次根式导学案

1、第 22 章二次根式导学案二次根式 (1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：a 0(a 0)和 ( a)2 a(a 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质难点：综合运用性质 a 0(a 0) 和( a)2 a(a 0) 。三、学习过程(一)复习引入：(1) 已知 x2 = a，那么 a是 x 的; x 是 a的, 记为a 一定是 数。 4(2) 4 的算术平方根为 2，用式子表示为 = ；正数 a 的算术平方根为 ，0 的算术平方根为 ；式子 a 0(a 0) 的意义是二)提出问

2、题1、式子 a 表示什么意义 ?2、什么叫做二次根式？3、式子 a 0(a 0) 的意义是什么？4、( a)2 a(a 0) 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？三)自主学习 自学课本第 2 页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？32、计算 ：(1) ( 4) 2(2) ( 3 )23) ( 0.5)2( a) a(a 0) 的意义是指a只有非根式3 、 当 a 为 正 数 时的，而 0 的算术平方根是，负数 ，负 数 a 才 有 算 术 平 方 根 。 所 以 ， 在 二 次中，字母 a 必须满足才有意义。（四）合作探究1、学生

3、自学课本第 2 页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习x 取何值时，下列各二次根式有意义？ 3x 4 2 2x 12、（1）若 a 3 3 a 有意义，则 a 的值为 （2）若 x 在实数范围内有意义，则 x 为（ ）。A. 正数B.负数C.非负数D.非正数（五）展示反馈 （ 学生归纳总结 ）1非负数 a 的算术平方根 a（a 0） 叫做二次根式 .二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数 a 必须是非负数2式子 a(a 0) 的取值是非负数。(六) 精讲点拨1、二次根式的基本性质 ( a)2=a 成立的条件是 a0，利用这个性质可以

4、求二次根式的平方，如 ( 5 ) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方 形式，如 5=( 5) .2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等 式。(七) 拓展延伸1 2x1、(1) 在式子中，x 的取值范围是 .1x(2) 已知 x2 4+ 2x y 0，则 x-y .(3) 已知 y 3 x + x 3 2, 则 y x= 。2、由公式 ( a)2 a(a 0) ，我们可以得到公式 a=( a)2 , 利用此公式可以 把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。(1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：（2） 在实数范围内因式分解4a-11八）达标测试A组（ 一 ）

5、 填空题：)(x-)_) (x- )A. x-3 B. x-3 =-3 D x的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 ( )A. 3= ( 3) 如果等式 ( x)2= x 成立，那么 x 为( )A x 0; =0 ; 0; 0二）填空题 :1、 若 a 2 b 3 0 ，则 a2 b = B = ( 0.5)2C . ( 0.3)2 = D (5 7)2=35B组一) 选择题：1、下列各式中，正确的是()。9 4 9 4 A. =4 9 9 4B562、分解因式： x4 - 4X 2 + 4= .3 、当 x= 时，代数式 4x 5 有最小值， 其最小值是 。二次根式 （2）一、学习目标1

6、、掌握二次根式的基本性质：a2 a2、能利用上述性质对二次根式进行化简 .二、学习重点、难点重点：二次根式的性质 a2 a 难点：综合运用性质 a2 a 进行化简和计算。三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式 x25 有意义，则 x 。3）在实数范围内因式分解：2x -6= x)2=x+ )(x-（二）提出问题1、式子 a a 表示什么意义 ?2、如何用 a a 来化简二次根式 ?3、在化简过程中运用了哪些数学思想三）自主学习自学课本第 3 页的内容，完成下面的题目：1、计算：420.22202观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：2、计算：（ 4）

7、( 0.2)2( 45)2观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当( 20)2 a 0时 , a3、计算：02四）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：aa0a2 a0 a 0a a 02、化简下列各式：(1) 0.32 (2) 0.3 2 (3) 5 2 (4) (2a)2 (a0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质( a)2 a(a 0)与 a2 a 有什么区别与联系。五) 展示反馈1、化简下列各式1) 4x2 (x 0) (2) x2、化简下列各式六) 精讲点拨利用 a2 a 可将二次根式被开方数中的完全平方式 “开方” 出来，

