第四节：矢量函数极限、

1、第四节：矢量函数的极限、连续和导数第四节：矢量函数的极限、连续和导数主要内容：一、矢量函数一、矢量函数二、矢量函数的极限和连续二、矢量函数的极限和连续二、矢量函数的导数二、矢量函数的导数四、矢量函数的求导法则四、矢量函数的求导法则五五, 单位矢量的导数单位矢量的导数一、矢量函数矢量函数在力学课中知道任一质点的位置矢量为：)(trrRFarxyzoABOMM)(tr)(ttrrvv)()(trttrrMM 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间隔隔 内的位移为内的位移为t的函数。都是时间结论：tMMr,对而对任意矢量有对而对任意矢量有：称为矢量函数。当时间变化时，)(taakjiazxaatya

2、)(在直角指标系中，OxyzijkrMxyz显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。也称也称矢端曲线。矢端曲线。坐标系的原点也叫坐标系的原点也叫矢端曲线矢端曲线的极的极 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。优点。定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式00tt的一切的一切 t,t,对应的矢量函数对应的矢量函数 a a 都都 满足不等式满足不等式0aa, ,那末常数那末常数 a a0 0就叫函数就

3、叫函数 a a 当当0tt时的极限时的极限, ,记作记作 )(lim000ttaatt当或0aa .,0, 0, 000aatt恒有时使当定定义义 二、矢量函数的极限和连续矢量函数的极限和连续1、矢量函数的极限矢量函数的极限2极限运算法则极限运算法则 极限运算法则极限运算法则（）（）.)()(limbatgtf（）（）（）.)()(limbatgtf（）（）),0.()()(limbbatgtf假设假设btgatf)(lim,)(limbatgtf)()(limkjiazxaatlimlimalim)(limy在直角指标系中，推论推论1 1).(lim)(lim,)(limtfctf cctf

4、则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论推论2 23、 函数的连续性函数的连续性(Continuity of Function)(1) 函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y (2) 函数在一点连续的定义函数在一点连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(

5、0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它

6、在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .定义定义3定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx时时，恒恒有有当当由极限定义和上述极限可以得到：由极限定义和上述极限可以得到：4、矢量函数的连续性、矢量函数的连续性定义：处连续。在，则称且有的某邻域内有定义，在点若矢量函数000)()()(lim)(tttatatatta如果矢量函数在某一区间每一点处都连续,则称它在该区间内连续.三、矢量函数的导数三、矢量函数的导数ABOMM)(tr)(ttrrvv)()(trttrrMM则则trv表

7、示动点在时间间隔表示动点在时间间隔 内运动的平内运动的平t均快慢和方向，称为点的均快慢和方向，称为点的平均速度平均速度。 当当 时，平均速度的极限矢量称为动时，平均速度的极限矢量称为动点在点在t瞬时的瞬时的速度速度。即。即0trdtrdtrvvtt00limlim即：即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数数。方向沿轨迹的切线方向。方向沿轨迹的切线方向。 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间隔隔 内的位移为内的位移为tMMvvvvaa 如图，动点如图，动点M在时间间隔在时间间隔 内速度矢量的内速度矢量的改变量为改变量为tvvv则则tva表示动点的速度在时表示

8、动点的速度在时 t内的平均变化率，称为内的平均变化率，称为间间隔间间隔平均加速度平均加速度。 当当 时，平均加速度的极限矢量称为时，平均加速度的极限矢量称为动点在动点在t瞬时的瞬时的加速度加速度。即。即0trvdtvdtvaatt 00limlim即：即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。任意矢量导数的定义atattattadt)()(dt)(lim0一方。方向都指向时间减少的的的方向与时，是矢量函数，aata0 )2(注意:向时间增加的一方，的方向指与时，）当（aat01kjiazxa

9、atya)(在直角指标系中，)(limlim0ktajtaitatazyxt)kdtdajdtdaidtdadtadzyx)kdtadjdtdaidtaddtadmzmmymmxmmm222)()()(dtdadtdadtdadtadzyx四四 矢量函数的求导法则矢量函数的求导法则batbta,)().(为都是可微分函数，简记设dtddtdbaba )(dtd 1）（的函数）是）（ t(f dtdf)(dtd 2aaadtdffdtddtbabadba )(dtd 3）（ d )(dtd 4bdtadtbabad）（以上公式自证。是常矢量）cc(0)(dtd )5(例例1ABMRO 杆AB绕A

10、点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。tABMOxy2 解：建立如图所示的直角坐标。则2cos2sinRyRx即为小环M的运动方程。tRytRx2cos2sin即tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 例1故M点的速度大小为Rvvvyx222ABMOxy2vxvyv其方向余弦为2cos),cos(vvivx2sin),cos(vvjvy如图。xtRvaxx2242sin4 ytRvayy2242cos4 故M点的加速度大小为2224Raaayx且有rj yi xj yi xa22224)(444加速度的方向如图。a例题:2书248页.五五 单位矢量的导数单位矢量的导数的矢量。单位矢量：摸值为 11| )(| )(|00ttata如图；ttta22sin2sin2|0由等腰三角形有：转动角速度。单位矢量导数的摸等于 0dtddtad0|aaadtadaadtaddtad00|, 1 ) 1 (00aa注意：0a 200dtad）（物理实例物理实例:平面极坐标系中平面极坐标系中 单位矢量的导数单位矢量的导数坐标系特点坐标系特点 径向单位矢量径向单位矢量i和横和横向单位矢量向单位矢量j随时