人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷三（解析版）

1、人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷三注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知直线a在平面外，则（）AaB直线a与平面至少有一个公共点CaAD直线a与平面至多有一个公共点【答案】D【分析】由直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交得答案【解答】解：空间中直线与平面的位置关系有两种，即直线在平面外和直线在平面内，而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交，可知，若直

2、线a在平面外，则直线a与平面至多有一个公共点，故选：D【知识点】平面的基本性质及推论 2.在ABC中，若点D满足，则（）ABCD【答案】C【分析】由题意先求出，再求出【解答】解：在ABC中，；如图；，又，（）；+（）+；故选：C【知识点】向量加减混合运算 3.设E为ABC所在平面内一点，若2，则（）A+BC+D【答案】A【分析】直接利用向量的线性运算的应用和减法求出结果【解答】解：E为ABC所在平面内一点，若2，根据向量的线性运算：，则故选：A【知识点】向量数乘和线性运算 4.复数z满足z（1+i）1ai，且z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A1，1B（，1）C（1，1）

3、D（1，+）【答案】C【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解【解答】解：由z（1+i）1ai，得z，z在复平面内对应的点在第四象限，解得1a1实数a的取值范围是（1，1）故选：C【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 5.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面a使aBM，则平面a截正方体所得截面的面积为（）ABCD【答案】C【分析】先作出平面，进而求出截面的面积【解答】解：作出截面 CDEF，点 E，F 分别为 AA1，BB1中点，四边形CDEF的面积为故选：C【知识点】平面的基本性质及推论 6

4、.已知zx+yi，x，yR，i是虚数单位若复数+i是实数，则|z|的最小值为（）A0BC5D【答案】D【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得xy+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出【解答】解：复数+i是实数，0，得到xy+2|z|，当且仅当y1，x1取等号|z|的最小值为故选：D【知识点】复数的模 7.已知平面向量，满足|2|2|2|2，则的取值范围是（）A1，2BCD【答案】C【分析】建立平面坐标系，得出三向量的终点满足的条件，用参数表示出，根据三角恒等变换化简即可求出最小值【解答】解：设，则由题意可知PA2，AB1，PC1，BC1，以PA为x轴，以PA的中垂

5、线为y轴建立平面直角坐标系Oxy，则B点在圆A：（x1）2+y21上，C点在圆P：（x+1）2+y21上，设B（1+cos，sin），C（1+cos，sin），则（2+cos，sin），（cos，sin），2cos+coscos+sinsin，BC1，|1，+21，即（1+cos）2+sin2+（1+cos）2+sin22（1+cos）（1+cos）2sinsin1，整理可得：coscos+sinsin+2cos2cos，+2cos，|BC|1，以B为圆心，以1为半径的圆B与圆P有公共点，故1|PB|2，即1（2+cos）2+sin22，22cos，1故选：C【知识点】平面向量数量积的性质及其

6、运算 8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的上的一点，且A1E2EA2，M为侧面ABB1A1上的动点若C1M面ECD1，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥B1PQC1的外接球的表面积是（）A27B11C14D17【答案】D【分析】若C1M面ECD1，则P、Q分别满足B1Q2QB2，B1P2PA12；然后证明C1QD1E，PQD1C，根据面面平行的判定定理可推出平面C1PQ平面ECD1，故C1M面ECD1；于是以B1为顶点，B1P、B1Q、B1C1分别为长、宽、高构造一个长方体，求得该长方体的体对角线即可得三棱锥B1PQC1外接球的直径，再由球的表面积公式即可得解【解

7、答】解：若C1M面ECD1，则P、Q分别满足B1Q2QB2，B1P2PA12理由如下：连接C1Q、C1P，A1E2EA2，B1Q2QB2，C1D1EQ，C1D1EQ，四边形C1D1EQ为平行四边形，C1QD1EB1Q2QB2，B1P2PA12PQA1BD1C又C1QPQQ，D1ED1CD1，C1Q、PQ平面C1PQ，D1E、D1C平面ECD1，平面C1PQ平面ECD1，C1M平面C1PQ，C1M面ECD1以B1为顶点，B1P2、B1Q2、B1C13分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体对角线为三棱锥B1PQC1外接球的直径，2R，其中R为外接球的半径，R，外接球的表面积S4R217故选

8、：D【知识点】球的体积和表面积 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分） 9.ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（）A是单位向量BCD【答案】ABD【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确【解答】解：A，由得，是单位向量，该选项正确；B，该选项正确；C.，由得，即，该选项错误；D，由上面得，该选项正确故选：ABD【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算 10.四边形ABCD中，ABCD，A90，AB

9、2AD2DC，则下列表示正确的是（）ABCD【答案】BD【分析】根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确【解答】解：由已知四边形ABCD如图所示：由图可得：+，所以A错误，（+）+）+，B正确，C错误，D正确，故选：BD【知识点】平面向量的基本定理 11.如图，直角梯形ABCD，ABCD，ABBC，BCCDAB1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC则（）A平面PED平面EBCDB二面角PDCB的大小为CPCEDDPC与平面PED所成角的正切值为【答案】AB【分析】根据PC的长证明PE平面BCDE，分别计算线线角、线面角、面面角的大小即

