立体几何专题复习

1、立体几何专题复习编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值, 请同学们认真完成。1 如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，PA(1)在棱AD上有一点P,当 为多少时，使二面角 Di-PC-DPD占】;DiCi的大小等于60(2)在的条件下，求直线 AiBi与平面CDiP所成的角.解：设PD=x , AB=i，作DE丄PC于E,可得x 与，比值为、2-i.6 分(2)30 i2 分2. 如图，将长 AA =3.3，宽AAi=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1) 求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；(2) 求三棱锥Ai

2、 APQ的体积.解：依题意知三棱柱 ABC AiBiCi是正三棱柱，且侧棱 AA i=3.底面边长为,3 , BP=i , CQ=2 ,延长QP交BC的延长线于点 E,连结AE.在厶 ACE 中，AC= 3 , CE=2BC=2、3，/ ACE=60 于是 AE=3 ,则AE丄AC于A , QA丄AE.所以/ QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角又 AC= - 3 ,是 tanQAC=爲即面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为2.332连AiP, AiAP的面积为一駅,33点Q到平面A iAP的距离为，VAi APQ VQ AiAP一 33、33 2 24i2分3. 如图，已

3、知四棱锥 P ABCD的底面为直角梯形，AD / BC,/ BCD=90 , PA=PB , PC=PD.(1) 证明：CD与平面PAD不重直；(2) 证明：平面 PAB丄平面 ABCD ;(3) 如果CD=AD + BC ,二面角 P BC A等于60 求二面角 P CD A的大小.(1) 证明：若 CD丄平面PAD,则CD丄PD,2分由已知 PC=PD，得/ PCD= / PDC V 90 这与CD丄PD矛盾，所以 CD与平面PAD不垂直.3分证明：取 AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF,由 PA=PB , PC=PD，得 PE 丄 AB , PF丄 CD.5 分 EF为直角梯形

4、的中位线. EF丄 CD，又 PFA EF=F. CD丄平面PEF.6分由PE 平面PEF, 得 CD丄PE,又AB丄PE且梯形两腰 AB、CD必相交， PE丄平面ABCD.7分又PE 平面PAB，平面 PAB丄平面 ABCD.8分解：由及二面角的定义知/ PFE为二面角P CD A的平面角，9分作EG丄BC于G ,连PG,由三垂线定理得 BC丄PG,故/ PGE为二面角P BC A的平面角.10分11即/ PGE=60 ,由已知，得 EF=(AD+BC)= CD.221又 EG=CF= CD ,2 EF=EG，易证得 Rt PEF也 RtA PEG.11 分/ PEF= / PGE=60 即

5、为所求.12 分 4 .在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2 , BB1=BC=1 , E 为 D1C1 的中点，连结 ED、EC、EB和DB.(1) 求证：平面 EDB丄平面EBC ;(2) 求二面角 E DB C的正切值；(3) 求异面直线EB和DC的距离.(1) 证明：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2 , BB1=BC=1 , E为D1C1的中点. DD1E为等腰直角三角形，/ D1ED=45同理/ C1EC=45 .2分平面 D1DCC1,/ DEC=90，即 DE 丄 EC.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，BC 丄平面 D1DCC1, 又 D

6、E BC 丄 DE.3 分又 ECA BC=C, DE丄平面EBC.平面DEB过DE ,平面 DEB丄平面EBC.4分(2) 解：如图，过 E在平面 D1DCC1中作E0丄DC于O.在长方体 ABCD AiBiCiDi中，面 ABCD 丄面 DiDCCi, E0丄面 ABCD.过O在平面DBC中作OF丄DB于F,连结EF, EF BD./ EFO为二面角E DB C的平面角.利用平面几何知识可得OF= i ， OE=i，tanEFO= . 5 .(3) 解：E在DiCi上，B在AB上，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB / DiCi, EB 在平面 ABC iDi 内又T DC /

7、 AB , DC /平面 ABC iDi.直线DC到平面ABC iDi的距离就等于异面直线 DC和EB的 距离在长方体 ABCD AiBiCiDi中.平面ABC iDi丄平面作CH丄BCi.z,G/Bio分BCCiBi,连结BCi,在平面BCCi中，过C CH=空CCBCi.212分 CH丄平面ABC iDi, CH为所求的距离.DQ CQ 即 hAQ AB , y2 h2,h2 ii6.如图，矩形 ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形 ADQP沿PD对折，使得翻折后点 Q落在 BC 上，设 AB=i , PA=h , AD=y.QB(1) 试求y关于h的函数解析式；(2) 当y取最小值时，

