2021年人教版高中数学必修第二册：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理的应用举例》导学案 (含答案)

1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的测量相关术语；3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。1.教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2.教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。1基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的 叫做基线(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的 ，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平

2、视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 (如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. (如图所示)一、探索新知类型一 距离问题例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 1.基线：在测

3、量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做 。如例1中的CD，为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选取合适的基线长度，基线 ，精确到越高。如：类型二 底部不可到达的建筑物的高度例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。类型三 角度问题例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到

4、 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5 D南偏西102如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A50米 B100米C50米 D100米3一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A

5、8()海里/时B8()海里/时C16()海里/时D16()海里/时4在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为 m.5海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离这节课你的收获是什么？ 参考答案：例1.解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是

6、，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。例2.选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得例3.根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是 由于，所以因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 大约需要航行24n mile.达标检测1.【答案】B【解析】由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.2.【答案】A【解析】因为DACACBD603030，所以ADC为等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050米3.【答案】D【解析】由题意得在SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时)4.【答案】200(1)【解析】过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故两船距离BCBHCH200(1) m5.【解析】由题意，画出示意图(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB1