征值不相等，则个特征值不相等，则的的阶矩阵阶矩阵有推论：若有推论：若量线性无关，因此量线性无关，因此的特征值对应的特征向的特征值对应的特征向）由特征值性质，不同）由特征值性质，不同（AnAn1

25、。个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量重特征值恰有重特征值恰有则该则该，若，若重特征值（重特征值（的的是是：设：设）结论）结论（kkknEARkkAklkl,)()122 ，对应的特征向量。对应的特征向量。其解为其解为，解方程组，解方程组重特征值（重特征值（的的是是证：设证：设nknEARxEAkkAklklklkl )(0)()1 即特征向量。即特征向量。个线性无关的解向量，个线性无关的解向量，方程组的基础解系恰有方程组的基础解系恰有的秩的秩有非零解，且解集有非零解，且解集kkEARnSRSxEAklkl )()(0)( nklll211,，nklll211,，k第十三讲：特征值应用，相

26、似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第20页/共60页22概括矩阵概括矩阵A对角化的判断路线如下：对角化的判断路线如下：APPA1对角化方阵特征向量个无关是npppPn),(21的特征向量特征值对应个的是nApppn,21特征向量个对应值重特征向量，对应一个特征每一个特征值kkki特征向量个无关有的基础解系kxEAki0)(kSRknEARki)()(或量基础解系的无关特征向个求对应解kxEAki0)(Ppppn组成求出),(21是否可相似对角化是否可相似对角化的值，并讨论的值，并讨论二重根，求二重根，求的特征方程有一个的特征方程有一个分）设矩阵分）设矩阵，数学一、，数学一、（

27、例题例题AaaA 513413219041 EAA 的的特特征征多多项项式式为为解解：第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第21页/共60页23 513410)2(25134102251341321aaa)3188)(2()1(3)5)(3)(2(511331001)2(51341011)2(2aaaa 。，方方程程的的特特征征值值为为）（）（）此此时时特特征征方方程程为为（得得：即即：使使得得是是二二重重特特征征根根，则则）若若（622,62)128(2. 2, 0318162, 031882212222 aaa第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第

28、十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第22页/共60页24第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化可对角化可对角化即即个线性无关特征向量，个线性无关特征向量，对应由对应由，对于重根对于重根AEARnEAREA22, 213)2(1)2(,00000032132132132122 4442,)4)(2322对对于于二二重重根根，特特征征值值为为的的特特征征多多项项式式为为（时时，当当 Aa32,163183188222 aaa得：得：即为完全平方，即为完全平方，产生二重根，产生二重根，知，知，不是二重根，由题目已不是二重根，由题目已）若）若（ 第23页/共60

29、页25不可相似对角化不可相似对角化征向量，故征向量，故只有一个线性无关的特只有一个线性无关的特即二重根即二重根AEARnEAR42123)4(, 2)4( ， 0006203016206203012320620301132132330113213013234EA第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第24页/共60页26 对角化即可相似化，关键看是否有对角化即可相似化，关键看是否有n个无关特征向量，个无关特征向量，单根能保证，即关键是单根能保证，即关键是k k重根是否有重根是否有k k个无关向量。有一类个无关向量。有一类我们熟悉的矩阵叫对称矩阵，我们熟悉的

30、矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证相似化，对称矩阵不但能保证相似化，而且保证而且保证k重根有重根有k个无关特征向量，个无关特征向量，四、对称矩阵的对角化四、对称矩阵的对角化1.对称矩阵的概念对称矩阵的概念njiaajiij, 2 , 1,那么那么 A 称为称为对称矩阵对称矩阵.如对称矩阵的元素全是实数，则称为如对称矩阵的元素全是实数，则称为实对称矩阵实对称矩阵概念回顾：设概念回顾：设 A 为为 n 阶方阵，若满足阶方阵，若满足,AAT即即2.对称矩阵的性质对称矩阵的性质（1 1）定理）定理5 5实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.（2 2）定理）定理6 6 设设 是是对称矩阵对称

31、矩阵 A 的两个特征值的两个特征值，21,21, pp是对应的是对应的特征向量，特征向量，若若 ，21则则 与与 正交正交.1p2p第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第25页/共60页27证证,111App ,222App TTApp)()(111Tp11TTAp1ApT1211ppT21AppT221ppT212ppT02121ppT)(因 ，21021ppT有1p2p所以与正交.3.3.对称矩阵对角化结论：对称矩阵对角化结论：定理定理7:7:设设 A 为为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ，其中其中 是以是以 A 的的

