第二章测量误差分布

1、第第2章测量误差分布章测量误差分布自动化工程学院自动化工程学院自动化工程学院自动化工程学院自动化工程学院自动化工程学院 陈立军陈立军陈立军陈立军陈立军陈立军 主要内容 熟悉误差分布的基本概念、常见误差分布特征与熟悉误差分布的基本概念、常见误差分布特征与处理方法处理方法 直方图的绘制直方图的绘制 概率密度分布图概率密度分布图 误差分布的特征值误差分布的特征值 常见的误差分布常见的误差分布 常用的统计量分布常用的统计量分布 误差分布的统计检验误差分布的统计检验 主主 要要 内内 容容2.1 测量误差的统计特性 2.2 常见测量误差分布2.3常见的统计量分布2.4误差分布的分析与检验1234 2.1

2、测量误差的统计特性测量误差的统计特性一、测量点列图一、测量点列图某钢球工件直径重复测量某钢球工件直径重复测量150次，次，得到一个测量样本得到一个测量样本7.0857.3357.585iix单 峰 性 ： 数 据 集 中 在7.335附近有 界 性 ： 数 据 分 布 在7.085至7.585之间对称性：正负误差的数目大致相同；抵偿性：误差的总和大致趋于零,1,2,ixin （1 1）分组数）分组数=11=11，组距，组距=0.05mm=0.05mm；（2 2）依次定各组的频数、）依次定各组的频数、频率和频率密度；频率和频率密度；（3 3）以数据为横坐标，频）以数据为横坐标，频率密度为纵坐标，

3、在横坐率密度为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.60510152025二、统计直方图二、统计直方图,1,2,ixin 绘制统计直方图注意事项绘制统计直方图注意事项（1 1）样本大小：）样本大小： 确定误差的分布范围时，取确定误差的分布范围时，取 n=50n=50200200 确定误差分布规律时，最好取确定误差分布规律时，最好取n=200n=20010001000( () )子区间个数、间距：子区间个数、间距：当当n=50n=50100100时，时， 个

4、数个数=6=61010当当n=100n=100200200时，个数时，个数=9=91212当当n=200n=200500500时，个数时，个数=12=121717当当n = 500n = 500以上时，个数以上时，个数=20=20252mn251.871mnmaxmin1 3.3logxxxn 可用下列两个公式之一来计算分组数 或间距 或mx 把各直方柱顶部中点把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得用直线连接起来，便得到一条由许多折线连接到一条由许多折线连接起来的曲线。当测量样起来的曲线。当测量样本数本数n n无限增加，分组无限增加，分组间隔趋于零，图中直方间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光

5、滑的图折线变成一条光滑的曲线，即测量总体的概曲线，即测量总体的概率（分布）密度曲线，率（分布）密度曲线，记为。这就是用记为。这就是用实验方法由样本得到的实验方法由样本得到的概率密度概率密度分布曲线。分布曲线。 ( )f x( )f x77.17.27.37.47.57.60510152025三、概率密度（分布）图三、概率密度（分布）图（测量总体） 概率密度曲线完好的描述了随机误差的统计规律。概率密度曲线完好的描述了随机误差的统计规律。( )f x 1f x dx 1bap axbf x dx 概率密度函数的几何意义 置信区间置信区间 显著性水平（又称显著度或危险率）显著性水平（又称显著度或危险

6、率） 置信概率（或置置信概率（或置信水平），简记为符号信水平），简记为符号概率密度的性质概率密度的性质有两个性质有两个性质axb1p pf x ( )p=1_abx 四、统计分布特征值四、统计分布特征值尽管误差分布反映了该误差的全貌，但在实际使用中尽管误差分布反映了该误差的全貌，但在实际使用中更关心代表该误差分布的若干数字特征量。更关心代表该误差分布的若干数字特征量。p 数学期望数学期望p 标准偏差标准偏差p 偏态系数偏态系数p 峰态系数峰态系数p 协方差协方差p 相关系数相关系数 p 数学期望（加权平均）数学期望（加权平均）()( )e xxfx dx定义定义一阶原点矩，它表示随机一阶原点矩

7、，它表示随机变量分布的位置特征。它与变量分布的位置特征。它与真值之差即为系统误差，如真值之差即为系统误差，如果系统误差可以忽略，则果系统误差可以忽略，则 就是被测量的真值就是被测量的真值 123 三条测量值分布曲线的精密度相三条测量值分布曲线的精密度相同，但正确度不同。同，但正确度不同。数学期望代表了测量的最数学期望代表了测量的最佳估计值，或相对真值的佳估计值，或相对真值的系统误差大小系统误差大小 p 标准偏差标准偏差 二阶中心矩，称为二阶中心矩，称为x x的标准（偏）的标准（偏）差，差， ，的大小表征了随机，的大小表征了随机误差的误差的分散程度分散程度，即大部分分布，即大部分分布在在 范围内

