同济第三版-高数-(7.6) 第六节 旋转曲面及二次曲面

1、 经典的几何观念将经典的几何观念将“面面”看成是立体与看成是立体与立体的公共立体的公共部分，部分，“线线”看成是面与面的公共部分。看成是面与面的公共部分。 按照这种观念，曲线方程可通过联立曲面方程，并按照这种观念，曲线方程可通过联立曲面方程，并由相应的方程组来讨论曲线。这对于由相应的方程组来讨论曲线。这对于较为简单的较为简单的曲线，讨论起来相对方便，曲线，讨论起来相对方便，如直线、圆锥曲线等，但如果所论曲如直线、圆锥曲线等，但如果所论曲线较复杂，按这种观念考察则会产生线较复杂，按这种观念考察则会产生困难，讨论起来也不尽方便。困难，讨论起来也不尽方便。 轨迹观念是由近代对质点运动的研究产生的对图

2、形轨迹观念是由近代对质点运动的研究产生的对图形的认识，这种的认识，这种认识是认识是将将“曲面曲面”和和“曲线曲线”看成是动点看成是动点运动形成的轨迹运动形成的轨迹。 按照这种观念，曲线和曲面的方程可通过将运动按照这种观念，曲线和曲面的方程可通过将运动轨迹转化为相应的代数形式来讨论。轨迹转化为相应的代数形式来讨论。这种这种观念观念对对曲线的讨论常较为方便，曲线的讨论常较为方便，但对于曲面的研究则不尽然。因但对于曲面的研究则不尽然。因此轨迹法主要用于讨论曲线。此轨迹法主要用于讨论曲线。 对于曲面讨论较方便的方法是将曲面看成是给定对于曲面讨论较方便的方法是将曲面看成是给定曲线按一方式运动形成的图形曲

3、线按一方式运动形成的图形。 根据这种观念，常可较方便地根据这种观念，常可较方便地由曲线方程导出曲面方程，但这种由曲线方程导出曲面方程，但这种观念缺乏一般性，通常仅用于讨观念缺乏一般性，通常仅用于讨论一些特殊的曲面，如旋转曲面论一些特殊的曲面，如旋转曲面、柱面等。、柱面等。L 由一条平面曲线由一条平面曲线 C 绕该平面内的一条直线绕该平面内的一条直线 L 旋转一旋转一周而成的曲面周而成的曲面 称为旋转曲面。直线称为旋转曲面。直线 L 称为旋转曲面称为旋转曲面的旋转轴，曲线的旋转轴，曲线 C 称为旋转曲面的母线。称为旋转曲面的母线。 C 设有设有 yOz 平面上的曲线平面上的曲线试确定试确定 C

4、绕绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面轴旋转一周所得旋转曲面 的的方程。方程。 由曲面与方程的对应关系由曲面与方程的对应关系的讨论知，建立曲面的讨论知，建立曲面 方程应分两步方程应分两步进行，即先考虑所论曲面进行，即先考虑所论曲面 上的点上的点坐标所满足的方程坐标所满足的方程 F( x , ,y , ,z )= 0 的形式，再考察坐标所满足该方程的形式，再考察坐标所满足该方程的点是否都在所论曲面的点是否都在所论曲面 上。上。 00f y zCx.: :, 设设 M( x , ,y , ,z )为旋转曲面为旋转曲面 上的任意一点，考虑点上的任意一点，考虑点M 所满足的方程。所满足的方程。 考察点考察点

5、 M( x , ,y , ,z )坐标满足的方程，应考坐标满足的方程，应考虑将点虑将点 M 与已知条件与已知条件发生联系。发生联系。 由于旋转曲面由于旋转曲面 是是曲线曲线 C 绕绕 y 轴旋转而得轴旋转而得的，故考虑建立点的，故考虑建立点 M 的的坐标与母线坐标与母线 C 的联系。的联系。yOxz f y zCx00,. .: :M 过点过点 M 作垂直于作垂直于 y 轴的平面交曲线轴的平面交曲线 C 于点于点 M ，交，交y 轴于点轴于点 P 分别分别设点设点 M , , P 坐标为坐标为 M ( 0 , ,y , ,z ), , P( 0 , ,y , ,0 ). 由旋转曲由旋转曲面的性

