3地下水向完整井的稳定运动

1、 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 1. 地下水向地下水向承压水井承压水井和和潜水井潜水井的稳定运动的稳定运动 2. 越流含水层越流含水层中地下水向中地下水向承压水井承压水井的的稳定稳定运动运动 4. 地下水向地下水向干扰井群干扰井群的稳定运动的稳定运动 3. 流量流量和和水位降深水位降深关系的经验公式关系的经验公式 5. 井损井损与与有效井径有效井径的确定方法的确定方法本章内容：本章内容： Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-1 概述概述一、水井的类型一、水井的类型（1）按井径大小和开凿方式不同：）按井径大小和开凿方式不同： 管井、筒井、特殊井

2、（辐射井、大骨料井和坎儿井管井、筒井、特殊井（辐射井、大骨料井和坎儿井 ） 筒筒井井 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动v 潜水井（潜水井（a）；）； 承压水井（承压水井（b）v 完整井完整井 a ； 不完整井不完整井 b、c、d图图 3 完整井和不完整井完整井和不完整井（2）按揭露地下水类型不同：）按揭露地下水类型不同：潜水井和承压水井潜水井和承压水井 （3）按揭露含水层程度和进水条件分：）按揭露含水层程度和进水条件分：完整井和非完整井完整井和非完整井 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动v

3、1-隔水层；隔水层；2-含水层；含水层；3-不用含水层；不用含水层；4-封闭料；封闭料；5-滤料滤料v 6-井壁管；井壁管；7-滤水管；滤水管；8-沉淀管；沉淀管；9-管底木塞管底木塞图图 4 井管结构图井管结构图 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动二、井附近的水位降深二、井附近的水位降深v 水位降深水位降深s： s(x,y,t)=H0(x,y,0)-H(x,y,t) v 降落漏斗：降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远，降深越小，总体抽水时，井中心降深最大，离井越远，降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区域。上形成的漏斗状水头下降区域。v 抽水时，地下水能达到稳定运

4、动的水文地质条件：抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条件：（1）有侧向补给的有限含水层，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补）有侧向补给的有限含水层，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时；给量和抽水量平衡时；（2）有垂向补给的无限含水层，当垂向补给量增大到与抽水量相等时；）有垂向补给的无限含水层，当垂向补给量增大到与抽水量相等时；（3）无补给的无限含水层，随着抽水时间的延长，水位降深的速率会越）无补给的无限含水层，随着抽水时间的延长，水位降深的速率会越来越小，在短时间内看不到明显水位下降时。来越小，在短时间内看不到明显水位下降时。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整

5、井的稳定运动v 井径和井内外降深的关系井径和井内外降深的关系： （1）未下过滤器的井：）未下过滤器的井：井的半径即裸孔的半径，井壁和井中的水位降深一致井的半径即裸孔的半径，井壁和井中的水位降深一致（2）下过滤器的井：）下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，但井内水位比井壁水位低；井的直径为过滤器的直径，但井内水位比井壁水位低； 井损：井损：水流经过过滤器的水头损失和在井管内部水向上运动至水泵吸水水流经过过滤器的水头损失和在井管内部水向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。口时的水头损失统称为井损。（3）过滤器周围填砾的井：）过滤器周围填砾的井：井周围井周围K增大，增大，J变小，所以降深变小

6、，但井损还变小，所以降深变小，但井损还存在。存在。 此井的半径应用有效井半径。此井的半径应用有效井半径。 有效井半径：有效井半径：是由井轴到井管外壁是由井轴到井管外壁某一点某一点的水平距离。的水平距离。在该点在该点，按稳定，按稳定流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深。流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动裸井裸井 下过滤器的井下过滤器的井 填砾的井填砾的井图图 5 承压含水层中的水位降深和有效半径承压含水层中的水位降深和有效半径 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动v本章以后几节中共有的假设条件：本章