32、 n 个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵.-1P AP使使T= P AP 该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论应用该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论应用第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化结论结论: : 设设 A 为为 n 阶阶对称矩阵对称矩阵，是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，重根，则矩阵则矩阵 的秩的秩 R =nk, EAEA从而对应特征值从而对应特征值恰有恰有 k个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.第26页/共60页28第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化

33、4.对称矩阵对角化的步骤概括：对称矩阵对角化的步骤概括：（1）求出）求出 A 的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值12,s 12,sk kk12(,)skkkn它们的重数分别为它们的重数分别为:。个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的基基础础解解系系，得得到到重重特特征征值值，求求出出方方程程组组）对对每每一一个个（kxEAkkk0)()1(2 化化个无关的特征向量单位个无关的特征向量单位）将）将（用施密特法正交化。用施密特法正交化。个基础解系的无关向量个基础解系的无关向量时，对时，对）当）当（nkk413 npppPPn,521 即：即：矩阵矩阵组成对角化的相似变换组成对角化的

34、相似变换个线性无关的单位向量个线性无关的单位向量）（第27页/共60页29 nTnnAPPAPPppp 2112121,6对角化的对角矩阵：对角化的对角矩阵：得到得到，的顺序，排列的顺序，排列）对照）对照（第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化第28页/共60页30第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化 本次课讲第五章第本次课讲第五章第4 4、5 5节，下次节，下次课讲第课讲第6,76,7节节 下次上课时交作业下次上课时交作业P45P45P46P46，P49-P50P49-P50第29页/共60页31APPA1对角化方

35、阵特征向量个无关是npppPn),(21的特征向量特征值对应个的是nApppn,21特征向量个对应值重特征向量，对应一个特征每一个特征值kkki特征向量个无关有的基础解系kxEAki0)(kSRknEARki)()(或量基础解系的无关特征向个求对应解kxEAki0)(Ppppn组成求出),(21对称矩阵对称矩阵对角化对角化求正交求正交矩阵矩阵P基础解系即基础解系即特征向量特征向量正交化并正交化并单位化单位化i求特征值0) xEAki（重根解方程，矩阵矩阵成正交成正交个规范正交特征向量组个规范正交特征向量组法求出法求出特别地：通过对角化方特别地：通过对角化方),(21npppPn nTAPPAP

36、P 211使得使得对对应应的的特特征征向向量量是是其其中中iip 第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第30页/共60页32得特征值得特征值1232,1. 解解:111111AE 22(1)(2)(1) (2) 1)当 时，12 12321101210 ,1120 xxx 2)(2)0A+E x得211121112101011 ,000得基础解系为得基础解系为1111 r例例1 设设 求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P P, , 使使 为对角矩阵为对角矩阵. .011101 ,110A APP1第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化

37、，二次型标准化第31页/共60页33当 时，231由()0A - E x得得r111000,000111111111A - E =其基础解系为其基础解系为: :211,0 10 .1 11111011 .22102 将将 正交化正交化：23, 2, 令233222, 单位化得单位化得: :1111 .31P第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第32页/共60页34将 单位化得：23, 2311111,12602 PP3) 于是得于是得: :123111326111,.32612036 PP P P可以验知可以验知: :121.1TPAPP AP第十四讲：

38、对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第33页/共60页35第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化Ppppppp阵阵将将其其单单位位化化，得得正正交交矩矩不不难难观观察察它它们们正正交交，故故无无关关，量量，是是不不同同特特征征值值的的特特征征向向解解321321, .,212,122,221, 1, 0, 13.13321321ApppAZ求求特征向量依次为特征向量依次为对应的对应的的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设 323132313232323231100000001323132313232323231,111TPPPP

39、AAPPPAAPP求求由特征值代入由特征值代入代入代入推出：推出：由由矩阵矩阵否可成正交规范即正交否可成正交规范即正交特征向量组成，观察是特征向量组成，观察是由无关由无关且且使得使得分析：求分析：求),(,3211pppPAPPP 第34页/共60页36 .212122221100000001212122221913231323132323232311000000013231323132323232311 PAPA第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化 .032323231032031 第35页/共60页37一、二次型的标准化一、二次型的标准化1.预备知识

40、：合同矩阵及其性质预备知识：合同矩阵及其性质若存在若存在可逆矩阵可逆矩阵 P , 使使 B=PTAP，设设A和和B是是 n 阶矩阵阶矩阵 , 定义定义9:9:称矩阵称矩阵A与与B合同合同.性质：合同矩阵对称性不变、秩不变性质：合同矩阵对称性不变、秩不变证证A 为对称矩阵， 即有 AT=A ，于是 BAPPAPPBTTTT 即即 B B 为对称矩阵为对称矩阵.定理定理: :则则 B 也为对称矩阵，且也为对称矩阵，且 R(B) = R(A).若若 A 为对称矩阵，为对称矩阵， 若存在若存在可逆矩阵可逆矩阵 P, 使使 B=PTAP，)()(BRARAPAPPBT 乘可逆矩阵秩不变原理乘可逆矩阵秩不