8、指出点 Q的位置，并求出此时 AD与平面PDQ所成的角;(3) 在条件下，求三棱锥 P ADQ内切球的半径.解：(1)显然h 1,连接 AQ ,平面 ABCD丄平面 ADQP , PA丄AD , PA丄平面 ABCD.由已知 PQ丄DQ , AQ 丄DQ , AQ=y 2-h2./ Rt ABQ s Rt QCD , CQ= h21 ,h2 y=2(h).h2 1h2(h2y=h211*1h2i 2当且仅当1 -1,即h2时等号成立此时CQ=i，即Q为BC的中点于是由DQ丄平面PAQ，知平面 PDQ丄平面PAQ, PQ是其交线，则过 A作AE丄平面/ ADE就是AD与平面PDQ所成的角由已知得

9、 AQ= . 2 , PQ=AD=2 , AE=1,sinADE=篇 2，/ADE=30 .1设三棱锥P-ADQ的内切球半径为 r,则一 (Sapad+Sa paq+Sa pdq+ Saadq )1/ Vp-adq Sa adq3PA,3Sa PAQ = 1,S PAD =2 ,Sa QAD=1,S PDQ= .2.PDQ,r=V P-ADQ .312分7.已知 ABC AiBiCi为正三棱柱，(1) 证明：AB 11I 平面 DBCi.(2) 若 ABi 丄 BCi, BC=2. 求二面角 D BCi C的大小； 若E为ABi的中点，求三棱锥D是AC的中点E BDCi的体积(1)证明：连结

10、CBi交BCi于O,连结OD. OD / ABi , OD 在面 DBC i 内. ABi /平面 DBC iABCl解：OD丄BCi，又O为BCi中点, DO=DC i. CCi=、2.过O作OM丄BCi交BC于H，贝U OH=,3，/ HOD为所求.23BH= - , DH/, cost. 045 2 2 VE BDCiV AiECiD丄VAi BDCi2iVB AiDCi2兰.12分6- 0BCD=90 , Z CBD=30 .9正三角形 ABC与直角三角形 BCD成直二面角，且/(1 ) 求证：AB丄CD;(2) 求二面角 D-AB-C的正切值。(3) 求异面直线 AC和BD所成的角。

11、解答(1) .平面 ABC丄平面 BCD, / BCD=90,. CD丄平面 ABC./ AB 平面 ABC, a CD 丄 AB.过点C作CM丄平面ABC于M,连DM,由 知CD丄平面ABC,a DM丄AB. a / CMD是二面角 D-AB-C 的平面角设,CD=1,由/ BCD=90 0,Z CBD=30 ,BC= 3J3 ABC是正三角形，a CM=巴BC2CD 2 a tan / CMD=-CM 3.故二面角D-AB-C的正切值为32C(3)取三边1AB,AD,BC 的中点 M .N . O,连AO,NO,MN,OD.贝U OM平行且等于一AC,MN 平行且等于 21 BD.2a直线

12、OM和MN所成的锐角或直角就是直线 AC和BD所成的角 ABC是正三角形，且平面 ABC丄平面 BCD, a AO丄平面BCD, a AOD是直角三角形，1 十十ON= AD,又I CD丄平面 ABC,2aAD= . AC2 CD2.3 1在OMN 中,OM=1,ON 1,cos NMO 世三MN 4a直线AC和BD所成角为arccos仝410.如图，四棱锥P ABCD中，侧面 PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,ADC 60且ABCD为菱形.(1) 求证：PA丄CD ;(2) 求异面直线 PB和AD所成角的余弦值;(3) 求二面角 PAD C的正切值.解(1)证明，取CD中点O,

13、连OA、OP面 PCD 丄面 ABCDPO丄 CDa PO 丄面 ABCD即AO为PA在面ABCD上的射影 AO 丄 CD PA丄 CD4分(2)以OA、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系则 A( . 3,0,0), D(0, 1,0), P(0,0, , 3), B(一 3,2,0)PB (.3,2, .3)AD ( ,3,1,0)PB ADcos PB, ADIPB| |AD |.34331 PB和AD所成角的余弦值为 上10411.底面(3 )由O引OG丄AD于G,连PG,贝U PG丄AD ,/ PGO为二面角PAD C为平面角 如图，已知四棱锥P ABCD中，底面四边形为正

