浙江大学概率论与数理统计第七八章复习

1、第七、八章复习第七、八章复习点值估计点值估计区间估计区间估计假设检验假设检验参数估计参数估计统计推断统计推断正态总体方差正态总体方差正态总体均值正态总体均值评选标准评选标准 设总体设总体X 的分布函数的形式已知，但是它的某些的分布函数的形式已知，但是它的某些参数是未知的，参数是未知的，通过总体的一个样本来估计总体未通过总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为知参数的值的问题称为参数的点估计问题参数的点估计问题点估计常用方法点估计常用方法: : 参数参数 的估计量的估计量 是样本是样本X1, X2 ,.,Xn 的函数的函数. . 用样本用样本( (原点原点) )矩作为总体矩作为总体( (原

2、点原点) )矩的估计量的方法称为矩的估计量的方法称为矩估计法矩估计法矩估计法的具体做法是矩估计法的具体做法是：令：令), 2 , 1( klAll这是一个包含这是一个包含k个未知参数个未知参数 的联立方程组。的联立方程组。k,21解此方程组，得到一组解解此方程组，得到一组解 ，由于，由于是随机变量，故解是随机变量，故解 也是随机变量，则将也是随机变量，则将 分别作为分别作为 的矩估计量的矩估计量k,21 lA), 2 , 1(kll k,21k,21 最大似然估计法最大似然估计法. 最大似然原理的直观想法最大似然原理的直观想法: :“概率最大的事件最可能出现概率最大的事件最可能出现”. . 极

3、大似然估计法：极大似然估计法：就是固定样本观察值就是固定样本观察值 ，在，在取值的可能范围取值的可能范围 内挑选使似然函数达到最大的参数内挑选使似然函数达到最大的参数 ，作为作为 的估计值，若的估计值，若 为为 的极大似然估计的极大似然估计值，则值，则 为为 的极大似然估计量的极大似然估计量nxxx,21 ),(21nxxx ),(21nXXX (1)(1)设总体设总体X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为似然函数似然函数 ),(xpxXP1( )( ; )niiLp x(2)(2)设总体设总体X是连续型随机变量是连续型随机变量, , 其密度函数为其密度函数为 ，似然函数似

4、然函数);(xfniixfL1);()(在很多情形，在很多情形， L关于关于 可微，要使可微，要使L L 取得最大值，取得最大值，则则 必须满足方程必须满足方程 . .又由于又由于 是是 x 的增函数的增函数，因此，因此 L L与与 在相同点达到最大，故方程在相同点达到最大，故方程可用方程代替可用方程代替0ddLxlnLln0ddL0lndLd则称则称 为为 的的极大似然估计值极大似然估计值，称称 为为 的的极大似然估计量极大似然估计量),(21nxxx ),(21nXXX 若若);,(max);,(2121nnxxxLxxxLk,21由此方程组可解得参数由此方程组可解得参数 的极大似然估计值

5、的极大似然估计值ii), 2 , 1(0kiLi 极大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数极大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况的情况. . 这时这时, ,似然函数似然函数L是这些未知参数的函数是这些未知参数的函数. .分别令分别令或令或令), 2 , 1(0lnkiLi 如果如果 为参数为参数 的极大似然估计量，又函数的极大似然估计量，又函数 具有具有单值反函数，则单值反函数，则 是是 的极大似然估计量的极大似然估计量 )(gg )(g)(g似然估计具有下述性质似然估计具有下述性质: :二、估计量的评选标准二、估计量的评选标准 无偏性、无偏性、有效性、有效性、相合性相合性设设

6、 是未知参数是未知参数 的估计量，如果的估计量，如果 , ,则称则称是是 的无偏估计量的无偏估计量)(E 设设 与与 都是参数都是参数 的无偏估计，如果的无偏估计，如果则称则称 较较 有效有效12)()(21DD12定义定义3 3 设设 是未知参数是未知参数 的估计量，如果对于任意的估计量，如果对于任意，有，有 ，则称，则称 为为 的相合估计的相合估计量量n01limnnPn三、区间估计三、区间估计 为了估计总体为了估计总体X 的未知参数的未知参数 ，通过样本寻求，通过样本寻求一个一个区间区间，并且给出此，并且给出此区间包含参数区间包含参数 真值的可真值的可信程度信程度这就是总体未知参数的这就