41、变原理为可逆矩阵，根据为可逆矩阵，根据，又因又因第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第36页/共60页382.二次型与二次型的标准型的概念二次型与二次型的标准型的概念（1）二次型的概念）二次型的概念定义定义8 8 含有含有 n 个变量个变量 的的二次齐次函数二次齐次函数 nxxx,21 22222211121,nnnnxaxaxaxxxf nnnnxxaxxaxxa1, 131132112222 （5）称为称为二次型二次型.为复数（实数）为复数（实数）ija称复（实）称复（实） 二次型二次型.f取 ，jiijaa ,2ijjijiijjiijxxaxxa

42、xxa 则则于是（于是（5 5）式可写作）式可写作nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa （6 6） njijiijxxa1,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第37页/共60页39（2 2）二次型的标准型）二次型的标准型对二次型来说，若存在对二次型来说，若存在可逆可逆的线性变换的线性变换 nnnnnnnnnnypypypxypypypxypypypx22112222121212121111（7）使二次型只含平方项，使二次型只含平方项，即将（即将（7 7）代入（）代

43、入（5 5），能使），能使.2222211nnykykykf 则（则（8 8）式称为二次型的标准）式称为二次型的标准形形。（8）3.3.二次型与标准型的矩阵表示形式二次型与标准型的矩阵表示形式由（由（6 6）式，利用矩阵，二次形可写成如下形式）式，利用矩阵，二次形可写成如下形式 本次课的中心议题是找到可逆变换本次课的中心议题是找到可逆变换P P，把二次型（，把二次型（5 5）变成标准型（）变成标准型（8 8）称作规范形）称作规范形则标准形（则标准形（如果如果8, 1 ik第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第38页/共60页40 nnxaxaxaxf12

44、121111 nnxaxaxax22221212 nnnnnnxaxaxax 2211 nxxx,21 nxxx,21 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa221122221211212111 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nxxx21第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第39页/共60页41记记,21 nxxx,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaAx则二次型可记作则二次型可记作AxxfT （9 9）其中其中 A A 为对称矩阵为对称矩阵. 任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，

45、任任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，二次型二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系与对称矩阵之间存在一一对应关系. .因此，我们把对称矩阵因此，我们把对称矩阵 A A 叫做叫做二次型二次型 f f 的矩阵的矩阵，也把，也把 f f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A A 的二次型的二次型. .对对称矩阵称矩阵A A 的秩就叫做的秩就叫做二次型的秩二次型的秩第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第40页/共60页42如：如：,4322yzxyzxf 用矩阵记号

46、写出来为用矩阵记号写出来为 zyxf, 220210213 zyx01即即式式）可以记作如下矩阵形）可以记作如下矩阵形型的标准型（型的标准型（根据同样的道理，二次根据同样的道理，二次yyfT 82222211nnTykykykyyf nnnyyykkkyyy212121,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第41页/共60页43的问题。的问题。即即使得使得的合同变换的合同变换也就是寻找可逆也就是寻找可逆的问题的问题变换成标准型变换成标准型次型次型准化问题就是把一般二准化问题就是把一般二综上所述，二次型的标综上所述，二次型的标 APPyyyAPPyAxxf

47、PyyfAxxfTTTTTTT,)(,二、将二次型标准化方法二、将二次型标准化方法定理定理8: 8: 任给二次型任给二次型 ,1,jiijnjijiijaaxxaf 总有总有正交变正交变换换,xy P使使 f f 化为标准形化为标准形,2222211nnyyyf 其中其中 是是f f 的矩阵的矩阵 A A = = 的特征值的特征值. .n ,21 ija第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第42页/共60页44 APPAPPPAAAxxfTT1,使使得得：存存在在可可逆逆的的正正交交矩矩阵阵论论对对称称，根根据据对对称称矩矩阵阵结结为为对对称称矩矩阵阵，

48、其其中中形形式式：证证：将将二二次次型型写写成成矩矩阵阵得：得：对二次型进行正交变换对二次型进行正交变换,Pyx yyyAPPyyAPPyAPyPyAxxfTTTTTT )()()( 1证证毕毕 2222211nnykykyk PAPPAPPT化是同一个化是同一个合同对角化与相似对角合同对角化与相似对角问题。而且，由于问题。而且，由于对称矩阵对角化对称矩阵对角化标准化问题实际上就是标准化问题实际上就是）本定理说明，二次型）本定理说明，二次型（11 iiiiTTkykfAAPPyxAxxfPAAPPAPP.,221的的系系数数的的特特征征值值）就就是是标标准准型型矩矩阵阵对对角角元元素素（对对角

