科学和工程计算复习题及答案

1、科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的 精度 和得到结果需要付出的 代价 .2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由 算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,主要由 使用数据的数量 决定.3. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成 算术运算 .4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是 数值不稳定的 ,否则是 数值稳定的 .5. 函数求值问题的条件数定义为:6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限.7. 方程

2、实根的存在唯一性定理:设且,则至少存在一点使.当在上 存在且不变号 时,方程在内有唯一的实根.8. 函数在有界闭区域D上对满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点和成立不等式:.其中常数L 只依赖于区域D .9. 设为其特征值,则称为矩阵A的谱半径.10. 设存在,则称数为矩阵的条件数,其中是矩阵的算子范数.11. 方程组,对于任意的初始向量和右端项,迭代法收敛的充分必要条件是选代矩阵B的 谱半径.12. 设被插函数在闭区间上阶导数连续,在开区间上存在.若为上的个互异插值节点,并记,则插值多项式的余项为,其中.13. 若函数组满足 k,l=0,1,2,n ,则称为正交函数序列.14

3、. 复化梯形求积公式,其余项为15. 复化Simpson求积公式,其余项为16. 选互异节点为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为 2n+1 .17. 如果给定方法的局部截断误差是,其中为整数,则称该方法是 P阶的或具有P阶精度 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象.19. 迭代序列终止准则通常采用，其中的为 相对误差容限 .20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)的系数矩阵 非奇异并良态 .二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方

4、程组的充分条件? ( D )A. 矩阵的各阶顺序主子式均不为零; B. 对称正定;C. 严格对角占优; D. 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A. ; B. ; C. ; D. .3. 对于任意的初始向是和右端项,求解线性代数方程组的迭代法收敛的充分必要条件是( A ). A. ; B. ; C. ; D. 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件? ( C )A. 为严格对角占优阵; B. 为不可约弱对角占优阵;C. 的行列式不为零; D. 为对称正定阵.5. 设，并记，

5、则函数的过点的线性插值余项,满足( A ). A. ; B. ; C. ; D. .6. 设是在区间上带权的首项系数非零的次正交多项式,则的个根( A ). A. 都是单实根; B. 都是正根; C. 有非负的根; D. 存在重根7. Legendre多项式是( )的正交多项式.( B )A. 区间上带权; B. 区间上带权;C. 区间上带权; D. 区间上带权8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram矩阵与( D )无关?A. 基函数; B. 自变量序列;C. 权数; D. 离散点的函数值.9. Simpson求积公式的余项是( B ).A. ; B. ;C. ; D. 10. 个互

6、异节点的Gauss型求积公式具有( D )次代数精确度.A. ; B. ; C. ; D. .11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ). A. ; B. ; C. ; D. .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的( A ). A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和.14. 当( B )时,求解的显式Euler方法是绝对稳定的. A. ;

7、B. ; C. ; D. 15. 求解的经典R-K公式的绝对稳定条件是( C ): A; B. ; C. ; D. .16. 在非线性方程的数值解法中,只要,那么不管原迭代法是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. ; D. .17. 在非线性方程的数值解法中,Newton迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的.A. 1; B. 0; C. ; D. .18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的.A. 1; B. ; C. ; D. .19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用(

8、 A ),其中的为给定的相对误差容限. A. ; B. ; C. ; D. .20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( )3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( )4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。( )5. 设,

9、则的充要条件是的谱半径.( )6. 若,则一定有.( )7. 求解线性代数方程组,当很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快. ( )9. 均差(或差商)与点列的次序有关. ( )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. ( )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson求积公式是4阶收敛的. ( )12. Gauss求积系数

10、都是正的. ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. ( )14. 在Runge-Kutta法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. ()15. 求解的梯形公式是无条件稳定的. ( )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ()18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭

11、代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. ( )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. ( )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性. ( )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。P65 例3.2.12. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用

12、增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。解：方程组的增广矩阵第一次消元：消元因子，进行消元，得第二次消元：消元因子，进行消元，得回代得，易知，3. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。解：方程组增广矩阵第一次消元：消元因子，进行消元，得第二次消元：消元因子，进行消元，得回代得，易知，4. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中

13、的三角阵和；（3） 由计算。解：方程组增广矩阵第一次消元：消元因子，进行消元，得第二次消元：消元因子，进行消元，得回代得，易知，5. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。解：方程组增广矩阵第一次消元：消元因子，进行消元，得第二次消元：消元因子，进行消元，得第三次消元：消元因子，进行消元，得回代得，易知， 6. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。解：方程组增广矩阵第

