第6章重心与形心

1、# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 第6章 重心和形心6-1 重心和形心的坐标公式6-2 确定重心和形心 位置的具体方法# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力。

2、zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中心。对重力来说，则为重心。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio 重心的位置对于物体的相对位置是确定的,与物体在空间的位置无关。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 重心位置的确定在实际中有许多的应用。例

3、如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 6-1 重心和形心的坐标公式1. 重心坐标的一般公式zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右图认为是一个空间力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理( )( )yyiMMPPCiiP xP xiiCP xxP同理有iiCP yyP# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 为

4、确定 zC ，将各力绕y轴转90 ，得2. 均质物体的重心坐标公式即物体容重g 是常量，则iiCP zzP, iiPVPVggzxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzioiiCV xxViiCV yyViiCV zzV# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。iiCV xxViiCV yyViiCV zzVzxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 3. 均质等厚

5、薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则 有V =Ad， Vi = Aid则上式也即为求平面图形形心的公式。iiCA xxAiiCA yyA# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 6-2 确定重心和形心位置的具体方法(1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。具体方法：# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 1. 积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心

6、的具体位置。对于均质物体，则有d,d,dVCVCVCxVxVyVyVzVzVzxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。dd,AACCx Ay AxyAA例题 6-1C2RO# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 解：建立如图所示坐标系，则xC= 0现求 yC 。 则22( )2b yRy22d( ) d2dA b yyRyy322223200d222d() |33xARRSyAyRyyRyR 例题 6-1b(y)y

7、dyC2ROx y# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 代入公式有d43 xACyASRyAA例题 6-1C2ROx y# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020 x20O例题 6-2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 解：取Oxy坐标系如图所示

8、，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）20=3600 mm2 x1= 10 mmy1= 110 mmA2= 15020=3000 mm2 x2= 75 mmy2= 10 mm例题 6-2y15020 x20200O12# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 由组合法，得到xC=A1 + A2 A1 x1 + A2 x2= 39.5 mmyC=A1 + A2 A1 y1 + A2 y2= 64.5 mm另一种解法： 负面积法将截面看成是从200mm150mm的大矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而 A1= 200150=

9、 30000 mm2例题 6-2y y15020 x20200O1215020 x20200O# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 x1= 75 mm, y1= 100 mmA2= -180130 = -23400 mm2故xC=3000075 - 234008530000 - 23400=39.5 mmyC=30000100 - 2340011030000 - 23400= 64.5 mm两种方法的结果相同。x2= 85 mm, y2= 110 mm例题 6-215020 x20200O# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和

10、形心重心和形心 3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什么？ABCAB.# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 4. 称重法 对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。 图示机床重 2500 N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。试算出机床重心的坐标。思考题6-1y xBA# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第

11、第6章章 重心和形心重心和形心 思考题6-1xCaFBFAPyC 0BMF 1.68Cxm对图1：y xBA图1y xBA图2对图2： 0BMF 1.35amFBFAPPCxa由几何关系：001.351.68coscos200.66tantan20CCaxymFBFA# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。 ABDCEymaxaaxy例题 6-3# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6章章 重心和形心重心和形心 yC=A1 + A2 A1 y1 + A2 y2解：分、两部分考虑极限位置 yC= ymax：1max1max/2/3Aayyy 222,/2Aaya, 即2maxmaxmax2max2322yaayayaya例题 6-3ABDC