14、方形, ABCD , E为PC中点。(1)(2)(3)求证：PA/平面EDB。 求证：平面 EDB丄平面PBC。 求二面角D PB C的正切值。侧面PDC为正三角形,分且平面PDC丄A(1)证明：连AC交BD于O,连EO。由四边形ABCD为正方形： 得O为AC中点。在厶PAC中，由中位线定理得 EO / PA又EO 平面上 EDB , PAC平面 EDB , PA/平面 EDB(2)证明：由平面 PDC丄平面 ABCD , BC丄DC得BC丄平面PDC又DEC平面PDC，贝U BC丄DEE为PC的中点， PDC为正三角形 DE 丄 PC, BCn PC=C DE丄平面PBC又DE 平面EDB平

15、面EDB丄平面PBC(3) 作EF丄PB于F,连DF ,由DE丄平面PBC及三垂线定理得 DF丄PB故/ DFE是所求二面角的平面角设BC=4，贝U PC=4，在等边 PDC中，易得 DE=23在 Rt PEF 中，/ EPF=45PE=2，可求出 FE= . 2/ DE 2/3匸 tan/ DFE=6FEV2即所求二面角的正切值为.6Rt PGO 中,tan PGOPOGO12.如图,侧面(1)(2)(3)分2即二面角PAD C的正切值为 已知四棱锥 PABCD的底面是直角梯形,PBC丄底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论 求二面角P BD C的大小.求证：平面 PAD丄平面

16、PAB.PA与BD相互垂直证明如下:(1)取BC的中点0,连结A0,交BD于点E;连结 PO.1 分 / PB=PC,. PO丄 BC.又平面 PBC丄平面 ABCD ,平面PB6 平面 ABCD=BC , PO丄平面ABCD-.2 分在梯形 ABCD 中，可得 Rt ABO也Rt BCD , BEO= / OAB+ / DBA= / DBC+ / DBA=90即 AO 丄 BD. PA丄 BD. 4 分(2)连结 PE,由PO丄平面 ABCD , AO丄BD ,二 Cq = BD = 2 ,设 AB=BC=PB=PC=2CD=2 a，则在 RtA PEO 中，PO=3a OE =a, ，5P

17、O,|_tan PEO15.二面角 P BD C 为 arctan 15.8分EO(3) 取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面 PBC丄平面PAB，则同“(1) ”可得CN丄平面PAB. 9分1取PA的中点M，连结DM、MN，则由MN/AB/CD , MN= AB=CD，得四边形 MNCD为平2行四边形. CN/DM. 10分 DM丄平面 PAB. 11分平面PAD丄平面 PAB. 12分13. 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1, D是棱AC的中点.(I) 证明：AB1 /平面 DBC1；(H)若 AB1丄BC1, AC = 2，求二面角 D BC1 C的大小.证明“ I）连结 B

18、1C与BC1交于E点，连结DE.t ABCA1B1C1是正三棱柱，四边形BB1C1C是矩形，B1E = EC,/ AD = DC , DE / AB1, DE 平面 DBC1,AB1芬平面DBC1, AB1 / 平面 DBC1.（6 分）解“ H）过 D作DF丄BC于F，连结FE,/ ABCA1B1C1是正三棱柱，平面ABC丄平面BB1C1C.t DF 丄 BC, DF 平面 ABC , DF 丄平面 BB1C1C, EF是DE在平面BB1C1C内的射影，t AB1 丄 BC1 , AB1 / DE , DE丄 BG,.EF 丄 BC1, / DEF就是二面角 D BC1 C的平面角 ABC

19、是正三角形，/ ACB = 60 （10 分）t AC = 2, DC = 1 在 RtA DFC 中，DF = DCsin60 丄t DE丄BC1, E为BC1中点，二 CiC = 2 , CiB = 6 , 在 RtADECi 中，DE = GD2 E2 sin/ DEF = DF2DEF = 45 DE 2面角D BC1 C的大小为45（14 分）14. 如图，已知三棱锥 PABC , / ACB=90 , CB=4 , AB=20 , D 为 AB 中点，且 PDB 是正三角形，PA丄PC.（I）求证：平面 PAC丄平面 ABC ;（H）求二面角 D AP C的正弦值；（川）若M为PB

