高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性优质课件 文 新人教A版

1、12 2. .3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性2知识梳理双基自测2341自测点评1.函数的奇偶性 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 3知识梳理双基自测自测点评23412.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.4知识梳理双基自

2、测自测点评23413.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 5知识梳理双基自测自测点评23414.函数周期性的常用结论对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T

3、=2a.(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.62知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. ()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=

4、f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ()(4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)上是减函数,则f(x)在(0,+)上是增函数. ()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. () 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)(6) 7知识梳理双基自测自测点评234152.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是() 答案 答案关闭B 8知识梳理双基自测自测点评234153.定义域为R的四个函数y=

5、x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是()A.4B.3C.2D.1 答案 答案关闭C 9知识梳理双基自测自测点评234154.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.14考点1考点2考点3考点4解题心得判断函数的奇偶性

6、要注意两点:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.15考点1考点2考点3考点416考点1考点2考点3考点4即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.17考点1考点2考点3考点418考点1考点2考

7、点3考点4例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()A.1,3B.-3,-1,1,3(4)已知函数g(x)是定义在-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)0,则x的取值范围是. 答案 答案关闭23考点1考点2考点3考点4解析: (1)由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1).又f(x)-g(x)=x3+x2+1,故可令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1,即f(1)+g(1)=1.故选C.24考

8、点1考点2考点3考点4(3)f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|).f(x-1)0可化为f(|x-1|)f(2).又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|2,解得-2x-12,即-1x3.(4)f(x)在(-b,b)上是奇函数,25考点1考点2考点3考点4例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 ()A.335 B.336 C.1 678D.2 0122x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.思考函数的周期性主要的应用是什么? 答案

9、 答案关闭 (1)B(2)2.5 26考点1考点2考点3考点4解析: (1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6.当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(6)=1.又f(2 016)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336.27考点1考点2考点3考点4函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)

10、=2.5.f(105.5)=2.5.28考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.29考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(2 018)=.(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x0,都有f(x+2)= ,且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 013)+f(2 015)=. 答案 答案关闭(1)2(2)0 30考点1考点2考点3考点4解析: (1)因为f(x+2)=-

11、f(x),所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2).又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2.所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x0)的一个周期.所以f(-2 013)+f(2 015)=f(2 013)+f(2 015)=0.31考点1考点2考点3考点4例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在1,3上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数A.(-,-1)B.

12、(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些? 答案 答案关闭 (1)D(2)D 32考点1考点2考点3考点4解析: (1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期.结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选D.33考点1考点2考点3考点434考点1考点2考点3考点4解题心得函数性质综合应用问题的常见类型

13、及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.35考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 014)的值为()A.2B.0C.-2 D.2 答案 答案关闭(1)A(2)D 36考点

14、1考点2考点3考点4解析: (1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),f(x+1)=-f(x-1).f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,f(2 014)=f(2)=2.37考点1考点2考点3考点4令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函数f(x)是周期为3的周期函数,函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个,故选D.38考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函