7、以后几节中共有的假设条件：（1）含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变，分布面积很大，可）含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变，分布面积很大，可视为无限延伸；视为无限延伸；（2）抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的；）抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的；（3）含水层中的水流服从）含水层中的水流服从Darcy定律，并在水头下降的瞬间水就释放出定律，并在水头下降的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其弹性释水量。来。如有弱透水层，则忽略其弹性释水量。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-2 地下水向承压水井和潜水井稳定运动地下水向承压水井和潜水井稳定运动一、承

8、压水井的一、承压水井的Dupuit公式公式1、水文地质概念模型、水文地质概念模型v 稳定流运动；稳定流运动；v 流线为指向井中心的放射直线，等水头面为以井为中心的圆柱面；流线为指向井中心的放射直线，等水头面为以井为中心的圆柱面；v 通过距井轴不同距离的各过水断面流量处处相等；通过距井轴不同距离的各过水断面流量处处相等； Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动平面图：平面图：剖面图剖面图:图图 6 承压完整井的径向流承压完整井的径向流过水断面（过水断面（A）: A=2r M Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 由第一章推导的承压水运动基本微分方程：均质各向

9、同性稳定流时，由第一章推导的承压水运动基本微分方程：均质各向同性稳定流时，水头满足水头满足Laplace方程：方程： 计算井流，建立柱坐标系，转化为计算井流，建立柱坐标系，转化为柱坐标微分方程：柱坐标微分方程： 水流是水平的，水流是水平的，Z轴方向的分速度为轴方向的分速度为0，同时，同时， 水头对于井轴是对称的，与水头对于井轴是对称的，与角无关，角无关， 于是，上述微分方程简化为：于是，上述微分方程简化为：0222222zHyHxH01)(122222tHKzHHrrHrrrs022zH022H0)(drdHrdrd Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、数学模型、数学模

10、型wrrRrhHHHdrdHrdrdw00 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动wrrRrhHHHdrdHrdrdw001CdrdHrdrdHrMKQ)2(3、承压水井、承压水井Dupuit公式的推导过程公式的推导过程 积分：积分： 通过任一断面的流量相等，并等于通过任一断面的流量相等，并等于抽水井的流量抽水井的流量Q，由，由Darcy定律：定律：wwwwwwRrHhrRKMsQrRKMQsrRKMQhHdrrKMQdHdrrKMQdHwwlg73. 2ln2ln2121200KMQC21 解得解得 分离变量分离变量 取定积分取定积分 积分得积分得 即得即得承压水井承压水井

11、的的Dupuit公式公式: Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动4、有一个观测孔时：、有一个观测孔时：距抽水井中心距抽水井中心r处有一个观测孔，水位为处有一个观测孔，水位为H，在，在rw和和r两断面间积分得：两断面间积分得：wwwrrKMQsshHln2122112ln2rrKMQssHH5、有两个观测孔时（、有两个观测孔时（承压水井的承压水井的Thiem公式公式）：）：有两个观测孔距抽水井中心的距离分别为有两个观测孔距抽水井中心的距离分别为r1和和r2，水位分别为，水位分别为H1和和H2，在在r1和和r2两断面间积分得：两断面间积分得： Ch3 地下水向完整井的稳定运动地

12、下水向完整井的稳定运动6、承压水头分布方程（降落曲线方程）：、承压水头分布方程（降落曲线方程）：联立求解方程：联立求解方程： 和和wwrRKMQhHln20wwrrKMQhHln2则可得：则可得：wwwwrRrrhHhHlnln)(0 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动二、潜水井的二、潜水井的Dupuit公式公式1、水文地质概念模型、水文地质概念模型v 稳定流运动；稳定流运动；v 认为流向井的潜水流是近似水平的，等水头面仍是共轴的圆柱面；认为流向井的潜水流是近似水平的，等水头面仍是共轴的圆柱面；v 通过距井轴不同距离的过水断面流量处处相等；通过距井轴不同距离的过水断面流量