7、是总体未知参数的(1). 置信区间的定义置信区间的定义),(21nXXX12(,)nX XX 1P 是两个统计量是两个统计量.若若则称随机区间则称随机区间 为为 的的置信水平置信水平为为1-1- 的的置信区间置信区间. . ( ,) 设总体设总体XN( , 2), ,X1, X2, ,Xn是总体是总体X的样本，的样本，求求 , 2 的置信水平为的置信水平为(1(1) )的置信区间的置信区间. .(2). . 均值均值 的置信区间的置信区间( (a) ) 2为已知时为已知时, ,取取)1 , 0(/NnX 置信区间置信区间: : 2 znX 2/2/, znXznX或或(b)(b) 2 2为未知

8、时为未知时, ,取取 (1)Xt nSn )1(2ntnSX置信区间置信区间: :(3)(3)方差方差 2 2 的置信区间的置信区间)1()1(222 nSn (只介绍只介绍 未知的情况未知的情况)取取方差方差 2 的一个置信度为的一个置信度为1-1- 的置信区间的置信区间: )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn )1(1,)1(122122 nSnnSn 标准差标准差 的一个置信度为的一个置信度为1-1- 的置信区间的置信区间对于给定值对于给定值 ，若由样本，若由样本确定的统计量确定的统计量 满足满足称随机区间称随机区间( )是是 的置信度为的置信度为 的的单侧置信区间单侧置

9、信区间 称为置信度为称为置信度为 的的 )10( nXXX,21),(21nXXX 1P , 1 1又若统计量又若统计量 满足满足也称随机区间也称随机区间 是是 的置信度为的置信度为 的的单侧置信区间单侧置信区间， 称为置信度为称为置信度为 的的单侧置信上限单侧置信上限。),(21nXXX 1P),(112nXXX,21) 1(/ntnSX对于正态总体对于正态总体X，若均值，若均值 ，方差，方差 均为未知，设均为未知，设 是一个样本，由是一个样本，由的置信度为的置信度为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为1) 1( ntnSX的一个置信度为的一个置信度为 的单侧置信区间的单侧置信区间1),1(n

10、tnSX0H1Ho 两类错误两类错误记记: =P第一类错误第一类错误=P拒绝拒绝H0 | H0真真 =P第二类错误第二类错误=P接受接受H0 | H0伪伪四、参数假设检验四、参数假设检验单个总体单个总体N( , 2)均值均值 的检验的检验( (显著水平为显著水平为)1. 1. 已知已知nXZ/0 取统计量取统计量:2|zz a) H0: = 0, H1: 0. 拒绝域拒绝域:zzb) H0: 0, H1: 0拒绝域拒绝域:zz c) H0: 0, H1: 0拒绝域拒绝域:c) H0: 0, H1: 0 0. .但但 , , 2 均为未知均为未知. . X1, X2 , ,Xn为来自总体为来自总

11、体X的样本的样本, , 求求 , , 2 的矩估计量的矩估计量. .解得解得21221, 由矩估计法由矩估计法, ,XA 1 2122AA niiXXnX122)(1, 对任何总体对任何总体, ,总体均值与方差的矩估计量都不变总体均值与方差的矩估计量都不变【注】【注】 其其它它, 010 ,)1()(xxxf1nXXX,21 设总体设总体X的密度函数为的密度函数为其中其中是未知参数是未知参数, 为来自总体的一个为来自总体的一个容量为容量为n的简单随机样本的简单随机样本,试用矩估计法估计试用矩估计法估计 211)(101dxxdxxxpXE解：因为解：因为niiXnXXE11)(X21又因为又因

12、为解之得解之得XX 112(练习练习)若总体若总体X ( ), 则未知参数则未知参数 的矩估计量的矩估计量 设总体设总体X服从服从 a，b上的均匀分布，上的均匀分布，a，b未知，未知， X1, X2 , ,Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本, ,试求试求a，b的的 矩估计量矩估计量 4)(12)()()()( , 2)(222221baabXEXDXEbaXE 解解解得，解得， )(3)(321212121 ba由矩估计法由矩估计法 )(3)(321212121AAAbAAAa niiniiXXnXbXXnXa1212)(3,)(3 nikikXnA11例例5 5 设设Xb(1,p), X