6、质知面的性质知yO PMPM . . zx f y zCx00,. .: :MMP 考虑将此几何关系转化为代数条件。考虑将此几何关系转化为代数条件。 由于由于 M ( 0 , ,y , ,z )是曲线是曲线 C 上的点上的点 ，故其坐标满足，故其坐标满足C 的方程，即有的方程，即有 f( y , ,z )= 0 . 将导出的坐标关系式代入该方程便得点将导出的坐标关系式代入该方程便得点 M( x , ,y , ,z )的坐标满足的方程为的坐标满足的方程为 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM .由由于于 2222zxzzxz , .故故有有即即 ffy zyxz220 .

7、 ., 设设 M( x , ,y , ,z )为坐标满足方程为坐标满足方程的任意一点，考察点的任意一点，考察点 M 是否在是否在旋转曲面旋转曲面 上。上。 要说明点要说明点 M 在在 上，可将点上，可将点 M 绕绕 y 轴旋转，看其轴旋转，看其是否能转至曲线是否能转至曲线 C 上。上。 过点过点 M 作垂直于作垂直于 y 轴的平面交轴的平面交 y 轴于轴于点点 P，将点，将点 M 在该平在该平面内绕点面内绕点 P 旋转至旋转至 yOz 平面得点平面得点 M yO fyxz220,xz f y zCx00,. .: :MMP 设点设点 M , , P 坐标分别为坐标分别为 M ( 0 , ,y

8、, ,z ), , P ( 0 , ,y , ,0 ),由由 M 至至 M 的的旋转过程知旋转过程知 故点故点 M ( 0 , ,y , ,z )的的 坐标满足坐标满足曲线曲线 C 的方程的方程因此点因此点 M ( 0 , ,y , ,z )在曲线在曲线 C 上。由于点上。由于点 M 是点是点 M 绕绕 y 轴旋转而得轴旋转而得的点，故可知点的点，故可知点 M 在在旋转旋转曲面曲面 上。上。 PMPM , , 且且有有 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM . . 2222zxzzxz ，即即 .故故求求得得 220fyxz, ,由由已已知知 2200ffy zyxzx

9、 , . 由上讨论求得旋转曲面由上讨论求得旋转曲面 的方程为：的方程为： 220fyxz: :,yOxz 220fyxz: :, f y zCx00,. .: : 22zxz绕轴绕轴 y 旋转一周，旋转一周，y 不变，不变， 由上旋转曲面方程的推导可见，旋转曲面的方程不由上旋转曲面方程的推导可见，旋转曲面的方程不仅具有明显的代数形式特点，且旋转曲面方程与相应的仅具有明显的代数形式特点，且旋转曲面方程与相应的母线方程在形式上也有着密切的联系。因此，旋转曲面母线方程在形式上也有着密切的联系。因此，旋转曲面的讨论主要涉及两个方面的基本问题：的讨论主要涉及两个方面的基本问题： 对于给定的母线方程及旋转

10、轴，对于给定的母线方程及旋转轴，如何写出相应的旋转曲面方程。如何写出相应的旋转曲面方程。 对于给定的曲面方程，如何对于给定的曲面方程，如何判别其是否为旋转曲面及相判别其是否为旋转曲面及相应的母线及旋转轴。应的母线及旋转轴。zyO 00fy zCx,: :, ,. . 220fyxz.,: : 00fy zCx,: :, ,. . 220fxyz.,: :绕绕 z 轴旋转，轴旋转，z 不变不变 22yxy 22zxz 绕绕 y 轴旋转，轴旋转，y 不变不变 xzyOxM 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz.,: :绕绕

11、 z 轴旋转，轴旋转，z 不变不变 22xxy 22zxy绕绕 x 轴旋转，轴旋转，x 不变不变 xzOyMzOyxM 00fx yCz: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx yCz: :, ,. . 220fxzy: :.,绕绕 y 轴旋转，轴旋转，y 不变不变 22xxz 22yyz 绕绕 x 轴旋转，轴旋转，x 不变不变 xOzyMyxOzM此处主要考虑简单旋转曲面的判别，即母线为坐标此处主要考虑简单旋转曲面的判别，即母线为坐标面上的曲线，旋转轴为坐标轴的情形。对于这类旋转曲面上的曲线，旋转轴为坐标轴的情形。对于这类旋转曲面的判别关键是考察方程中的变量形式及系数。面的判别