13、处处相等； Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图图 7 潜水完整井的径向流潜水完整井的径向流降落漏斗降落漏斗Dupuit近似漏斗近似漏斗 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、数学模型、数学模型wrrRrhhHhdrdhrdrdw020 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动12CdrdhrdrdhrKdrdhrhKQ2)2(3、潜水井、潜水井Dupuit公式的推导过程公式的推导过程 积分：积分： 通过任一断面的流量相等，并等于通过任一断面的流量相等，并等于抽水井的流量抽水井的流量Q，由，由Darcy定律：定律：wwwwwwwwRr

14、HhrRssHKQrRKQssHrRKQhHdrrKQdhdrrKQdhwwlg)2(366. 1ln)2(ln1100220220KQC1 解得解得 分离变量分离变量 取定积分取定积分 积分得积分得 即得即得右二式右二式为潜水为潜水井的井的Dupuit公式公式wrrRrhhHhdrdhrdrdw020 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动4、有一个观测孔时：、有一个观测孔时：距抽水井中心距抽水井中心r处有一个观测孔，水位为处有一个观测孔，水位为h，在，在rw和和r两断面间积分得：两断面间积分得：wwrrKQhhln22122122lnrrKQhh5、有两个观测孔时（、有两

15、个观测孔时（潜水井的潜水井的Thiem公式公式）：）：有两个观测孔距抽水井中心的距离分别为有两个观测孔距抽水井中心的距离分别为r1和和r2，水位分别为，水位分别为h1和和h2，在，在r1和和r2两断面间积分得：两断面间积分得：同非稳定流同非稳定流Theis公式在长时间抽水后的近似式完全一致。公式在长时间抽水后的近似式完全一致。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动6、潜水位分布方程（浸润曲线方程）：、潜水位分布方程（浸润曲线方程）：联立求解方程：联立求解方程： 和和wwwwrRrrhHhhlnln)(22022则可得：则可得：wwrRKQhHln220wwrrKQhhln2

16、2 由上式计算的浸润曲线，仅在由上式计算的浸润曲线，仅在rH0区域同实际曲线一致；在区域同实际曲线一致；在rH0区，区，特别是井壁处，特别是井壁处，Dupuit浸润曲线总是低于实际浸润曲线。如图浸润曲线总是低于实际浸润曲线。如图3-4。原因：原因：Dupuit公式没有考虑潜水井存在渗出面，采用了公式没有考虑潜水井存在渗出面，采用了Dupuit假设造成的。假设造成的。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动三、三、Dupuit公式的推广公式的推广1、巨厚含水层中的潜水井、巨厚含水层中的潜水井wwrRKQhHln220wwwrRhHKQhHln)(00当井中降深当井中降深H0-h

17、wH0时，时，H0=hw，H0+hw=2H0，于是得近似式：，于是得近似式：wwwrRKHQshHln200 当含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近似地按承压含水层来处理。当含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近似地按承压含水层来处理。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、承压、承压潜水井潜水井图图 8 承压承压潜水井的径向流潜水井的径向流分段法：分段法：无压区用潜无压区用潜水公式，承水公式，承压区用承压压区用承压水公式水公式 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动用分段法计算流向井的流量。在无压区用潜水用分段法计算流向井的流量。在无压区用潜

18、水Dupuit公式公式在承压区用承压水在承压区用承压水Dupuit公式公式从二式中消去从二式中消去lna，得承压潜水井流量公式：，得承压潜水井流量公式：wwraKQhMln22aRKMQMHln20wwrRhMMHKQlg2366. 1220 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3、注水井或补给井、注水井或补给井图图 9 承压注水井示意图承压注水井示意图注水井与抽注水井与抽水井相反，水井相反，只要把抽水只要把抽水井的水位降井的水位降深换成水位深换成水位升高。升高。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 当进行地下水人工补给时，需向井中注水。当地下水位较低

