2020版高考数学总复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明（必修3、选修2-2）第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课件 理

1、第第4 4节直接证明与间接证明、数学归纳法节直接证明与间接证明、数学归纳法 考纲展示考纲展示 1.1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法: :综综合法和分析法合法和分析法; ;了解综合法和分析法了解综合法和分析法的思考过程和特点的思考过程和特点. .2.2.了解反证法的思考过程和特点了解反证法的思考过程和特点. .3.3.了解数学归纳法的原理了解数学归纳法的原理, ,能用数学能用数学归纳法证明一些简单的数学命题归纳法证明一些简单的数学命题. .知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.

2、直接证明直接证明(1)(1)综合法综合法定义定义: :利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推导出最后推导出 的证明方法的证明方法. .(2)(2)分析法分析法定义定义: :从要证明的结论出发从要证明的结论出发, ,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件, ,直至最后直至最后, ,把要证把要证明的结论归结为明的结论归结为 ( (已知条件、定理、定义、已知条件、定理、定义、公理等公理等) )为止的证明方法为止的证明方法. .所要证明的结论成立所要证明的结论成立 判定一个明显成立的条件判

3、定一个明显成立的条件2.2.间接证明间接证明反证法反证法一般地一般地, ,假设原命题假设原命题 ( (即在原命题的条件下即在原命题的条件下, ,结论不成立结论不成立),),经过正确经过正确的推理的推理, ,最后得出矛盾最后得出矛盾, ,因此说明因此说明 , ,从而证明了从而证明了 , ,这这样的证明方法叫做反证法样的证明方法叫做反证法. .3.3.数学归纳法数学归纳法一般地一般地, ,证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题有关的命题, ,可按下列步骤进行可按下列步骤进行: :(1)(1)归纳奠基归纳奠基: :证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0N N* *

4、) )时命题成立时命题成立; ;(2)(2)归纳递推归纳递推: :假设假设 时命题成立时命题成立, ,证明当证明当 时命题也成立时命题也成立. .只要完成这两个步骤只要完成这两个步骤, ,就可以断定命题对从就可以断定命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .上述证上述证明方法叫做数学归纳法明方法叫做数学归纳法. .不成立不成立 假设错误假设错误 原命题成立原命题成立n=k(knn=k(kn0 0,k,kN N* *) ) n=k+1n=k+1对点自测对点自测B B1.1.用分析法证明用分析法证明: :欲使欲使AB,AB,只需只需CD.CD.这里是的这里是的(

5、( ) )(A)(A)充分条件充分条件(B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: :分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立, ,即即, ,所以所以是的必要条件是的必要条件. .故选故选B.B.2.2.若若a,b,ca,b,c为实数为实数, ,且且ab0,ab0,则下列命题正确的是则下列命题正确的是( ( ) )解析解析: :a a2 2-ab=a(a-b),-ab=a(a-b),因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,-ab0,所以所以a a2 2ab.

6、 ab. 又又ab-bab-b2 2=b(a-b)0,=b(a-b)0,所以所以abbabb2 2, , 由得由得a a2 2abbabb2 2. .故选故选B.B.B B3.3.用反证法证明命题用反证法证明命题: :“设设a,ba,b为实数为实数, ,则方程则方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0至少有一个实根至少有一个实根”时时, ,要做的假设是要做的假设是( ( ) )(A)(A)方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0没有实根没有实根(B)(B)方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0至多有一个实根至多有一个实根(C)(C)方程方程x x3 3+ax+b=0+ax

7、+b=0至多有两个实根至多有两个实根(D)(D)方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0恰好有两个实根恰好有两个实根A A解析解析: :因为因为“方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0至少有一个实根至少有一个实根”等价于等价于“方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0的实根的实根的个数大于或等于的个数大于或等于1 1”, ,所以要做的假设是所以要做的假设是“方程方程x x3 3+ax+b=0+ax+b=0没有实根没有实根”. .故选故选A.A.D D 5.5.下列说法正确的序号是下列说法正确的序号是.综合法是直接证明综合法是直接证明, ,分析法是间接证明分析法是间接证

8、明. .分析法是从要证明的结论出发分析法是从要证明的结论出发, ,逐步寻找使结论成立的充要条件逐步寻找使结论成立的充要条件. .用反证法证明结论用反证法证明结论“ab”ab”时时, ,应假设应假设“ab”.abab”的否定是的否定是“abab”; ;中反证法是只否定结论中反证法是只否定结论, ,因此均不正确因此均不正确. .答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一综合法考点一综合法反思归纳反思归纳考点二分析法考点二分析法反思归纳反思归纳(1)(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想逆向思考是用分析法证题的主要思想, ,通过反推通过反推, ,逐步寻找使结论成立

9、逐步寻找使结论成立的充分条件的充分条件. .正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. .(2)(2)证明较复杂的问题时证明较复杂的问题时, ,可以采用两头凑的办法可以采用两头凑的办法, ,即通过分析法找出某个即通过分析法找出某个与结论等价与结论等价( (或充分或充分) )的中间结论的中间结论, ,然后通过综合法证明这个中间结论然后通过综合法证明这个中间结论, ,从而从而使原命题得证使原命题得证. .考点三反证法考点三反证法反思归纳反思归纳(1)(1)当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”“”“至少至少”“”“唯一唯一”或以否定形式出现或以否定

10、形式出现时时, ,可用反证法来证可用反证法来证, ,反证法关键是在正确的推理下得出矛盾反证法关键是在正确的推理下得出矛盾, ,矛盾可以是矛盾可以是与已知条件矛盾与已知条件矛盾, ,与假设矛盾与假设矛盾, ,与定义、公理、定理矛盾与定义、公理、定理矛盾, ,与事实矛盾等与事实矛盾等. .(2)(2)用反证法证明不等式要把握三点用反证法证明不等式要把握三点: :必须否定结论必须否定结论; ;必须从否定结论必须从否定结论进行推理进行推理; ;推导出的矛盾必须是明显的推导出的矛盾必须是明显的. .【跟踪训练跟踪训练3 3】 设设aan n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列. .(1)(1)推

11、导推导aan n 的前的前n n项和公式项和公式; ;(2)(2)设设q1,q1,证明数列证明数列aan n+1+1不是等比数列不是等比数列. .考点四数学归纳法考点四数学归纳法反思归纳反思归纳利用数列的递推关系式利用数列的递推关系式, ,求出数列的前几项求出数列的前几项, ,猜测其通项公式猜测其通项公式, ,然后用数学归然后用数学归纳法证明纳法证明, ,是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种解决数列通项公式的是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种解决数列通项公式的重要方法重要方法, ,也是也是“归纳归纳猜想猜想证明证明”问题的重要解题模式问题的重要解题模式, ,求解此类问题时求解此类问题时,

12、 ,在准确归纳出数列通项公式在准确归纳出数列通项公式, ,用数学归纳法证明时要注意应用数列的递推关用数学归纳法证明时要注意应用数列的递推关系式系式, ,由由n=kn=k推到推到n=k+1n=k+1时的情况时的情况. .备选例题备选例题【例例1 1】 已知已知ab0,ab0,求证求证:2a:2a3 3-b-b3 32ab2ab2 2-a-a2 2b.b.证明证明: :要证明要证明2a2a3 3-b-b3 32ab2ab2 2-a-a2 2b b成立成立, ,只需证只需证2a2a3 3-b-b3 3-2ab-2ab2 2+a+a2 2b0,b0,即即2a(a2a(a2 2-b-b2 2)+b(a)

13、+b(a2 2-b-b2 2)0,)0,即即(a+b)(a-b)(2a+b)0.(a+b)(a-b)(2a+b)0.因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a+b0,2a+b0,a-b0,a+b0,2a+b0,从而从而(a+b)(a-b)(2a+b)0(a+b)(a-b)(2a+b)0成立成立, ,所以所以2a2a3 3-b-b3 32ab2ab2 2-a-a2 2b.b.【例例2 2】 在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知 sin Asin B+sin Bsin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.si

14、n C+cos 2B=1.(1)(1)求证求证:a,b,c:a,b,c成等差数列成等差数列; ;(2)(2)若若C= ,C= ,求证求证5a=3b.5a=3b.23证明证明: :(1)(1)由已知得由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sinsin Asin B+sin Bsin C=2sin2 2B,B,因为因为sin B0,sin B0,所以所以sin A+sin C=2sin B,sin A+sin C=2sin B,由正弦定理由正弦定理, ,有有a+c=2b,a+c=2b,即即a,b,ca,b,c成等差数列成等差数列. .(2)(2)由由C= ,c=2b-aC= ,c=2b-a及余弦定理得及余弦定理得(2b-a)(2b-a)2 2=a=a2 2+b+b2 2+ab,+ab,即有即有5ab-3b5ab-3b2 2=0,=0,因为因为b0,b0,所以所以5a=3b.5a=3b.23(1)a+b2