12、关键是考察方程中的变量形式及系数。 对于给定的曲面方程形式对于给定的曲面方程形式 : :F( x , ,y , ,z )= 0 ，若其，若其有两个变量为二次幂且它们的系数相同，则可判别其为有两个变量为二次幂且它们的系数相同，则可判别其为旋转曲面。例如，形如旋转曲面。例如，形如 f( y , ,z 2 + x 2 )= 0 的方程所表示的就是旋转曲面。的方程所表示的就是旋转曲面。 判别方程是否表示判别方程是否表示旋转曲面的基旋转曲面的基本原理依然是截口法原理，只是将这本原理依然是截口法原理，只是将这一原理转化为相应的代数运算。一原理转化为相应的代数运算。对方程对方程 f( y , ,z 2 +

13、x 2 )= 0，判别的代数运算过程为判别的代数运算过程为令令 y = k，相当于用平行于，相当于用平行于 xOz 坐标面的坐标面的平面与曲面相平面与曲面相截，截口方程可化为截，截口方程可化为 z 2 + x 2 = g( k )的形式，它是的形式，它是 y = k平面上的圆，因而该曲面可认为是由平面上的圆，因而该曲面可认为是由 yOz 或或 xOy 平平面面上的曲线绕上的曲线绕 y 轴旋转而成的旋转曲面。轴旋转而成的旋转曲面。 220fy xz, 22xzgkCyk: :, ,. .ykyOxzykL 圆锥面是一类特殊旋转圆锥面是一类特殊旋转曲面，它是由一条直线曲面，它是由一条直线 L 绕绕

14、另一条与之相交的直线旋转另一条与之相交的直线旋转一周所得的旋转曲面。一周所得的旋转曲面。 两直线的交点叫做圆锥两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的交角面的顶点，两直线的交角 叫做圆锥面的半顶角。叫做圆锥面的半顶角。L zyOx 为讨论简单化，仅考为讨论简单化，仅考虑顶点在原点，旋转轴为虑顶点在原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为轴，半顶角为 的圆锥的圆锥面方程。面方程。 为为直观起见，可认为直观起见，可认为所求圆所求圆锥面是由锥面是由 yOz 平面平面上的直线上的直线 L: : z = y cot 绕绕 z 轴旋转一周而成的。轴旋转一周而成的。Lzy cot zyOx 由旋转曲面方程规则由旋转曲

15、面方程规则直线直线 L: : z = y cot ，绕绕 z轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的旋转曲旋转曲 面面 的方程满足的方程满足 z 不变不变， 于是可写出其方程为于是可写出其方程为 令令 cot 2 = a，则有，则有L zy cot: : 22yxy za xy 222: :22cotzxy : :例例：将将 xOz 平面上的曲线平面上的曲线 分别绕分别绕 x 轴轴、z 轴轴旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。 母线方程：母线方程：xOz 平面上的曲线平面上的曲线zxab22221 xzfx zabCy222210, ,: :,

16、.绕绕 x 轴旋转，轴旋转，x 不变不变 22zyz 222222yzxF x y zab: :, , yxzabb2222221. .yOxzxzCab2222:1x222222:1yxzCabb 母线方程：母线方程：xOz 平面上的曲线平面上的曲线 xzfx zabCy222210, ,: :,.绕绕 z 轴旋转，轴旋转，z 不变不变 22xxz 222222xyzFx y zab: :, , 2222221yxzaab. .xzyOxzCab2222:1z222222:1yxzCaab用动曲线形成曲面的观点来研究用动曲线形成曲面的观点来研究曲面确实可较方便曲面确实可较方便地讨论某些曲面，