13、1, X2 , ,Xn是来自是来自X的一个样本的一个样本, ,求参数求参数 p 的最大似然估计量的最大似然估计量. .解解 X的分布律为的分布律为 P X= =x=px(1-p)1-x, x=0,1.设设x1, x2 , , xn是相应于是相应于X1, X2 , ,Xn一个样本值一个样本值, ,得似然函数为得似然函数为 nixxiipppL11)1 ()( niiniixnxpp11)1 ()1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii 0)(ln pLdpd,11xxnpnii XXnpnii 11似然估计量似然估计量似然估计值似然估计值令令于是于是 212)(1,xxnxni

14、i 设总体设总体XN( , 2), , , 2均未知，又设均未知，又设X1, X2,.,Xn为总体为总体X 的样本的样本, , x1, x2 , xn为为X的一组样本观测值，的一组样本观测值，试求试求 , 2 的最大似然估计值及估计量的最大似然估计值及估计量. . 212)(1,XXnXnii 2222)(exp21),;( xxf似然函数为似然函数为 22122)(exp21),( inixL niinx122)(21exp)2(1 似似然然方方程程组组 0)(212ln0)(1ln1242212niiniixnLxL niixnnL1222)(21ln2)2ln(2ln X的概率密度为的概

15、率密度为(练习练习) 已知已知X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布, 求参数求参数 的的最大似然估计值最大似然估计值 已知一批灯泡的使用寿命已知一批灯泡的使用寿命T服从参数为服从参数为 的指数的指数分布分布, ,现随机抽取现随机抽取1818只只, ,测得使用寿命测得使用寿命( (小时小时) )如下如下: : 16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520,620, 190, 210,800, 1100 求参数求参数 与与 的最大似然估计值的最大似然估计值1000P T 解解: :因为因为T 服从指数分布，故参数服从

16、指数分布，故参数 的最大似然估计为的最大似然估计为318x10001000100031100011000=tP TedteP Tee的最大似然估计值xxii 181181 所以所以计算得计算得).(318小小时时 由定义知由定义知 较较 有效有效)()(21DD12所以所以 , , 均为均为 的的)(,)(21EE又因为又因为22121121)(41)(41)2121()()(XDXDXXDXDD22121285)(169)(161)4341()(XDXDXXDD因为因为所以所以无偏估计，无偏估计，122设总体设总体X 的数学期望的数学期望 ，方差，方差 存在，存在， 是是X的样的样本，证明估

17、计本，证明估计 时时, , 与与 都是都是 的无偏估计的无偏估计, ,但但 比比 更有效更有效21,XX2112121XX 2124341XX 12例例9. 设总体设总体X服从服从0, 上的均匀分布上的均匀分布, X1, X2,Xn是是来自来自X的样本的样本. 求求 的矩估计量及最大似然估计的矩估计量及最大似然估计量量,并判断它们是否是并判断它们是否是 的无偏估计量的无偏估计量.解答解答X2 矩矩 ininXX 1max最最大大 是无偏估计量是无偏估计量, , 不是无偏估计量不是无偏估计量. .矩矩 最最大大 有一大批糖果，现从中随机地取有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以袋，称得

18、重量（以克计）如下：克计）如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ，设袋装糖果的重量近似地服从，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值正态分布，试求总体均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。解：解： 2未知未知, 1-1- =0.95=0.95, /2=0.025,/2=0.025,n n-1=15,-1=15, 1315. 2)15(025. 0 t2022. 6,75.503sx6.2022503.752.131516得均值得均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区

19、间为的置信区间为 即（即（500.4, 507.1）由已知的数据算得由已知的数据算得由于由于 (1)Xt nSn )1(2ntnsx 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得重量（以克计）称得重量（以克计）如下：如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差试求总体标准差 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。解解：现在现在查表得查表得又又 s =6.2022 . 20.025,

20、120.975,115n 220.0250.975(15)27.488,(15)6.262,(4.58, 9.60)经计算得所求的标准差经计算得所求的标准差 的置信区间为的置信区间为2221211, ,(1)(1)nSnSnn 标准差标准差 的置信区间为的置信区间为 某工厂用某台包装机包装糖果，包得的袋装糖重是一某工厂用某台包装机包装糖果，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5千克千克,标准差为标准差为0.015千克。某日开工后，为检验包装机是否正千克。某日开工后，为检验包装机是否正常常, 随机地抽取它所包装