20、的中点，求三棱锥 M BCD的体积.解（I）由已知 D是AB的中点， PDB是正三角形，AB=20 ,1则有 PD - AB 10.2所以AP丄PB.又 AP 丄 PC, PB PC P.则AP丄平面PBC.bc 平面 PBC, AP 丄 bc.由 AC 丄 BC, APn ac=a ,有BC丄平面PAC. bc 平面ABC. 平面PAC丄平面ABC.5分（H）由已知 PA丄PC,又由（I）知 PA丄PB,所以/ BPC是二面角 D AP C的平面角.又由（I）知 BC丄平面PAC,则BC丄PC.-sin BPCbcPB2 5.10分（川） D为AB中点，M为PB中点， DM 丄PA且DM 5

21、3 .2由(I)知 PA丄平面 PBC, DM丄平面 PBC.Sbcm 1spbc 2 21-所以Vm bcd Vd bcm 3 5 3 2 21 10 7-14分15 .已知斜三棱柱ABC A!B1C1的底面是直角三角形C 90 ,侧棱与底面所成的角为，（。900），点B在底面上的射影 D落在BC上当若解：为何值时,AB 11 n arccos ，且3(1)B1DBC1,且使D恰为BC中点AC=BC=AA平面 ABC ,1时，求AC一面角平面 AC1 AB-C的大小BCB1DAC,又 ACBC,BCB1D=DAC平面 BB1C1C(2)AC 平面 BB1C1C ,要使 AB1BC1，由三垂线

22、定理可知,只须B1CBC1平行四边形BB1C1C为菱形，此时，BC=BB1求证:AC 平面BB1C1C(1)又 B1DBC,要使D为BC中点，只须 B1C= B1D,B1BC= 60 0B1D 平面ABC，且D落在BC上，即 BB1C为正三角形、B1BC即为侧棱与底面所成的角，故当60 时，AB1 BC1（8 ，过E作EF丄AB于F,过C1F,且使D为BC中点。由三垂线（10 分）（3）过C1作C1E丄BC于E,则C1E丄平面ABC定理得：C1F丄AB，/ C1FE是所求二面角 C1 AB C的平面角, 设 AC=BC=AA 1=a在 Rt BC1E 中，由/ C1BC1E=arccos1,

23、C1E=-2 a,33在 Rt BEF 中，/ EBF=450, EF=2BC1=22 a23C1FE=45,故所求的二面角 C1AB C 为 45。16.如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 a，点M 顶点的等腰直角三角形（I）求证：点 M为边BC的中点；（H）求点C到平面AMC 1的距离；（川）（理）求二面角 M AC1 C的大小.（12分）在边BC上， AMC 1是以点M为直角解：（I）TA AMCi是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， AM 丄 CiM，且 AM=C 1M.在正三棱柱ABC A1B1C1中，CCi丄底面ABC ,（理）2（文）3 - CiM在底面的射影为 C

24、M , AM丄CM.又底面ABC为边长是a的正三角形，.点 M为BC的中点.（理）4（文）6 （H）过点C作CH丄CiM于H，由（1）知，AM丄CiM，且 AM丄CM , AM 丄平面 CiCM，又 CH 平面 CiCM , AM 丄 CH ,因此，CH丄面CiAM ,（理）6（文）8亠 ”v3i,220, |AD|=d 0, |AP|=p0，则 |CD|=2a,由题意得d P、 A (0, 0 , 0), B (a , 0 , 0), D ( 0 , d , 0), C (2a , d , 0), P (0 , 0 , p), E (a ,-，二)2 2d P于是 BE= (0 ,) , A

25、D= (0 , d , 0) , AP= (0 , 0 , p)。2 2d P设 BE=X AD+卩 AP ,贝卩(0 ,-)=入(0 , d , 0) +卩(0 , 0 , p) = (0,入d up2 2d2P21 * 1 二BE= AD+ AP ,又AD、AP为平面 PAD的一组基向量 一 2 2d2P2且 BE 平面 PAFD BE|平面 PAFD(2a , 0 , 0) =0 , BE-DP= (0 , d,P )- (0, d , p)2 2| pa | p=d即BE丄平面 PCD时,p=d,即1 8分|AD|当 PA=AD=CD 时,2a=d , D(0 , 2a , 0) , C(2a , 2a , 0) , E(a