17、但这种方法缺乏一般性，因为并非任地讨论某些曲面，但这种方法缺乏一般性，因为并非任何曲面都可看成是由曲面运动形成的。作为何曲面都可看成是由曲面运动形成的。作为曲面研究的曲面研究的一般方法还是依据曲面与方程的对应一般方法还是依据曲面与方程的对应关系，即通过方程来讨论曲面性质。关系，即通过方程来讨论曲面性质。 通过方程讨论曲面性质既可通通过方程讨论曲面性质既可通过截痕法研究曲面的几何性质，也过截痕法研究曲面的几何性质，也可由已知曲面导出未知曲面性质。可由已知曲面导出未知曲面性质。 曲面总对应于三元曲面总对应于三元 F( x , ,y , , z )= 0，为讨论方便而为讨论方便而不失一般性，可讨论较

18、简单的情形，即三元二次不失一般性，可讨论较简单的情形，即三元二次方程方程所所对应的曲面，称之为二次曲面。对应的曲面，称之为二次曲面。 三元二次三元二次方程的一般形式为方程的一般形式为 Ax 2 + By 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0 . 通过不改变图形形状的坐标变换通过不改变图形形状的坐标变换(正交变换)可消去可消去方程中的乘积项使其化为如下形式方程中的乘积项使其化为如下形式 Ax 2 + By 2 + C z 2 + G x + H y + Iz + J = 0 .下就此方程中系数的不同情形讨论曲面性质

19、。下就此方程中系数的不同情形讨论曲面性质。已知曲面方程已知曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0，如何讨论并确定方，如何讨论并确定方程所表示的图形及其性质呢程所表示的图形及其性质呢？ 由于三元方程所表示的图形一般是空间图形，而描由于三元方程所表示的图形一般是空间图形，而描绘空间图形却只能在平面上进行。因此，讨论方程所表绘空间图形却只能在平面上进行。因此，讨论方程所表示的空间图形通常采用示的空间图形通常采用“截口法截口法”，即用一些特殊平面与所论曲面相即用一些特殊平面与所论曲面相截，通过对截口曲线形状的研究截，通过对截口曲线形状的研究来了解曲面形状。来了解曲面形状。 椭圆锥面的归纳定义

20、为椭圆锥面的归纳定义为 考虑用截痕讨论该曲面的形状。考虑用截痕讨论该曲面的形状。 用垂直于用垂直于 z 轴的平面轴的平面 z = t 与此曲面相截，考察相应与此曲面相截，考察相应截痕的形状：截痕的形状： 当当 t = 0 时，得一点时，得一点 O( x , ,y , , z )； 当当 t 0 时，得时，得 z = t 平面上的椭圆平面上的椭圆yxzab22222.yxtab22222 yxatbt22221.zyOxyxzab22222椭球面的归纳定义为椭球面的归纳定义为: : 容易看出，若容易看出，若 a = b，则该曲面就是旋转椭球面，则该曲面就是旋转椭球面， 由旋转曲面讨论知，该旋转椭

21、球面可看成是由由旋转曲面讨论知，该旋转椭球面可看成是由 xOz 平面上的椭圆平面上的椭圆 绕绕 z 轴旋转一周而成的。轴旋转一周而成的。 当当 a b 时，相应的时，相应的曲面与该旋转椭球面相差不大曲面与该旋转椭球面相差不大, ,只是在只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此轴方向上有所伸缩，因此只需将只需将该旋转椭球面该旋转椭球面沿沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzzaacac222222222221.xzac22221xyOzzxCac2222:1Oyzxaac2222221：旋旋yzxabc222222:1xO单叶双曲面的归纳定

22、义为单叶双曲面的归纳定义为: : 易看出，若易看出，若 a = b，则该曲面就是单叶旋转双曲面，则该曲面就是单叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该单叶旋转双曲面可看成是由由旋转曲面讨论知，该单叶旋转双曲面可看成是由xOz平面上的双曲线平面上的双曲线 绕绕 z 轴旋转一周而成。轴旋转一周而成。 当当 a b 时，相应的时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差曲面与该单叶旋转双曲面相差不大不大，只是在只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此轴方向上有所伸缩，因此只需将只需将该单叶该单叶旋转双曲面沿旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzza

23、acac222222222221.xzac22221xzyOxzCac2222:1xyzac222221：旋旋yxzabc2222221：O双叶双曲面的归纳定义为双叶双曲面的归纳定义为: : 易看出，若易看出，若 b = c，则该曲面就是双叶旋转双曲面，则该曲面就是双叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该双叶旋转双曲面可看成是由由旋转曲面讨论知，该双叶旋转双曲面可看成是由xOz平面上的双曲线平面上的双曲线 绕绕 x 轴旋转一周而成。轴旋转一周而成。 当当 b c 时，相应的时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差曲面与该单叶旋转双曲面相差不大不大，只是在只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此轴方向上有所伸

24、缩，因此只需将只需将该单叶该单叶旋转双曲面沿旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 b/ /c 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yyzxzxaccac222222222221.xzac22221yOxzxzCac2222:1yzxac222221：旋旋yxzabc2222221：椭圆抛物面的归纳定义为椭圆抛物面的归纳定义为: : 考虑用截痕讨论该曲面的形状。考虑用截痕讨论该曲面的形状。 用垂直于用垂直于 z 轴的平面轴的平面 z = t 与此曲面相截，考察相应与此曲面相截，考察相应截痕的形状：截痕的形状： 当当 t = 0 时，截得一点时，截得一点 O( x , ,y , ,

25、z )； 当当 t 0 时，得时，得 z = t 平面上的椭圆平面上的椭圆 当当 t 0 时，时，截痕为截痕为 xOy 平面上方的平面平面上方的平面 z = t 上以上以平行于平行于 x 轴的直线为虚轴，以平行于轴的直线为虚轴，以平行于 y 轴的直线为实轴轴的直线为实轴的双曲线的双曲线 当当 t 0 时，即截面在时，即截面在 xOy 平面上方时，双曲线的平面上方时，双曲线的实轴沿实轴沿 y 轴方向，虚轴沿轴方向，虚轴沿 x 轴方向。轴方向。 当当 k 0 时，即截面在时，即截面在 xOy 平面下方时，双曲线的平面下方时，双曲线的实轴沿实轴沿 x 轴方向，虚轴沿轴方向，虚轴沿 y 轴方向。轴方向

26、。 22 122yxkpkqzk, ,. .yxk pk qzk22 122, ,. .yOyk 0 xkzpqyk22 22, ,. . 令令 y = k，联立方程有，联立方程有 研究截口形状研究截口形状： 曲面截口为平曲面截口为平面面 y = k 上上以平行于以平行于 z 轴的直线为对称轴的直线为对称轴，开口向下轴，开口向下的抛的抛物线物线。 xyk 0yxzpqyk22 22, ,. .zk 0 令令 x = k，联立方程有，联立方程有 研究截口形状研究截口形状： 曲面截口为平面曲面截口为平面 x = k 上上以平行于以平行于 z 轴轴的直线为对称的直线为对称轴，开轴，开口向上口向上的抛

27、物线的抛物线。 22 22yxzpqxk, ,. .22 22ykzpqxk, ,. .yOxzxyOzyxzpq22:22 曲面通常对应于三元方程曲面通常对应于三元方程 F( x , ,y , ,z )= 0 ，但如果，但如果曲面方程是二元方程，此时方程所对应的曲面就是一些曲面方程是二元方程，此时方程所对应的曲面就是一些特殊的柱面。特殊的柱面。 例如，考虑形如例如，考虑形如 F( x , ,y )= 0 的的方程的性质和特点方程的性质和特点, ,作为二元方程，它表示作为二元方程，它表示 xOy 平面上的一条曲线平面上的一条曲线 C，而作，而作为三元方程，它应表示一张曲面为三元方程，它应表示一

28、张曲面 。 F( x , ,y )= 0 作为二元方程和作为缺变作为二元方程和作为缺变量的三元方程，在性质上有什么联系呢量的三元方程，在性质上有什么联系呢？ 设设 M( x , ,y , ,z )为坐标满足方程为坐标满足方程 F( x , ,y )= 0 的任一的任一点，由于方程不含竖坐标点，由于方程不含竖坐标 z，故不论空间点，故不论空间点 M( x , ,y , ,z )的竖坐标的竖坐标 z 如何取值，只要其横坐标如何取值，只要其横坐标 x 和纵坐标和纵坐标 y 满足满足这个方程，点这个方程，点 M 就就在曲面在曲面 上，即只要点上，即只要点 M1( x , ,y , ,0 )在曲线在曲线

29、 C 上，点上，点 M( x , ,y , ,z )就就在曲面在曲面 上。上。 因此过因此过 xOy 平面上的平面上的曲线曲线 C 上的上的点点 M1( x , ,y , ,0 )且平行于且平行于 z 轴的直线轴的直线 L 在在曲面曲面 上，由此可看出曲上，由此可看出曲面面 是一个柱面。是一个柱面。 xyOz CL10 Mx y, , ,M x y z, , , , 0F x y,平行于定直线平行于定直线 L 并沿定曲线并沿定曲线 C 平行平行移动的直线移动的直线 L 形成的轨迹称为柱面，定曲线形成的轨迹称为柱面，定曲线 C 称为柱面的准线，动称为柱面的准线，动直线直线 L 称为柱面的母线。称

30、为柱面的母线。L CL柱面由准线及母线方向完全确定柱面由准线及母线方向完全确定，因此只要给定了，因此只要给定了母线方向母线方向(一般是一定向量一般是一定向量)及准线方程，就可完全确定及准线方程，就可完全确定柱面方程。柱面方程。 由定义及直观可见，由定义及直观可见，柱面的准线并不是唯一的，且柱面的准线并不是唯一的，且未必是平面曲线。未必是平面曲线。 在讨论具体的在讨论具体的柱面方程柱面方程问题时，为使讨论简单化，问题时，为使讨论简单化，通常宜通常宜考虑选择形式较简单的平面曲线作为柱面准线，考虑选择形式较简单的平面曲线作为柱面准线，如坐标面上的曲线等。如坐标面上的曲线等。空间图形研究的基本方法是将

31、其投影到平面考察，空间图形研究的基本方法是将其投影到平面考察，空间图形的投影主要是通过投影柱面来实现。空间图形的投影主要是通过投影柱面来实现。 柱面对于多元函数性质柱面对于多元函数性质的研究的研究具有重要意义。具有重要意义。对高对高等数学的应用而言，等数学的应用而言，柱面的讨论主要应柱面的讨论主要应掌握投影柱面，掌握投影柱面，即母线平行于坐标轴的柱面。研究即母线平行于坐标轴的柱面。研究投影柱面问题应掌握投影柱面问题应掌握两个方面的内容：两个方面的内容： 由准线方程及母线方向写出相应的柱面方程；由准线方程及母线方向写出相应的柱面方程； 由给定方程判别其是否为母线平行于坐标轴的柱面由给定方程判别其

32、是否为母线平行于坐标轴的柱面。 柱曲面方程可看成由其准线柱曲面方程可看成由其准线 C 的方程按一定规则的方程按一定规则转化而得的，其转化过程遵从以下规则：转化而得的，其转化过程遵从以下规则： F x yCz00,. .: :母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面 F x y 0,: :. . G y zCx00,. .: :母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面 G y z 0,:.:. H z xCy00,. .: :母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面 H z x 0,: :. . 由上柱曲面方程的讨论可以看出，母线平行于坐标由上柱曲面方程的讨论可以看出，母线平行于坐标轴的柱

33、面方程具有明显的代数特征轴的柱面方程具有明显的代数特征 缺变量。缺变量。 一般曲面方程一般曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0 应包含三个变量，而应包含三个变量，而母线平行于坐标轴的柱面方程至多含有两个变量。这一母线平行于坐标轴的柱面方程至多含有两个变量。这一特征给出了判别曲面是否为母线平行于坐标轴的柱面的特征给出了判别曲面是否为母线平行于坐标轴的柱面的简洁而直观的方法。简洁而直观的方法。 : F( x , ,y )= 0，缺变量缺变量 z，母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面。 : G( y , ,z )= 0，缺变量缺变量 x，母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面。 : H( z , ,x )= 0，缺变量缺变量 y，母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面。 平面解析几何中，方程平面解析几何中，方程 F( x , ,y )= 0 表示表示 xOy 平面平面上的一条曲线，但在空间解析几何中，该二元方程通常上的一条曲线，但在空间解析几何中，该二元方程