8、，可作为随机误差范围内，可作为随机误差的评定尺度的评定尺度 定义定义22()()( )d xxf x dx()d x123123三条误差分布曲线的正确度相三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同同，但精密度不同 标准差代表了该测量条件标准差代表了该测量条件下的测量结果分散性的大下的测量结果分散性的大小，或是该测量分布的小，或是该测量分布的随随机误差机误差大小大小 p 偏态系数偏态系数120 xf x ( )3030定义定义33()( )xf x dx333三阶中心矩，三阶中心矩， 将将 无无量纲化，量纲化， 称为偏态系数，称为偏态系数， 描述了测量总体及其误差描述了测量总体及其误差分布的非对

9、称程度分布的非对称程度 33曲线曲线具有正具有正( (右右) )偏态，曲偏态，曲线线具有负具有负( (左左) )偏态偏态3 p 峰态系数峰态系数f x ( )0 x444344()( )xf x dx定义定义 表征了测量总表征了测量总体及其误差分布的峰凸程度。体及其误差分布的峰凸程度。 是将是将 无量纲化，也称峰度，无量纲化，也称峰度，而而 是按标准正态分布归零，是按标准正态分布归零，即对于正态分布超越系数即对于正态分布超越系数 视为零视为零 4444,44444434341.2 较尖峭的分布有较尖峭的分布有 ，较平，较平坦的分布有坦的分布有 4040 p 协方差协方差定义定义( , )()(

10、) ( , )xycov x yxyf x y dxdy ( , )xxf x y dxdy ( , )yyf x y dxdy 式中式中协方差协方差 表示了两变量间的相关程度表示了两变量间的相关程度 ( , )cov x y p 相关系数相关系数=10.5=0.5=_=0( , )xycov x y 定义定义表示了两个变量间线性相表示了两个变量间线性相关的程度关的程度 越小，越小，x x，y y之间线性相之间线性相关程度越小，关程度越小， 取值越大，取值越大，x x，y y之间线性相关程度越大之间线性相关程度越大 |11 当当 ， x x与与y y正相正相关，当关，当 ，x x与与y y负负

11、相关相关 0110 线性相关正相关负相关线性不相关 数学期望名称定义方差几何意义误差意义偏态系数峰态系数协方差()( )e xxfx dx位置特征实际值正确度22()()( )d xxf x dx弥散分散性，精密度33()( )xf x dx333不对称误差分布不对称性444344()( )xf x dx尖峭误差分布尖峭程度( , )()() ( , )xycov x yxyf x y dxdy 两误差关联程度统计分布常用的特征值统计分布常用的特征值 2.2 常见测量误差分布常见测量误差分布p 正态分布正态分布p 标准偏差标准偏差p 均匀分布均匀分布p 三角分布三角分布p 瑞利分布瑞利分布p

12、反正弦分布反正弦分布p 分布分布几种常见的误差分布几种常见的误差分布 一、正态分布一、正态分布服从正态分布的条件服从正态分布的条件 误差因素多而小，无一个占优，彼此相互独误差因素多而小，无一个占优，彼此相互独立（中心极限定理）。立（中心极限定理）。一般认为，当影响测量的因素在一般认为，当影响测量的因素在1515个以上，且相个以上，且相互独立，其影响程度相当，可以认为测量值服从正互独立，其影响程度相当，可以认为测量值服从正态分布；若要求不高，影响因素则应在态分布；若要求不高，影响因素则应在5 5个（至少个（至少3 3个）以上，也可视为正态分布。个）以上，也可视为正态分布。 概率密度函数概率密度函

13、数 221exp22xfx正态分布的密度函数：正态分布的密度函数： 为测量总体的数学期望，如不计系统误为测量总体的数学期望，如不计系统误差，则差，则 即为随机误差即为随机误差 x 为测量总体的标准差，也是为测量总体的标准差，也是 随随机误差的标准差机误差的标准差 x （1 1）单峰性：小误差出现的）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大。概率比大误差出现的概率大。（2 2）对称性：正误差出现的）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。概率与负误差出现的概率相等。（3 3）抵偿性：随测量次数增）抵偿性：随测量次数增加，算术平均值趋于零。加，算术平均值趋于零。分布的误差特性分布的误差

