垂径定理PPTPPT学习教案

1、会计学1垂径定理垂径定理PPT垂直于弦的直径垂直于弦的直径 （垂径定理）（垂径定理）第1页/共31页 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？到什么结论？判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X第2页/共31页如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的

2、线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，第3页/共31页CAEBO.D总结：总结：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论第4页/共31页OABCDMCDAB, CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD =BD.第5页/共31页 平分弦平分弦 经过圆心经过圆心垂直于弦垂直于弦可推可推得得 平分弦

3、所对的劣平分弦所对的劣（优）弧（优）弧第6页/共31页E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1O OB BA AE ED在下列图形，符合垂径定理的条件吗？在下列图形，符合垂径定理的条件吗？O O第7页/共31页EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC第8页/共31页判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺

4、一缺一不可！不可！ 第9页/共31页ABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论1:1:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)第10页/共31页“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意: :当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时, ,应对另一应对另一 条

5、弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制. .第11页/共31页n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.第12页/共31页OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的

6、垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.第13页/共31页一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这

7、条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)第14页/共31页(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦第15页/共31

8、页2OBAC2222adr第16页/共31页cm32cm32 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习 1A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E垂径定理的应用垂径定理的应用第17页/共

9、31页1.1.如图如图, ,在在O O中中, ,弦弦ABAB的长为的长为8cm,8cm,圆心到圆心到ABAB的距离为的距离为3cm,3cm,则则O O的半径为的半径为 . . 练习练习 2：ABOC5cm342.2.弓形的弦长弓形的弦长ABAB为为24cm24cm，弓形的高，弓形的高CDCD为为8cm8cm，则这弓形所在圆的半径为，则这弓形所在圆的半径为. . 13cm D C A B O(1)(1)题题(2)(2)题题128第18页/共31页方法归纳方法归纳: : 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，

10、为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO第19页/共31页关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦心距过圆心作弦心距，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。弦心距、半径、半弦弦心距、半径、半弦长长构成构成直角三角形直角三角形，便，便将问题转化为直角三角将问题转化为直角三角形的问题。形的问题。MAPBOA第20页/共31页解：如图，设半径为解：如图，设半径为R，ABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在tAODtAOD中，中，由勾股定

11、理，得由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.2赵州桥主桥拱的赵州桥主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.2再逛赵州石拱桥再逛赵州石拱桥第21页/共31页1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的

12、距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB在RtAOE中第22页/共31页变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，）中的大圆，得右图连接得右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？ D C O A B变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设设OC=OD，AC、BD有什么关有什么关系？为

13、什么？系？为什么？ D C O A B变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？ D C O A B变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 N M D C O A B第23页/共31页2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. O

14、EAC ODAB第24页/共31页E已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的心的两个同心圆中，大圆的弦弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。.ACDBO图图第25页/共31页2 5cm已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_第26页/共31页小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧

15、所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式第27页/共31页E小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第28页/共31页别忘记还有我哟！别忘记还有我哟！1、教材、教材88页习题页习题24.1 第第8题；题；2、教辅书、教辅书48-51页页作业：作业：第29页/共31页1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那