8、达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“ a”的取值。(七)拓展延伸(1)a 、b、c 为三角形的三条边，则 (a b c)2 b a c .(2) 把(2-x)1 的根号外的( 2-x )适当变形后移入根号内，得( )x2A、 2 x B、 x 2 C 、 2 x D 、 x 2(3) 若二次根式 2x 6有意义，化简 x-4 -7-x。八)达标测试：A组1、填空：(1)、 (2x 1)2 - ( 2x 3)2 (x 2) =2)、 ( 4) 2 =2、已知 2x 3，化简： (x 2) 边长为 a 的正方形桌面，正中间有一个边长为 a 的正方形方孔若沿 3图中虚线锯开，可以拼成一个新的正

9、方形桌面你会拼吗？试求出新的正 方形边长 x 3B组1、 已知 0 x”、“0 ）是二次根式，化为最简二次根式是（）D 以上都不对B xy （y0） C xy （y0） y2）化简二次根式 a a 22 的结果是、 - a 2 C 、 a 2 D2 、填空：1）化简 x4 x2y2 =（x 0）2）已知 x1 ，则 x 1 的值等于5 2 x3 、计算：（1） 134 47 21 （2）B组1、计算： b ab ?( 2 a b) 3 a (a0,b0)2、若 x、y 为实数，且 y= x 4 4 x 1，求 x y ? x y 的值 x2二次根式的加减法二次根式的加减法一、学习目标1、了解同

10、类二次根式的定义。2、能熟练进行二次根式的加减运算。二、学习重点、难点重点：二次根式加减法的运算。难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。三、学习过程（一）复习回顾1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3ab3、计算：（ 1） 2x-3x+5x（2） a2b 2ba2二）提出问题1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？三）自主学习自学课本第 1011 页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：2) 2与 31) 2 2与 3 23) 5与 204) 18与 12从中你得到：2、自学课本例 1，例 2 后，仿

11、例计算：(1) 8+ 18(2) 7 +2 7+3 9 73) 3 48 -9通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应四) 合作交流，展示反馈 小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6 分钟11(1) 12 ( ) (2) ( 48 20) ( 12 5)(3)yy4) 2 x 9x3五）精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。2、二次根式的加减分三个步骤： 化成最简二次根式； 找出同类二次根式； 合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。六）拓展延伸1、如图所示，面积为 48cm2 的正方形的四个角是面积为 3cm2 的小正方形，现将这四个角剪掉

12、，制 作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底 面边长分别是多少？222、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（ 2x 9x +y2 x3 ）-（x2 1-5x y ）的值七）达标测试：A组1、选择题（1）二次根式： 12； 22 ； 2 ； 27中，与 3 是同类二次根式的是（ ）A 和B和C 和D和（ 2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A 2x 与 2y B434859与2、计算：1)7 2+ 3 8- 5 50B组1、选择：已知最简根式 a 2a满足条件的 a,b 的值(A不存在BC有二组D2、计算：1)3 90+ 52- 4 410 (2)b与a b 7 是同

13、类二次根式，则)有一组多于二组2x 8x3 2 2xy2 (x 0,y 0)二次根式的混合运算、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混 合运算。二、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程（一）复习回顾：1、填空（1）整式混合运算的顺序是：2）二次根式的乘除法法则是：3）二次根式的加减法法则是：4）写出已经学过的乘法公式：2、计算：1) 63) 2 3 8 1 12 1 5025二）合作交流1、探究计算：1)( 8 3 ) 62) (4 2 3 6) 2 22、自学课本 11页例 3 后，依照例题探究计算

14、：1) ( 2 3)( 2 5)2) (2 32)2三）展示反馈计算：（限时 8 分钟）1) (13 27 24 3 23) 122) (2 3 5)( 2 3)3) (3 2 2 3) 24)( 10- 7)(- 10- 7 )四）精讲点拨整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项 式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适 用于二次根式的运算。五）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式 （a b）2 a2 2ab b2 ，你一 定熟练掌握了吧 ! 现在， 我们又学习了二次根式， 那么所有的正数 （包 括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）

15、2 ， 5=（ 5 ） 2，下面我们观察：( 2 1)2 ( 2)2 2 1 2 12 2 2 2 1 3 2 2反之， 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1)2 3 2 2 ( 2 1)2 3 2 2 = 2 -1仿上例，求：( 1)； 4 2 3(2)你会算 4 12 吗？（3）若 a 2 b m n ，则m、n与 a、b的关系是什么？并说明理 由（六）达标测试：A组1、计算：（1） （ 80 90） 5（2） 24 3 6 2 32、已知 a2 1,b2 1 ，求 a2b2 10 的值B组1、计算：(1) ( 32 1)( 3 2 1)(2) (3 10) 2009(3 10) 200