14、特性正态分布的这三个特点与误差大样本下的统计特性相符。但在理论上，正态分布无界，这也是正态分布与实际误差有界性不相符之处。 正态分布的置信概率 误差在分布区间 的置信概率 ,kk 221exp( )22kkpdk 2202( )2zkkedz式中368.26% 95.45% 99.73% 322( )f x置信概率置信概率 正态积分函数，已制成正态积分表( )k 置信因子k 正态分布的某些正态分布的某些k值的置信概率值的置信概率3.33.02.582.01.96 1.6451.00.67450.9990.9973 0.990.9540.950.900.6830.5k0.001 0.0027 0

15、.010.046 0.050.100.3170.5p (1) (1) 经典误差理论都是建立在正态分布的经典误差理论都是建立在正态分布的基础基础上。上。凡是有凡是有3 3、5 5个以上的、差不多微小的、独立影响个以上的、差不多微小的、独立影响的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。正态分布在误差理论和实践中的地位正态分布在误差理论和实践中的地位(2) (2) 许多非正态分布可以用正态分布来表示。许多非正态分布可以用正态分布来表示。(3) (3) 正态分布的概率密度函数具有简单的

16、数学形正态分布的概率密度函数具有简单的数学形式和优良的性质。式和优良的性质。当然，也有不少的误差分布并不能简单地用正态当然，也有不少的误差分布并不能简单地用正态分布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要分布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要进一步研究非正态分布的问题。进一步研究非正态分布的问题。 二、均匀分布二、均匀分布若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。均匀分布，也称为等概率分布。 概率密度函数概率密度函数 12( )0aafa数学期望数学期望0方差方差223a标准方差标准方差3a置信因子置信因子 3ako -a

17、 a ()f xx 服从均匀分布的可能情形服从均匀分布的可能情形 (1) (1) 数据截尾引起的舍入误差数据截尾引起的舍入误差; ;(2) (2) 数字显示末位的截断误差数字显示末位的截断误差(3) (3) 瞄准误差瞄准误差; ;(4) (4) 数字仪器的量化误差数字仪器的量化误差; ;(5) (5) 齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差；引起的误差；(6) (6) 多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。 三、三角分布三、三角分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望0标准方差标准方差6a220(

18、)0axaxaf xaxxaa 当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差就是三角分布。就是三角分布。 f (x)_aax_0 四、反正弦分布四、反正弦分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望0e 标准方差标准方差2a()f xx221( )0axaf xax其他a a -a -a o o 服从反正弦分布的可能情形服从反正弦分布的可能情形 度盘偏心引起的测角误差；度盘偏心引起的测角误差；正弦（或余弦）振动引起的位移误差；正弦（或余弦）振动引起的位移误差；无线电中失配引起的误差。无线电中失配引起的误差。 五、瑞利分布五、瑞利分布概率密度函数概率密度函数

19、 数学期望数学期望标准方差标准方差服从瑞利分布的可能情形服从瑞利分布的可能情形 偏心值偏心值在非负值的单向误差中，由于偏在非负值的单向误差中，由于偏心因素所引起的轴的径向跳动心因素所引起的轴的径向跳动 刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差 2222( ),0 xaxf xexa 2a42a()f xx齿轮和分度盘的最大齿距累积误差齿轮和分度盘的最大齿距累积误差 六、贝塔分布六、贝塔分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差111( )1() ( , )ghxaxaf xba b g hbababgahgh()()1baghghgh ()f xx(4,

20、4)(0.5,0.5)(2.5,2.5)在给定分布界限下通在给定分布界限下通过参数取不同值，贝塔过参数取不同值，贝塔分布可呈对称分布、非对称分布可呈对称分布、非对称分布、单峰分布、递增或递分布、单峰分布、递增或递减分布等，可逼近常见的正减分布等，可逼近常见的正态、三角、均匀、反正弦、态、三角、均匀、反正弦、瑞利等各种典型分布。贝塔瑞利等各种典型分布。贝塔分布具有可逼近各种实际误分布具有可逼近各种实际误差分布的多态性。差分布的多态性。 , a b,g h 贝塔分布在理论上就是有界的。贝塔分布在理论上就是有界的。不像正态、瑞利等呈拖尾型分不像正态、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合误差的基本特性布，完全

21、符合误差的基本特性即有界性。即有界性。 贝塔分布的性质与密度函数图贝塔分布的性质与密度函数图 常见分布的数字特征量常见分布的数字特征量名称正态分布区间半宽度标准差期望等价( , )g h均匀分布三角分布反正弦分布瑞利分布3(0.9973)p 9(4,4)(1,1)(2.5,2.5)(0.5,0.5)(4,4)aaa3a6a2a0004222/2a 2.3常见的统计量分布常见的统计量分布本节介绍常用的统计量分布，包括本节介绍常用的统计量分布，包括t t分布分布 f f分布，分布。分布，分布。2前边介绍主要是单个统计量分布，实际前边介绍主要是单个统计量分布，实际中要常用到变量间组合也就是函数的统计