19、时，为当进行地下水人工补给时，需向井中注水。当地下水位较低时，为求参数，也需进行注水试验。此工作情况正与抽水井相反。如作粗略计算求参数，也需进行注水试验。此工作情况正与抽水井相反。如作粗略计算，只要把前面公式中的水位降深换为水位升高，便适用于注水井。，只要把前面公式中的水位降深换为水位升高，便适用于注水井。承压水井：承压水井：潜水井：潜水井：wwrRHhKMQlg)(73. 20wwrRHhKQlg)(366. 1202 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动四、四、Dupuit公式的应用公式的应用1、求正问题：、求正问题： 已知含水层参数已知含水层参数K、T，预报水量或水位

20、；，预报水量或水位；2、求逆问题：、求逆问题： 根据抽水试验数据，求含水层参数。根据抽水试验数据，求含水层参数。)(lg366. 00承压含水层wwrRMsQK )(lg)(366. 01221承压含水层rrssMQK) (lg732. 0lg732. 01221220220含水层潜水rrhHQKrRhHQKww Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动五、五、Dupuit公式的讨论公式的讨论1、抽水量与水位降深的关系、抽水量与水位降深的关系 承压承压含水层：含水层： 潜水潜水含水层：含水层：2.73lg2.73lgwwwwKMQSRrQKMqRSr单位涌水流量)(lg366.

21、 1lg2366. 120抛物线wwwwsrRKsrRKHQ（直线）（直线）q 10 L/sm 含水极丰含水极丰富的含水层；富的含水层；q = 210 L/sm 丰富丰富q = 0.12 L/sm 中等中等q 0.1 L/sm 弱弱q 0.001 相对隔水层相对隔水层（抛物线）（抛物线） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 Dupuit公式所讨论的降深公式所讨论的降深，仅仅考虑地下水在，仅仅考虑地下水在含水层中含水层中的的流动结果，但实际上在抽水井中所得的流动结果，但实际上在抽水井中所得的降深降深，是多种原因所造，是多种原因所造成的水头损失的成的水头损失的叠加叠加，主要有

22、：，主要有： 1）地下水在含水层中向井流动所产生的水头损失，称为）地下水在含水层中向井流动所产生的水头损失，称为含水层损失含水层损失。即即Dupuit公式计算出的降深值；公式计算出的降深值； 2）施工时泥浆堵塞含水层，增加了）施工时泥浆堵塞含水层，增加了水流阻力水流阻力造成的水头损失；造成的水头损失； 3）水头通过过滤器孔眼时的水头损失（）水头通过过滤器孔眼时的水头损失（过滤器损失过滤器损失）；）； 4）水流由过滤器孔眼流入滤水管内，）水流由过滤器孔眼流入滤水管内，水流转向水流转向，产生损失；，产生损失； 5）水流在井管内向上流动至水泵吸水口的）水流在井管内向上流动至水泵吸水口的沿程水头损失沿

23、程水头损失。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 由于上述原因，即使对承压含水层，由于上述原因，即使对承压含水层，Q与与Sw的直线关的直线关系也是不多见的。系也是不多见的。 Sw 的增加要比的增加要比Q的增加快。且以上几种的增加快。且以上几种水头损失，并不能全部准确计算。水头损失，并不能全部准确计算。 因此在水文地质实践中常利用因此在水文地质实践中常利用多次稳定降深的抽水试多次稳定降深的抽水试验验资料，配出具体的水文地质条件下具体水井的资料，配出具体的水文地质条件下具体水井的Q与与Sw关关系的经验公式，进行涌水量预测。系的经验公式，进行涌水量预测。 Ch3 地下水向完整井

24、的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、井径和抽水井流量的关系、井径和抽水井流量的关系 抽水井的抽水井的Q与与rw的关系，到现在还没有统一的认识和公认的关系式。的关系，到现在还没有统一的认识和公认的关系式。但有一点大多数人都是接受的，即但有一点大多数人都是接受的，即Dupuit公式中的公式中的Q与与rw 并并不完全符合实不完全符合实际际情况。情况。 按按Dupuit公式，流量与井径呈对数关系，井径对流量的影响不太大。公式，流量与井径呈对数关系，井径对流量的影响不太大。如井径增大一倍，流量约增加如井径增大一倍，流量约增加10%，井径增大，井径增大10倍，流量仅增加倍，流量仅增加40%。 但实际情况