21、的糖随机地抽取它所包装的糖9袋袋,称得净重为称得净重为(千克千克):0.497, 0.518, 0.506, 0.511, 0.488, 0.524, 0.510, 0.515, 0.512 .问机器是否正常问机器是否正常?96. 120. 2|0nxz, 故拒绝故拒绝H0.计算得计算得0100:5 . 0: HH和和 0.05，n=9拒绝域为拒绝域为:解解 按题意检验假设按题意检验假设(设显著水平为设显著水平为 0.05)取检验统计量取检验统计量nXZ 0 96. 1|025. 02/ zzz ),(200NX23. 00),(2NX1021,xxx05. 022例例13 在正常的生产条件下

22、在正常的生产条件下,某产品的测试指标总体某产品的测试指标总体,其中其中,后来改变了生产工艺后来改变了生产工艺,从新产品中随机地抽取从新产品中随机地抽取10件件,测得样本值为测得样本值为算得样本标准差算得样本标准差s=0.33,试在检验水平试在检验水平的情况下的情况下,是否有显著变化是否有显著变化;是否变大。是否变大。生产出新产品生产出新产品,假设新产品的测试指标总体假设新产品的测试指标总体检验检验: （1）方差）方差（2）方差）方差2解解:本题为正态总体在本题为正态总体在 未知的情况下未知的情况下,方差方差的假设检验问题的假设检验问题.(1)是双侧检验问题是双侧检验问题,(2)是单侧检验问题是

23、单侧检验问题.:;23. 0:)1(202122020 HH . 91,10,1122022 nnnSnk取统计量取统计量0H ,11, 022221nn ,527.1823. 033. 09222 k的拒绝域为的拒绝域为 7 . 291,023.19912975. 02212025. 022 nn 得得: 查表得查表得: 0H0H202:,023.19527.187 . 2 2k这里这里, 不在不在的拒绝域的拒绝域,接受假设接受假设,即新产即新产 品的指标方差与原产品比较品的指标方差与原产品比较,没有没有显著变化。显著变化。.:;:20212020HH1122022nSnk,12n 919.

24、1691205. 02n2218.52716.9191 ,kn0H2202123. 0:H(2) 统计量仍然为统计量仍然为拒绝域为拒绝域为查表查表经计算经计算故拒绝故拒绝,接受接受即认为新产品指标的方差比原产品即认为新产品指标的方差比原产品指标的方差显著指标的方差显著变大变大.1414 设某次考试的学生成绩服从正态分布设某次考试的学生成绩服从正态分布, ,从从 中随机地抽取中随机地抽取3636名考生的成绩名考生的成绩, ,算得平均成算得平均成绩为绩为66.5 ,66.5 ,标准差为标准差为1515分分.(1).(1)问在显著水平问在显著水平 =0.05=0.05下下, ,是否可以认为这次考试全

25、体考生是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为的平均成绩为7070分分?(2)?(2)在显著水平在显著水平 =0.05=0.05下下是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16162 2? ?答答: : (1)认为这次考试的平均成绩为认为这次考试的平均成绩为70分分 (2)认为这次考试的成绩方差为认为这次考试的成绩方差为162 1. 对于正态总体的对于正态总体的 进行假设检验进行假设检验,假如在假如在 = =0.05下接受下接受H0: = = 0 0.那么在那么在 = =0.01时时,下列下列 结论中正确的是结论中正确的是( )(A) 必接受必接受H0(B)

26、 可能接受也可能拒绝可能接受也可能拒绝H0(C) 必拒绝必拒绝H0(D) 不接受也不拒绝不接受也不拒绝H0例例15选择选择2.(04)2.(04)设随机变量设随机变量 对给定的对给定的 ，数，数 满足满足 ， 若若 ，则，则 等于等于 。 ),1 , 0( NX)10( u uXP xXPx(A)(A)(D)(D)(B)(B)(C)(C)2 u21 u21 u 1u3. 设设(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体N( , 2)的的样本样本, ,则则D(S2)=( ) 21211 niiXXnS(A)n4 (B)n42 (C)14 n (D)124 n 4. 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本, E(X)= , D(X)= 2 , 为为