22、中要常用到变量间组合也就是函数的统计分布。分布。 一、分布定义定义若为独立服从同分布 的随机误差，则(0,1)n称服从为自由度为的分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差212, 22221222( ) 12221( )022xf xxex12(1)( )f xx201014 二、t分布定义定义若随机误差，随机误差，且和相互独立，则(0,1)n2( ) t 服从的分布称为自由度为的t分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差12212( )12xf x0(2)2o 521( )f xx 当自由度足够大时，t分布趋近于正态分布。t t分布在误差理

23、论和实践中的应用分布在误差理论和实践中的应用t分布在研究正态小子样（测量次数较少时），是一个严密而有效的理论分布。 正态样本的算术平均值构成的如下统计量服从自由度为的t分布。/xtsn1n其测量算术平均值满足 /2( )/)1p xtsnp t分布的临界值 ，满足/2( )1pttp 三、f分布定义定义若，则称服从为自由度为的f分布。 12, 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准方差标准方差21 11( ) 2222() 12f12( ,)f 11121221212122122( )221xf xx222222212221222(2)4(2) (4) ( )f xx1210, 121

24、0,101210,4 2.4误差分布的分析与检验误差分布的分析与检验本节介绍确定误差分布规律的几种方法，包本节介绍确定误差分布规律的几种方法，包括物理来源法，函数关系法以及图形判断法。括物理来源法，函数关系法以及图形判断法。最后介绍有关分布检验的知识，最后介绍有关分布检验的知识，2包括正态分布统计检验（夏皮罗包括正态分布统计检验（夏皮罗- -威尔克检验、威尔克检验、偏态系数和峰态系数检验）和一般分布检验偏态系数和峰态系数检验）和一般分布检验（皮尔逊检验）（皮尔逊检验）。 物理来源判断法物理来源判断法 根据测量误差产生的来源，可以判断根据测量误差产生的来源，可以判断其属于何种类型其属于何种类型

25、如其测量受到至少有如其测量受到至少有三个以上三个以上独立的、微独立的、微小而大小相近的因素的影响，则可认为它小而大小相近的因素的影响，则可认为它服从或接近正态分布。服从或接近正态分布。测量值在某范围内各处出现的机会相等，测量值在某范围内各处出现的机会相等，则可认为它服从均匀分布。则可认为它服从均匀分布。一、误差分布的分析与判断一、误差分布的分析与判断 函数关系法函数关系法 利用随机变量的函数关系，来判断误差属于何种分布。 ()/2若与都在-a，a内服从均匀分布，则服从三角分布 (0,)n22若与都服从正态分布 ，则 服从偏心分布(瑞利分布) 0sin()m若服从均匀分布，则 服从反正弦分布 图

26、形判断法图形判断法对重复测量获得的样本数据绘出频率密度直方图，并与各种常见的概率密度分布曲线相比较，判断它与何种分布相接近。 统计检验的步骤统计检验的步骤 1 1、概念、概念事先对分布形式作出某种假设事先对分布形式作出某种假设然后利用样本信息来判断原假设是否成立然后利用样本信息来判断原假设是否成立2 2、类型、类型正态分布统计检验正态分布统计检验一般分布检验一般分布检验v夏皮罗夏皮罗- -威尔克检验威尔克检验v偏态系数检验偏态系数检验v峰态系数检验峰态系数检验v皮尔逊检验皮尔逊检验 二、误差分布的统计检验二、误差分布的统计检验 皮尔逊 检验( 且已知 )2 1、提出原假设00:( )( )hf

27、 xf x总体 的分布函数 未知 x( )f x 某个已知的分布函数 0( )f x2、计算统计量221()miiiifnpnp总体中抽取出一个容量为 的样本 12,.nx xxn把整个数轴分成 个区间 m1121(,( ,(,)maa aa 频数，样本的观察值落在第 个区间的个数 ifi由 计算出总体 在各区间内取值的概率 x10100101()( )()1()iiimmpf apf af apf a 2,3,4,1im0( )f x50n2 检验(续)2 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 。4、作出决策。2(1)m若 ，拒绝，则认为 。反之， 0h22(1)m0( )( )f