25、远非如此，但实际情况远非如此，井径对流量的影响井径对流量的影响远比远比Dupuit公式反映的关系公式反映的关系要要大得多大得多。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图图10 井径和抽水井流量的关系井径和抽水井流量的关系 1）当）当降深降深sw相同相同时，井时，井径增加同样的幅度，径增加同样的幅度，强透水强透水岩岩层中井的流量增加得比层中井的流量增加得比弱透水弱透水层中的井多；层中的井多； Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图图 11 不同井径的不同井径的Q-Sw关系关系 2）对）对同一岩层同一岩层，井径增加，井径增加同样的幅度，同样的幅度，大降深抽水

26、大降深抽水的流的流量增加得多，量增加得多，小降深抽水小降深抽水时流时流量增加得少；量增加得少； 3）对）对同样的岩层和降深同样的岩层和降深，小井径时小井径时，由井径增加所引起，由井径增加所引起的流量增长率大；的流量增长率大；中等井径中等井径时时，增长率小；，增长率小；大井径时大井径时，流量，流量随井径的增加就不明显了。随井径的增加就不明显了。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3、水跃（渗出面）及其对、水跃（渗出面）及其对Dupuit公式计算结果影响公式计算结果影响图图 11 潜水井渗出面示意图潜水井渗出面示意图 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动

27、当潜水井抽水降深较大时，井中水位低于井壁水位，这种当潜水井抽水降深较大时，井中水位低于井壁水位，这种现象叫现象叫“水跃水跃”，井内外水位的差值（，井内外水位的差值（hw）称）称水跃值水跃值（渗出面渗出面）。）。 渗出面的存在有两个作用：渗出面的存在有两个作用： 1）井附近的流线是曲线，等水头面为曲面，只有当井壁和井中存在水）井附近的流线是曲线，等水头面为曲面，只有当井壁和井中存在水头差时，图中头差时，图中阴影部分的水才能进入井中阴影部分的水才能进入井中； 2）渗出面的存在，保持了适当高度的过水断面，以保证把）渗出面的存在，保持了适当高度的过水断面，以保证把Q输入井内，输入井内，如不存在渗出面，

28、则如不存在渗出面，则当井水位降到隔水底板时当井水位降到隔水底板时，井壁处过水断面为零，就无，井壁处过水断面为零，就无法通过水了。法通过水了。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动水跃（渗出面）对水跃（渗出面）对Dupuit公式计算结果的影响公式计算结果的影响 按按Dupuit公式算出的浸润曲线（以下简称公式算出的浸润曲线（以下简称Dupuit曲线）在井附近曲线）在井附近低低于于实际的浸润曲线。因为实际的浸润曲线。因为Dupuit公式公式没有考虑渗出面没有考虑渗出面，采用了，采用了Dupuit假设造假设造成的。成的。 杨式德（杨式德（1949）计算结果：）计算结果： r9/1

29、0H0时，时，Dupuit曲线与用精确解算出的曲线完全一致；曲线与用精确解算出的曲线完全一致； r9/10H0时，开始有偏差；时，开始有偏差； rH0时，用时，用Dupuit公式计算潜水井的公式计算潜水井的浸润曲线浸润曲线（水头分布）是水头分布）是不不准确准确的。但是，用的。但是，用Dupuit公式计算的公式计算的流量流量却是却是精确精确的。的。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动4、影响半径及其确定方法（稳定流中）、影响半径及其确定方法（稳定流中）1221lg)(73. 2rrssKMQ2112210101lglglglg73. 2ssrsrsRrRKMsQ影响半径：影