16、92、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为 8cm2, 另一个为 18cm2，他想如果再用金 彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为 50cm 的金彩带，请你帮 忙算一算，他的金彩带够用吗？二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。 难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程(一)自

17、主复习自学课本第 13 页“小结”的内容，记住相关知识， 完成练习：1若 a 0， a 的平方根可表示为 a 的算术平方根可表示 2当 a时， 1 2a 有意义，当 a时， 3a 5 没有意义。3 ( 3)2 ( 3 2)2 5 12 27 ; 125 20 二)合作交流，展示反馈1、式子 x 4 x 4 成立的条件是什么 ?x 5 x 52、计算： (1)2 12 41 3 5 2 (2)192y5x24 9y3(1) 2 5 3 3 75 (2) ( 3 2 2 3) 2三)精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：1) ( a)2 a(a 0)与a ( a)2(a

18、 0)a a 02) a2 a0 a 0a a 03) a? b ab(a 0,b 0)与 ab a? b(a 0,b 0)（4）a a（a 0,b 0）与 a a （a 0,b 0）（5）（a b）2 a2 2ab b2与（a b）（a b） a2 b2（四）拓展延伸1、用三种方法化简 66解：第一种方法：直接约分第二种方法：分母有理化第三种方法：二次根式的除法2、已知 m,m为实数，满足 m n 9 9 n 4，求 6m-3n的值 n3（五）达标测试：A组1、选择题：（ 1）化简5 2 的结果是（ ）A 5 B -5 C 士 5 D 25（2）代数式 x 4中，x 的取值范围是（ ）x2x

19、 4且 x 23)列各运算，正确的是(不对9 215295 354)5)C 5 125 5 125 D x2 y2x2 y如果 x(y 0) 是二次根式，化为最简二次根式是(A x (y 0) B xy(y 0)yxy(y 0) D以上都化简 3272 的结果是(A 32B2、计算 (1) 272345(2)16 2564(3) ( a 2)( a2)(4)(x3)23、已知 a322,b3 2 求 1 1 的值2 a bB组12 2Ca4b a2 b Dx3 x2 x x 13）把 （a 1） 1 中根号外的（a 1） 移人根号内得（）1、选择：1）a 15,b 55 ，则（）A a,b 互

20、为相反数 B a,b 互为倒数C ab 5 D a=b2）在下列各式中，化简正确的是（）3 15A a 1B1aC a 1D1a2、计算：（1） 2 6 36 542（2）0.9 1210.36 100参考答案二次根式 ( 一 )五) 拓展延伸11、 (1) x 1,且x 1 (2) 6 (3) 822、(1) ( 5) 2( 0.35)2(2) (x 7)( x 7) (2a 11)(2 a 11)六) 达标测试(A 组)( 一) 填空题：1、 3 2 、（21) x2 - 9= x222 - (3)2=(x+ 3 )(x-3);52(2)x2 - 3 = x2 - ( 3) 2 = (x+

21、 3) (x- 3)（二）选择题：1、D2 、 C 3、D（B 组） （一）选择题：二）填空题1、 1 2 、 (x2 2)(x 2)(x 2)3 、54，0二次根式 （ 二）（五）展示反馈1、(1)2x (2)x22、( 1) a 3（2）2x 3七）拓展延伸（1）2a （2）D （3） 3八）达标测试：A组1 、（ 1）、 2（2）、 42、1B组1 、 2x 2 、22a3二次根式的乘除法二次根式的乘法（七）拓展延伸1、（1）错（ 2）错（ 3） 错（ 4）错八）达标检测：A 组 1、（1）2）3) A2、（1）6 102）4 2x2 ；3、（1）6 152）B 组 1、（1） B2）2、( 1) 48 32) 4 3abB组（1） 2 2 ；二次根式的除法六）拓展延伸(1)）) 22七）达标测试：A组 1、（1）A（2）2、（1）63 （2）2x （3）4）3x8y2）最简二次根式四）合作交流1、12 、（ 1）2.8 2342) 7 6 6 73、 AB=3 5 六）拓展延伸21 1 3 1 2+200912008)( 20091)=2008七）达标测试：A 组 1、（1） C2）B 2、(1) x x2 y2 ( 2)43 、 (1) 22(2) -B 组 1、 a2b2 ab 2374二次根式的加减法 二次根式的加减法四）合作交流，展示反馈（1