49、角化化后后的的对对角角的的正正交交矩矩阵阵标标准准化化的的正正交交变变换换二二次次型型就就是是使使对对角角化化的的正正交交矩矩阵阵所所以以使使对对称称矩矩阵阵）（第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第43页/共60页45推论推论: : 任给二次型任给二次型总有总有可逆变换可逆变换,xz CAxxT fx使得使得fzC为规范形为规范形222121212,nnnfzzz12 的常数为的常数为即即iz2222211)(8nnTTyyyyyAxxPyxf ，证：由定理证：由定理, 11, 110,011 nririzyiiinrr 令：令：。为为，不为不为，不失

50、一般性，设不失一般性，设2222221112222211rrrrrzzzyyyf 得得：将将该该变变换换代代入入 f第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第44页/共60页46)1 , 1 ,1,1(,1rdiagKKzy 且且其中变换为其中变换为111111 iir 显然可逆且显然可逆且yyyAPPyPyAPyAxxfTTTTT )()()(得：得：综合综合,KzyPyx zPKAPKzzAPKPKzzKKzKzKzTTTTTTTT)()()()()()( 为为可可逆逆的的对对角角化化变变换换即即得得令令CzzPKxPKC )(,第十四讲：对称矩阵对角化

51、，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第45页/共60页47二次型标准化的解题过程，我们可概括如下：二次型标准化的解题过程，我们可概括如下：二次型的二次型的一般形式一般形式二次型的二次型的标准化标准化矩阵形式矩阵形式AxxfT通过正交通过正交变换变换Pyx yAPPyAxxfTTT)(APPT对称A对称矩阵对称矩阵对角化对角化求正交求正交矩阵矩阵P基础解系即基础解系即特征向量特征向量正交化并正交化并单位化单位化i求特征值0) xEAki（重根解方程对称性对称性不变不变秩不变秩不变BAPPT合同变换第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第46页

52、/共60页48为标准型为标准型化二次型化二次型分）求一个正交变换，分）求一个正交变换，数一，数一，（例例3231212322218444410.971xxxxxxxxxf 442442221A为为解：二次型的对称矩阵解：二次型的对称矩阵 450450012214424420221442442442221442442221,EAP 先先求求特特征征值值为为求求正正交交矩矩阵阵)9(20)4)(5(2 9, 0321 解得特征值解得特征值第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第47页/共60页49再求特征向量即基础解系再求特征向量即基础解系0, 0)0, 02

53、1 AxxEA即即解方程组（解方程组（对于对于 000000221442442221A得得令令同解方程为同解方程为 10,012232321xxxxx TT1, 0, 2)0, 1, 2(21 0)9(93 xEA，解方程组，解方程组对于对于 0001101020001104525424522289EA第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第48页/共60页50 0001101020001104525424522289EA得得令令同解方程组：同解方程组：, 2,2133231 xxxxx T2213， 量量为为化化：如如上上已已求求得得特特征征向向再再一一

54、步步，正正交交化化和和单单位位 TT1, 0, 2)0, 1, 2(21 T2213， 正交化即可正交化即可，已经两两正交只需要对已经两两正交只需要对应的特征向量应的特征向量，由于不同的特征值对，由于不同的特征值对对于三个特征向量而言对于三个特征向量而言21 第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第49页/共60页51单位化得：单位化得：，然后把然后把321 ,323231,535534532,05152321 32132132535032534513153252yyyxxx那那么么，经经正正交交变变换换9, 00，特征值为特征值为正交变换列向量对应的正交

55、变换列向量对应的239yf 二次型化成标准型为：二次型化成标准型为： 1545201254102,111212211 ， 54251第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化第50页/共60页52的解的解）求方程）求方程（化成标准型化成标准型将将）求正交变换）求正交变换的值；（的值；（）求）求（的秩为的秩为分）已知二次型分）已知二次型数一，数一，（例例0),(3,212)1(22)1()1(905232121232221 xxxffPyxaxxaxxaxaf由由已已知知二二次次型型，得得：的的秩秩，因因此此，矩矩阵阵二二次次型型的的秩秩即即对对应应对对称称解解A)1( ; 00200011200020011200011011200011011aaaaaaaaA 200011011, 0, 2)(AaAR即即第十四讲：对称矩