28、xf x0( )( )f xf x思路是当样本个数充分大时，频率和概率应当思路是当样本个数充分大时，频率和概率应当相差不会太大，如果超出某种限度，则假设就相差不会太大，如果超出某种限度，则假设就会推翻。会推翻。 皮尔逊检验(分布中含有未知参数)1、提出原假设0012:( )( ,)khf xf x 总体 的分布函数 未知 x( )f x 某个已知形式的分布函数， 未知参数 012( ,)kf x 12,k 2、计算统计量221()miiiifnpnp总体中抽取出一个容量为 的样本 12,.nx xxn 在 下利用样本给出 的极大似然估计 0hi(1)jjk把整个数轴分成 个区间 m1121(,

29、( ,(,)maa aa 频数，样本的观察值落在第 个区间的个数 ifi由 计算出总体 在各区间内取值的概率 x1011201201120112 (,) ( ,)(,) 1(,)kiikikmmkpf apf af apf a 2,3,4,1im 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 。4、作出决策。2(1)mk若 ，拒绝 0h22(1)mk012 ( ,)kf x 皮尔逊检验(续) 【例【例2-12-1】 用阿贝比较仪测量某轴承直径 100次，依次测得 ， 的数据见下所列， 的单位0.1 。检验 是否服从正态分布。 l299950iillililml0 -5 11 -10 17 -3

30、 -13 6 4 7 1 -5 -6 -3 13 -1 -1 5 9 7 -3 9 -8 3 -2 -24 -30 -2 1 -2 4 2 -5 -13 1 -7 -1 0 -4 -7 0 7 17 5 10 0 -2 6 3 8 6 -3 -3 -10 0 5 2 -8 0 4 2 2 6 -11 5 2 7 -1 12 0 -19 10 -1 7 9 2 -5 14 -6 -5 8 3 8 -9 4 -5 -8 8 -8 4 -13 -9 -10 -10 2 13 2 -4 6 -7 计算步骤【解【解】检验 20: ( ,)hln 由于 中含有未知参数，故需先进行参数估计。在正态分布下，

31、和 的极大似然估计为 0h2299950100ill2221()8.061illn将 取值分成8组，然后计算概率 lip110299950(10299950)pp l 11()2,7iiiiixxpp xlxi 810299950(10299950)1ppl 计算结果10l 510l 25l 02l 20l 52l 105l 10l 频数ifipinpiifnp2()iiifnpnpil70.10710.75-3.751.31150.16016.01-1.010.06130.13313.37-0.370.0890.0989.87-0.870.08100.0989.870.130160.1331

32、3.372.630.52210.16016.014.991.5690.10710.75-1.750.281003.82 结论 给定显著性水平 ，自由度8-2-1=5,由 分布表查得临界值 0.0520.05(5)11.12因为20.05(5)11.13.82所以，接受 ，故可认为这些测量服从正态分布 0h组数未知数个数 夏皮罗威尔克检验夏皮罗-威尔克检验又称w检验 时检验效果最佳，并且计算简便。350n只能用于正态性检验 w检验的实施步骤从总体中抽取出一个容量为 的样本 12,.nx xxn(1) 将样本的观测值按由小到大排列成为其次序统计量 (1)(2)( )nxxx(2) 计算检验统计量

33、22(1)( )121()ninn iiiniixxwxx (3) 查表。由夏皮罗-威尔克值表查出 ， 为给定的显著性水平； ( ,)w n(4) 判断。若 ，则拒绝正态性假设( ,)ww n夏皮罗夏皮罗威尔克威尔克当当 n为偶数时取为偶数时取n/2，当，当n奇数时取（奇数时取（n1）/2 【例【例2-22-2】用夏皮罗-威尔克法检验该组数据是否来自正态分布。 将某量独立测得结果按从小到大排列成（n=10）108，109，110，110，110，112，112，116，119，124 【解【解】查夏皮罗-威尔克系数 表得出 in1,100.57392,100.32913,100.21414,1

34、00.12245,100.0399 计算结果计算 5(1)( )1(10)(1)(9)(2)(8)(3)(7)(4)(6)(5)()0.5379()0.3291()0.2141()0.1224()0.0399()14.0826inn iiixxxxxxxxxxxx 1021()236iixx214.08260.840236w 给定显著性水平 ，查表得0.05(10,0.05)0.842w因为， ，故拒绝正态性假设 0.840(10,0.05)ww 偏态系数检验(1) 给出备择假设 （正偏）或 （负偏） 1:0sh1:0sh(2) 计算检验统计量 332smbm2211()niimxxn3311()niimxxn(3) 查表。 根据显著性水平 和样本容量 ，由偏态统计量的分位数表查出 (4) 判断。当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设；当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设n1z1:0sh1sbz1:0sh1sbz 【例【例2-