高等数学微积分第7节无穷小量与无穷大量课件

1、高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量第七节第七节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一一.无穷小量无穷小量1.定义定义 如果在某变化过程中如果在某变化过程中, 变量变量y的的极限为零极限为零, 则称则称y为无穷小量为无穷小量.注注 (1)七种变化过程、数列及一般函数七种变化过程、数列及一般函数.(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程谈无穷小量时指明自变量变化过程.(3)区分无穷小量与一个非常小的数区分无穷小量与一个非常小的数.(4)0是无穷小量是无穷小量.(5)精确性定义精确性定义.高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量

2、2.性质性质Ay lim Ay.量量为为同同一一过过程程中中的的无无穷穷小小其其中中 必要性必要性因因Axfxx )(lim0所以所以0)(lim0 Axfxx故故Axf )(为无穷小量为无穷小量记为记为)(x 则则).()(xAxf 充分性充分性由由)()(xAxf 得得 )(lim0 xfxx)(lim0 xAxx 0 A.A 证证高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量 此性质是把极限和无穷小量此性质是把极限和无穷小量联系起来的一个性质联系起来的一个性质, 如有涉及如有涉及极限与无穷小量的题型，极限与无穷小量的题型，想到这个性质想到这个性质.郑重声明郑重

3、声明应首先应首先高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量有限个无穷小量的和、差、积有限个无穷小量的和、差、积注注(1)本性质只对有限个无穷小量成立本性质只对有限个无穷小量成立.补充补充无穷小量与极限不为零的变量的商无穷小量与极限不为零的变量的商(2)本性质无穷小量的商不成立本性质无穷小量的商不成立.仍为无穷小量仍为无穷小量.仍为无穷小量仍为无穷小量.高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量与有界变量的乘积无穷小量与有界变量的乘积设设Mxgxfxx )(, 0)(lim0则对则对),0( , 0 M , 0 总总存存在在

4、,00时时当当 xxMxf )(恒成立恒成立此时此时)()(xgxf)()(xgxf MM . 仍为无穷小量仍为无穷小量.证证高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量无穷小量.设设Mxgxfxx )(, 0)(lim0所以所以)()(xgxf)()(xgxf Mxf)( 从而从而MxfxgxfMxf )()()()(故故0)()(lim0 xgxfxx即即)()(xgxf为无穷小量为无穷小量.推论推论 常数与无穷小量的乘积为无穷小量常数与无穷小量的乘积为无穷小量.证证高等数学微积分第高等数学微积分

5、第7节无穷小量与无穷大量节无穷小量与无穷大量例例1求求.1sinlim0 xxx解解因为因为0lim0 xx11sin x所以所以. 01sinlim0 xxx注注 xxx1sinlim)1(0 xxx1sinlim)2( xxxsinlim)4( xxxsinlim)3(00011高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量二二.无穷小量的比较无穷小量的比较xx2x32x3x11 . 001. 0001. 00000023112 . 03 . 001. 0001. 002. 003. 00001. 0000001. 0002. 0003. 0000001. 00

6、00000001. 0高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量定义定义 设在某一过程中设在某一过程中, ,都是无穷小量都是无穷小量(1)如果如果, 0lim c 称称 与与高阶的无穷小量高阶的无穷小量.记作记作: o).( (2)如果如果, 0lim 称称 是是比比是同阶无穷小量是同阶无穷小量.特别地特别地, 当当1 c时时, 与与称称是等价无穷小量是等价无穷小量. 记作记作:(3)低阶的无穷小量低阶的无穷小量如果如果,lim 称称 是是比比高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量如果如果0)()(lim cxxk则称则称)(