30、响半径：从抽水井起至实际已观测不到水位降深的总水平距离。从抽水井起至实际已观测不到水位降深的总水平距离。 利用多孔抽水试验资料，公式法来确定利用多孔抽水试验资料，公式法来确定 承压水井：承压水井： 潜水井（潜水井（2个观测孔）：个观测孔）：)(2(lg)2(lg)2(lg21210120221010ssssHrsHsrsHsR Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图解法（以承压井为例）图解法（以承压井为例） 由由Dupuit公式变换后为：公式变换后为： Q、K、M、r为常量，所以为常量，所以Sw与与lgR为直线关系。为直线关系。经验公式法（在缺乏观测孔水位资料时）经验公式法

31、（在缺乏观测孔水位资料时）)lg(lg366. 0rRKMQSw库萨金（适用于潜水）：库萨金（适用于潜水）：吉哈尔特（适用于承压水）：吉哈尔特（适用于承压水）：KSwRKHSwR1020经验数据：经验数据： 细砂细砂 ： 25200（米）（米） 中砂中砂 ： 100500（米）（米） 粗砂粗砂 ： 4001000（米）（米） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-3 非线性流地下水向完整井的稳定运动非线性流地下水向完整井的稳定运动 当当Re1-10时，地下水不服从时，地下水不服从Darcy定律，其流动是非线性的。描述方程有定律，其流动是非线性的。描述方程有Chezy公式：

32、公式： 和和Forchheimer公式：公式：一、承压水井一、承压水井 1、地下水运动服从、地下水运动服从Chezy公式：公式：122()dHQrMKdr2w wQMK r s211() ()2wwQHhMKrr分离变量，在井壁和任意分离变量，在井壁和任意r断面之间积分，得：断面之间积分，得：当当 rR时，时，HH0,将其代入上式，令将其代入上式，令sw= H0-hw，代表抽水井的水位降深。同，代表抽水井的水位降深。同时，因时，因Rrw，1/R的数值很小，可以忽略不计，简化为：的数值很小，可以忽略不计，简化为：12=KJv2+Jav bv Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运

33、动2、地下水运动服从、地下水运动服从P.Forchheimer公式：公式：2()()22dHQQabdrrMrM222211ln()24wwwaQrbQHhMrMrr22211ln()24wwwQrbQHhTrMrr分离变量，在井壁和任意分离变量，在井壁和任意r断面之间积分，得：断面之间积分，得：令常数令常数a=1/K，则上式可化为：，则上式可化为：如果地下水运动满足如果地下水运动满足Darcy定律定律，则上式右端第二项为零，即为，则上式右端第二项为零，即为Dupuit公式公式。如满足如满足Chezy 公式公式，则上式右端第一项为零。如令常数，则上式右端第一项为零。如令常数 ，rR，HH0，则

34、，则上式又变为：上式又变为：2w wQMK r s Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动二、潜水井二、潜水井122()dhQrhKdr3302()3wwQK r Hh其流量表示为：其流量表示为： 同承压井类似，也可导出相应的公式。如同承压井类似，也可导出相应的公式。如1/R可以忽略不计，可以忽略不计，上式可进一步简化为：上式可进一步简化为： Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-4 越流含水层中地下水向承压越流含水层中地下水向承压 水井的稳定运动水井的稳定运动一、数学模型及其解一、数学模型及其解1、水文地质概念模型（假设条件）、水文地质概念模型（假设条

35、件）v （1）稳定流运动：）稳定流运动：有越流补给的无限承压含水层中的一口完整井。因从有越流补给的无限承压含水层中的一口完整井。因从井中抽水，造成水头降低，和相邻含水层井中抽水，造成水头降低，和相邻含水层(潜水含水层潜水含水层)之间产生水头差或之间产生水头差或将原有的水头差扩大，相邻含水层中的水通过弱透水层将原有的水头差扩大，相邻含水层中的水通过弱透水层越流补给越流补给抽水含抽水含水层。水层。 当抽水延续一定时间后，进入抽水含水层降落漏斗范围内的当抽水延续一定时间后，进入抽水含水层降落漏斗范围内的越流量越流量和抽水量平衡时和抽水量平衡时，水流达到稳定状态水流达到稳定状态。假设：假设：发生越流的