14、一次消元：消元因子，进行消元，得第二次消元：消元因子，进行消元，得第三次消元：消元因子，进行消元，得回代得，易知， 7. 用追赶法求解三对角方程组,其中解：，得，解得，得， 8. 用追赶法求解三对角方程组,其中，得，解得，得，Page77 例3.3.1 9. 用追赶法求解三对角方程组,其中解：，得， 解得，得， 五、 插值与拟合1. 已知函数的三个点，写出Lagrange插值基函数,并求2次插值多项式.Page117 例4.2.12. 已知,求函数过这三点的二项Lagrange插值多项式.解：这里n=23. 求不超过3次的多项式，使它满足插值条件： Page 121 例4.2.44. 求不超过

15、4次的多项式，使它满足插值条件： 解：构造其中的插值基函数，为三次多项式，为待定常数。计算得， 由于，得=，所以=5. 给定数据如下:11.5021.252.501.005.50(1) 作函数的均差表;(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式.解：均差表1阶均差2阶均差3阶段均差11.251.52.5001.0025.502）=1.25+2.5+1.5+6. 求不超过3次的多项式，使它满足插值条件:解：构造其中的插值基函数，为三次多项式，为待定常数。计算得， 7. 己知函数的三个点处的值为：在区间-1, 1上,求在自然边界条件下的三次样条插值多项式.P129 例4.4.18. 已知为定义在区间上

16、的函数,且有试求区间上满足上述条件的三次样条插值函数.解：，；，均差表1阶均差2阶均差0010.522.031.5，利用固支条件，得矩阵用追赶法求解方程组：，得， 解得，得，所以，i=0,1,29. 己知点列和权数,试用三项递推公式构造对应的正交多项式.解：，=2于是，=22=，于是=10. 观察物体的直线运动,得出如下数据：时间t /s0.00.91.93.03.95.0距离s /m010305080110求运动方程,并作图.解：选择多项式子空间的基函数为,它们在自变量序列处的函数值向量为，数据中没有给出权数，表示默认它们都是1，即。格兰姆矩阵G=右端向量d=解正规方程组，得到得图形如下：1

17、1. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据:012340.000.250.500.751.000.100.350.811.091.96Page151 例4.6.112. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据:012340.000.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：n=2，子空间的基函数为，。数据中没有给出权数，表示默认它们都是1，即。解正规方程组，得到13. 用自己的语言叙述最小二乘原理，并求参数和，使积分值最小.解：最小二乘原理：Page146 定义4.6.1，对于连续函数的情况可以用函数范数代替向量范数。令，选择多项式子空间的基函数为,

18、权函数。格兰姆矩阵G=右端向量d=解正规方程组，得到，六、 数值积分和数值微分1. 求积公式已知其余项的表达式为,试确定系数使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.解：P165 例5.2.12. 确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.(1) 解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令，带入上式，有，由第一式可知，代入第三式可得， 4乘以第四式减去第二式得，由题目和上面的结论知，得0，于是得求积公式它至少有3次代数精度。(2) 解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分

19、别令，带入上式，有，由和第二式可知，再由第三式可知，再由第一式知,于是得求积公式它至少有3次代数精度。(3) 解：P165 例5.2.1，本题有三个未知量，至少有2次代数精度，和例5.2.1类似。3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精确度的次数, 并求出余项中的常数.(1) 解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。按代数精确度，分别令，带入上式，有，解得，则有令，分别代入求积公式的左右两边，左边=，右边=，左边不等于右边，不能使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。考虑余项，当时，代入求积公

20、式，得，所以余项为：(2) 解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。按代数精确度，分别令，带入上式，有，解得，则有令，分别代入求积公式的左右两边，左边=0，右边=，左边不等于右边，不能使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。考虑余项，当时，代入求积公式，得，所以余项为：4. 给定数据表:1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.46675分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算的近似值.解：，复化梯形公式：， =5.058337，复化Simpson公式:=5.0330025.

21、分别用4段梯形公式和2段Simpson公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。(1) (2) 解：（1）n=4,h=(9-1)/4=2数据表：1357911.73212.23612.64583复化梯形公式：， =17.228，复化Simpson公式:=17.322精确解：17.333，复化Simpson精确度更高些。*（2）（1）n=4,h=(3-2)/4=数据表：22.252.52.7534.47215.54006.73158.04709.4868复化梯形公式：， =6.8245，复化Simpson公式:=6.81416. 己知求积公式:试利用此公式导出计算的2段复化求积公式.解：作变量置换，时，则=7. 用两种不同的方法确定，使下面公式为Gauss求积公式:解：（1）作变量置换，时，则有（2）题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令，带入上式，有，解得， 于是得求积公式它至少有3次代数精度。七、 常微分方程的数值解法1. 取步长，试用显式Euler法求解初值问题： 并将计算解和精确解(要求求出)比较.解：原方程等价于 令，得，解得，利用初始条件，解得，得，方程精确解