刚体运动学与刚体转动惯量

1、大学物理学电子教案大学物理学电子教案刚体的转动刚体的转动(1)4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量(上上) 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章刚体的转动刚体的转动引言引言物体的形状和大小不发生变化，即物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两物体内任意两点之间的距离都保持不变点之间的距离都保持不变刚体刚体。说明说明1) 理想化的力学模型理想化的力学模型；2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系刚体可以看成是无数质点组成的质点系刚体可以看成一

2、个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变的质点系。的质点系。41 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、刚体运动一、刚体运动1、平动、平动当当刚体中所有点的运动轨迹都刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同保持完全相同时，或者说时，或者说刚体刚体内任意两点间的连线总是平行内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线于它们的初始位置间的连线时，时，刚体的运动叫作刚体的运动叫作平动平动。2、转动、转动刚体中所有的点都绕同一刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动条直线作圆周运动，这种，这种运动称为运动称为转动转动。这条直线。这条直线叫作叫作转轴转

3、轴。平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。任何一点的运动来代表整体的运动。瞬时转轴瞬时转轴：转轴随时间变化转轴随时间变化 一般转动一般转动固定转轴固定转轴：转轴不随时间变化转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动定轴转动的特点：定轴转动的特点：各质点都作圆周运动；各质点都作圆周运动；各质点圆周运动的平面垂直于轴线，各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；圆心在轴线上；各质点的矢径在相同的时间内转过的各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。角

4、度相同。 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参考方参考方向向z3、刚体的一般运动、刚体的一般运动一个汽车轮子在地一个汽车轮子在地上的滚动上的滚动A、B、C、各点的各点的运动都不相同运动都不相同绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动平动转动刚体的运动平动转动二、刚体转动的角速度和角加速度二、刚体转动的角速度和角加速度角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limdtddtdtt pro转动平面转动平面三、匀变速转动三、匀变速转动当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的

5、增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度角加速度 const 角速度角速度 t 0 角位移角位移 20 21 tt 角位置角位置 200 21 tt 四、角量与线量的关系四、角量与线量的关系 rv 速度速度 rat 切向加速度切向加速度2 ran 法向加速度法向加速度oPvr例题、例题、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度内角速度由由15rad/s 匀减速地降到匀减速地降到10rad/s 。求：。求：(1)角加速度；角加速度；(2)在此在此5s内转过的圈数；内转过的圈数；(3)还需要多少时间

6、轮子停止转动。还需要多少时间轮子停止转动。解解 根据题意，角加速度为恒量。根据题意，角加速度为恒量。(1) 利用公式利用公式2rad/s1515100 t (2) 利用公式利用公式rad5 .62) 1(215102222020 5秒内转过的圈数秒内转过的圈数圈圈。1014. 325 .6220 N(3) 再利用再利用s101100 0rad/s1000 t42 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量一、力矩一、力矩1、引入、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。位置有关。力通过转轴：力通过转轴：转动状态不改变转动状

7、态不改变力离转轴远：力离转轴远： 容易改变容易改变力离转轴近：力离转轴近： 不易改变不易改变2、力对点的力矩、力对点的力矩FrM rFO sinFrMrFM3、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩情况情况1：力与轴平行，则力与轴平行，则M=0力对力对O点的力矩在通过点的力矩在通过O点的轴上的点的轴上的投影称为力对转轴的力矩投影称为力对转轴的力矩情况情况2：刚体所受的外力刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内在垂直于转轴的平面内力臂：力臂：转轴和力的作用线转轴和力的作用线之间的距离之间的距离d称为力对转称为力对转轴的力臂。轴的力臂。力矩：力矩：力的大小与力臂的力的大小与力臂的乘积，称为力乘积，称为力F对