36、潜水含水层发生越流的潜水含水层,有有足够的补给量维持初始水位不变。足够的补给量维持初始水位不变。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动承压水降落漏斗承压水降落漏斗潜水面潜水面潜水含水层潜水含水层弱透水层弱透水层承压含水层承压含水层假定水平流动假定水平流动实际流线实际流线抽水井抽水井图图12 无限承压含水层（有越流补给）中的完整井无限承压含水层（有越流补给）中的完整井 （2）弱透水层的弹性释放量很小）弱透水层的弹性释放量很小,可以忽略不计可以忽略不计,且流向井的水流且流向井的水流基本上仍保持基本上仍保持水平流动水平流动。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运

37、动图图12 无限承压含水层（有越流补给）中的完整井无限承压含水层（有越流补给）中的完整井 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、微分方程、微分方程直角坐标：直角坐标：柱坐标：柱坐标：220220HHHHxyB202210HHHHrrrB22210sssrrrB把把水头水头改用改用降深降深表示，令表示，令H0-H=s，则：，则：dH=-ds，代入上式，得：，代入上式，得：s=0， 当当r时时; 2dsQrdrKM 3、边界条件、边界条件当当r=rw时时 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动4、数学模型、数学模型22210sssrrrB0rs2r rdsQ

38、Tdrr 5、求解、求解该微分方程是该微分方程是零阶虚宗量零阶虚宗量Bessel方程方程。其通解为：。其通解为：00()()rrsaIKBB00()()rrIKBB和分别为分别为零阶第一类零阶第一类和和第二类虚宗量第二类虚宗量Bessel函数函数。（，为待定系数）为待定系数） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动第一类虚宗量贝塞尔函数曲线第一类虚宗量贝塞尔函数曲线第二类虚宗量贝塞尔函数曲线第二类虚宗量贝塞尔函数曲线 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 代入边界条件：当代入边界条件：当r时，时， =0，而，而 0，把它们代入上式，把它们代入上式可得可得a

39、=0。因而有：。因而有： 再考虑井壁边界条件：再考虑井壁边界条件：得：得： 最后得：最后得： 0()rKB0()rsKB0()rIB122()wwwwr rrrsQr MKKMKrBB 12()()wwQrrKMKBB001()2()()wwrKQBsrrKMKKBB Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动0()2QrsKKMB1.123ln2QBsTr 在一般越流含水层中在一般越流含水层中,越流因素越流因素B都有相当大的值都有相当大的值, rw/B1。Bessel函函数数,当当x1时，时，xK1(x) 1(如当如当x0.02时时,误差小于误差小于1%)。因此上式可简化为：。

40、因此上式可简化为： 虚宗量虚宗量Bessel函数可查表求得。函数可查表求得。 在抽水井附近，在抽水井附近，rw/B1。对于第二类虚宗量。对于第二类虚宗量Bessel函数，当函数，当x1时，时，K0(x) =ln(1.123/x)。故。故Hantus-Jacob 公式又可简化为公式又可简化为: 采用此式计算，当采用此式计算，当r/B0.35时，误差小于时，误差小于5%；当；当r/B0.1时，误差小于时，误差小于1%。（Hantus-Jacob 公式）公式） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动径向距离径向距离r处的侧向流入量处的侧向流入量Qr 为：为：5、讨论越流量、讨论越流

41、量Qr占抽水量占抽水量Q的比例的比例122()rsrrQrKMKMKrBB 12()2()wwwr rrrsQKM rKMKrBB 1()1wwrrKBB1()rQrrKQBB井的流量井的流量Q为：为：取二式比值，取二式比值，当当rw/B 1时，时， 即：侧向流入量占抽水井流量的比例即：侧向流入量占抽水井流量的比例,仅仅和径向距离仅仅和径向距离r与越流因素与越流因素B的比值有关。的比值有关。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图图13 Qr/Q与与r/B关系曲线（据关系曲线（据J. Bear） 当当r = 4B时，时，Qr/Q=0.05，表示侧向流入量（来自该，表示侧向流