10、可作出判断【解答】解：ABCD，BCAB，CDBCABBE，四边形BCDE是正方形，DEAE，DEBE，故翻折后DEPE，PEAE1，EC，PC，PE2+EC2PC2，故PEEC，又DEECE，PE平面BCDE，又PE平面PDE，平面PED平面BCDE，故A正确，由PE平面BCDE可得PECD，又CDDE，PEDEE，CD平面PDE，故CDPD，PDE为二面角PDCB的平面角，PEDE1，PEDE，PDE，故B正确；DEBC，PCB为异面直线PC与DE所成的角，DEPE，DEBE，PEBEE，DE平面PBE，DEPB，又DEBC，BCPB，PCB，故C错误；由CD平面PDE可得CPD为PC与平

11、面PDE所成角，tanCPD，故D错误故选：AB【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直、直线与平面所成的角 12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】ABC【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D【解答】解：对于A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，所以A正确；对

12、于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13.已知平面向量，其中，则；若t为实数，则的最小值为【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；根据进行数量积的运算即可求出，然后配方即

13、可求出答案【解答】解：，；，t1时，取最小值故答案为：【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 14.在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9若m+（m）（m为常数），则CD的长度是【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示由AP9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B（4，0），C（0，3），由m+（m），得，整理得：2m（4，0）+（2m3）（0，3）（8m，6m9）由AP

14、9，得64m2+（6m9）281，解得m或m0当m0时，此时C与D重合，|CD|0；当m时，直线PA的方程为yx，直线BC的方程为，联立两直线方程可得xm，y32m即D（，），|CD|CD的长度是0或故答案为：0或【知识点】向量的概念与向量的模 15.已知复数zx+yi（x，yR）满足|z1|x，那么z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程为；|z|min【分析】把zx+yi（x，yR）代入|z1|x，整理后可得z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程，画出图形，数形结合可得|z|min【解答】解：zx+yi（x，yR）且|z1|x，|（x1）+yi|x，即，整理得y22x1图象如图，|z|m

15、in故答案为：y22x1；【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，求出ADSD，OD，SO，该六

16、面体的体积V2VSABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，则ADSD，OD，SO，该六面体的体积：V2VSABC2当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球半径，SOODSDOE，球半径ROE，该球体积的最大值为：V球故答案为：，【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

17、四、解答题（本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知向量（2sinA，1），（sinA+cosA，3），其中A是ABC的内角（1）求角A的大小；（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，0，求b+c的取值范围【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出；（2）根据即可得出，然后根据正弦定理即可得出，从而可得出，从而可得出b+c的取值范围【解答】解：（1），0A，解得；（2）由，得B为钝角，由正弦定理，得，bsinB，又，b+c的取值范围为【知识点】平面向量数量积的性质及其运算 18.如图，在OAB

18、中，点P为直线AB上的一个动点，且满足，Q是OB中点（）若O（0，0），A（1，3），B（，0），且，求的坐标和模？（）若AQ与OP的交点为M，又t，求实数t的值【分析】（）根据题意，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，（II）由，然后结合向量的线性表示可转化为，再结合tt（），结合平面向量基本定理可求【解答】解：（）根据题意，Q是OB中点，即OQ，又ON，且A（1，3），B（），若O（0，0），A（1，3），B（，0），且，可知（），（），（1，1），且|，（II）因为，所以，可以化简为：，又tt（），不妨再设，即，所以（1）+，由Q是OB的中点，所以，即（1）+，由，可得1，联立得t

19、【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理 19.已知复数z1+（a21）i，z22+2（a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（）若虚数z1是实系数一元二次方程4x24x+m0的根，求实数m值【分析】（1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可；（）利用z1是实系数一元二次方程4x24x+m0的根，得到另一个根是复数z1的共轭复数，利用根与系数的关系得到a和m【解答】解：（由已知得到z1z22+（a22a3）i，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以；（）因为虚数z1是实系数一元二次

20、方程4x24x+m0的根，所以1是方程的另一个根，所以1，所以a0，所以，所以，所以m5【知识点】复数的运算 20.已知复数z满足z（1+3i）（1i）4（1）求复数z的共轭复数；（2）若z+ai，且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；（2）求出复数、z对应的向量、，利用|列出不等式求出a的取值范围【解答】解：（1）复数z（1+3i）（1i）41+i+3i+342+4i，复数z的共轭复数为24i；（2）z+ai2+（4+a）i，复数对应向量为（2，4+a）；此时|，又复数z对应的向量（2，4），|2；|，2，即a（a+8）0，解得实数a的取值范围是8a0【知识点】复数的模 21.如图所示，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAEBCAD1，BCAD，AE平面ABCD，BAD90，N为DE的中点（1）求证：NC平面EAB；（2）求二面角ACND的余弦值【分析】（1）取AE中点F，连接FN，BF，证明四边形BCNF为平行四边形，即可证得NCBF，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可【解答】解：（1）证明：取AE中点F，连接FN，BF，易知，又，故，四边形BCNF为平行四边形，NCBF，又NC平面ABE，BF平面AB