7、)(xx是(4)阶无穷小量阶无穷小量.),0(kk的的注：并非任意两个无穷小量都可进行比较注：并非任意两个无穷小量都可进行比较例例0 xxx1sinx时时与与都是无穷小量都是无穷小量.但但xxxx1sinlim0 xx1sinlim0不存在不存在故二者不可进行比较故二者不可进行比较高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量注注(1)首先是无穷小量首先是无穷小量.(2)比值极限存在比值极限存在(或或).(3)常见的等价无穷小常见的等价无穷小:0 x时时xsinxarctanxarcsin1 xextanxcos1 1)1(1 nxxxxxx221xxn1xxxar

8、csinlim0tttsinlim0 1 )1ln(x x高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量(4)在求极限的过程中在求极限的过程中,等价无穷小量等价无穷小量可互相代换可互相代换.设设 则则 lim lim lim lim证证 lim lim.lim 注注本性质只适合乘除本性质只适合乘除,对加减失效对加减失效. lim lim lim lim高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量例例2求求.cos1)21ln(5sinlim20 xxxx 解解原式原式xxxx20sin)21ln(5sinlim 2025limxxxx

9、.10 原式原式220sin2)21ln(55sinlim10 xxxxxxx .10 高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量例例3 已知已知0 x时时,1cos1)1(312 xx与与 是等价无穷小是等价无穷小, 求常数求常数. 解解 由题设有由题设有11cos1)1(lim3120 xxx 又又1cos1)1(lim3120 xxx 32 故故.23 2202131limxxx 1 高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量(05(05年考研真题年考研真题4 4分分) )极限极限.12sinlim2 xxxx解解 12si

10、nlim2xxxx12lim2 xxxx12lim22 xxx. 2 (04(04年考研真题年考研真题4 4分分) )若若, 5)(cossinlim0 bxaexxx则则., ba解解 因因0)(cossinlim0 bxxx故故0)(lim0 aexx1 a )(cossinlim0bxaexxx )(coslim0bxxxxb 15 从而从而. 4 b 高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量三三.无穷大量无穷大量定义定义 如果在某变化过程中如果在某变化过程中, 变量变量y的绝对值的绝对值无限增大无限增大则称在该则称在该y变量变量变化过程中变化过程中为无

11、穷大量为无穷大量.注注 (1)七种变化过程、数列及一般函数七种变化过程、数列及一般函数都成立都成立.(2)谈无穷大量时指明自变量变化过程谈无穷大量时指明自变量变化过程.(3)区分无穷大量与一个非常大的数区分无穷大量与一个非常大的数.(4)精确性定义精确性定义.),lim:( y记记作作高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量定义定义 如果在某变化过程中如果在某变化过程中, 变量变量y无限无限则称在该则称在该y变化过程中变量变化过程中变量为正无穷大量为正无穷大量.增大增大定义定义 如果在某变化过程中如果在某变化过程中, 变量变量y则称在该变化过程中变量则称在该变

12、化过程中变量y无穷大量无穷大量.且绝对值无限增大且绝对值无限增大取负值取负值),lim:( y记记作作),lim:( y记记作作为负为负复习基本初等函数复习基本初等函数,找出特殊无穷大量、找出特殊无穷大量、注注正无穷大量、负无穷大量正无穷大量、负无穷大量.高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量定义定义 设在某一过程中设在某一过程中, ,都是无穷大量都是无穷大量(1)如果如果, 0lim c 称称 与与低阶的无穷大量低阶的无穷大量.(2)如果如果, 0lim 称称 是是比比是同阶无穷大量是同阶无穷大量.特别地特别地, 当当1 c时时, 与与称称是等价无穷大量是等价无穷大量.(3)高阶的无穷大量高阶的无穷大量如果如果,lim 称称 是是比比四四.无穷大量的比较无穷大量的比较高等数学微积分第高等数学微积分第7节无穷小量与节无穷小量与无穷大量无穷大量五五.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系(1) 如果变量如果变量y是无穷大量是无穷大量, 则则y1是无穷小量是无穷小量.(2) 如果变量如果变量y是无穷小量是无穷小量,则则y1是无穷大量是无穷大量.并且并且0 y证证,0 因因 )(lim0 xfxx,由无穷大量定