8、转轴的对转轴的力矩。力矩。M=FdrodF情况情况3：若力若力F不在垂直与转轴的平面内不在垂直与转轴的平面内与转轴平行的分力与转轴平行的分力F2，在垂直与转轴平面内的分力在垂直与转轴平面内的分力F1只有分力只有分力F1才对刚体的转动状态有才对刚体的转动状态有影响。影响。4、合力矩、合力矩iiFrM iMMF1F2Fn结论：结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。合力矩对于每个分力的力矩之和。5、单位、单位NmoPzprF1FF2二、转动定律二、转动定律1、一个质点的情况、一个质点的情况法向力法向力 Fn=man，通过转轴，力矩为零，通过转轴，力矩为零切向力切向力 Ft=mat=mr对转轴的力矩为对

9、转轴的力矩为 M= Ft r= mr2质点的角加速度与质点所受的力矩成正比质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩、内力矩dff 两个内力的合力矩为零。两个内力的合力矩为零。推广：推广：刚体的内力力矩之和为零。刚体的内力力矩之和为零。3、刚体的情况、刚体的情况把刚体看成是由许多质点所组把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点成的，对于质点i，假设它的质，假设它的质量为量为mi，所受的外力为，所受的外力为Fi，内力为内力为f i，则，则 2iiirmM 其中其中Mi为外力矩和内力矩之和。为外力矩和内力矩之和。 2iiirmM 合力矩外力矩之和外力矩之和合力矩外力矩之和外力矩之和=外力矩之和

10、外力矩之和=M 22iiiirmrm 2iirmJ定义转动惯量定义转动惯量 JM 转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：说明：1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。解决刚体定轴转动问题的基本方程。三、转动惯量三、转动惯量1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上刚

11、体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。轴距离平方的乘积之和。2、说明、说明 转动惯量是标量；转动惯量是标量； 转动惯量有可加性；转动惯量有可加性； 单位：单位：kgm2 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2 iiirmJ2若质量离散分布若质量离散分布 y rix z yi xi mi 例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：222mRdmRdmRJdm例例1 1、求长为、求长为L、质量

12、为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，d dm= = d dx12/2222mLdxxJLLC 3/202mLdxxJLA 例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr的薄圆环的薄圆环, ,rdrdm 2 drrdmrdJ322 403212RdrrdJJR 2Rm Rrdr221mRJ 例例3 3、内半径为、内半径为R1 1 外半径为外半径为R2 2 质

13、量为质量为m 的匀质中空圆柱绕其的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量对称轴的转动惯量oo2R1RrrRRmmd2)(d2122 21d2)(22122RRrrrRRmJ )(212122RRm R例例4 4、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量量sinRd在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径 sinRr rRdRmdm 242 dmrJ2 2032sin2 dmR232mR R例例5 5、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无

14、数个同心薄球壳的组合 drrRmdm23434 drrRm233 232rdmdJJ RdrrRm0432252mR 4、几种刚体的转动惯量、几种刚体的转动惯量垂直于杆的轴通过杆的中心垂直于杆的轴通过杆的中心 J=M l 2/12 杆的端点杆的端点 J=M l 2/3对通过盘心垂直盘面的转轴对通过盘心垂直盘面的转轴 J=MR 2/2 5、影响刚体转动惯量的因素、影响刚体转动惯量的因素刚体的总质量；刚体的总质量；刚体的质量分布；刚体的质量分布；转轴位置。转轴位置。四、平行轴定理四、平行轴定理22223141121 2mLmLmLLmJJCA 推广：若有任一轴与过质心的轴平行，推广：若有任一轴与过

15、质心的轴平行，相距为相距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为J，则，则有有平行轴定理平行轴定理JJCm d 2。说明：说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。动惯量。ABLXABL/2L/2CXccodJJco*垂直轴定理垂直轴定理 对于薄板刚体，若建立坐标对于薄板刚体，若建立坐标系系Oxyz，其中，其中z轴与薄板垂直，轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚平面在薄板内，则薄板刚体对体对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动轴的转动惯量之和惯量之和 yxzJJJ yx z 圆盘圆盘 R C m小结小结刚体的概念刚体的概念刚体的平动和转动刚体的平动和转动刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度dtdtt l