42、入量（来自该断面到无穷远处的越流量）只占抽水井流量的断面到无穷远处的越流量）只占抽水井流量的5%，而而95%的抽水井流量是来自的抽水井流量是来自r 4B地段的越流量。地段的越流量。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动二、根据稳定流抽水试验资料求含水层参数二、根据稳定流抽水试验资料求含水层参数已知：已知：有距抽水井不同有距抽水井不同距离距离r的若干个观测孔，测得各观测孔的若干个观测孔，测得各观测孔的水位的水位降深降深s。方法：方法：配线配线法和法和直线图解直线图解法法求解：求解：导水系数导水系数T，越流因素，越流因素B 和越流系数和越流系数 。11TmBk11km1、配线法

43、、配线法 (利用利用s-r曲线曲线)0()2QrrsKrBTBB和式0lglg()lg2lglglgrQsKBTrrBB对已推出降深的式对已推出降深的式两边取对数得：两边取对数得： Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动图图14 越流含水层稳定流抽水试验的标准曲线（据越流含水层稳定流抽水试验的标准曲线（据W.C.Walton） 在图上任取一点作为匹配点，读出匹配点在二张图上的坐标在图上任取一点作为匹配点，读出匹配点在二张图上的坐标s、r、K0(r/B)和和r/B值，代入以下二式，即可求出参数值。值，代入以下二式，即可求出参数值。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井

44、的稳定运动0()2 QrTKsB2 ,rTBrBB11TmTBk Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、直线图解法、直线图解法 ( 利用利用近似式近似式 )1.1232.30lnlg 0.8922QBQrSTrTB 2.302QiT 2.300.3662QQTii 公式表明公式表明s与与lgr是是线性线性关系。将实测的关系。将实测的s取取普通坐标普通坐标，r取取对数坐标对数坐标，作图为直线，其斜率：作图为直线，其斜率：02.300lg 0.892rQTB 00.891rB00.89Br2TB 从图中可读出从图中可读出s=0时的时的r 值，即值，即:直线在零降深线上的直线在

45、零降深线上的截距截距，设为，设为r0， 代入上式：代入上式： Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-5 流量和水位降深关系的经验公式流量和水位降深关系的经验公式一、研究意义一、研究意义2.73lgwwwKMQsqsRr 在评价小型水源地或勘探开采井的单井在评价小型水源地或勘探开采井的单井出水量出水量时，可用时，可用理论公式预报理论公式预报。 但因但因水文地质条件的差异性水文地质条件的差异性、水流状态水流状态和和井损的影响井损的影响，实际抽水中的，实际抽水中的流量和降深关系，并流量和降深关系，并非完全像理论公式所显示的那样非完全像理论公式所显示的那样为一过原点的直线为一过原

46、点的直线(承承压水井压水井)和二次抛物线和二次抛物线潜水井潜水井，而常常表现为，而常常表现为各种各样的曲线各种各样的曲线。 为使预报的流量符合实际情况，常根据为使预报的流量符合实际情况，常根据多次降深多次降深(或落程或落程)抽水试验抽水试验得出的得出的Q-sw关系关系建立建立经验公式经验公式，进行，进行流量预报流量预报。200(2)21.3661.3661.366lglglgwwwwwwwHssKHKQssRRRrrr； Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动二、常见的二、常见的Q-sw关系曲线关系曲线 大量抽水井的实际资料证明大量抽水井的实际资料证明,常见的几种常见的几种Q

47、-sw曲线类型有曲线类型有直线型直线型、抛物抛物线线、幂函数曲线幂函数曲线型和型和对数曲线对数曲线型。型。 分别讨论曲线的分别讨论曲线的经验公式经验公式、判别方法判别方法、系数确定系数确定和和应用范围应用范围。1、直线型、直线型（1）经验公式：）经验公式：wQqs（2）类型判别）类型判别图解法图解法 判断判断Q-Sw是否为直线型：将不同落程的是否为直线型：将不同落程的Qi和和Swi资料绘在坐标纸上。资料绘在坐标纸上。如这些点分布在一条直线上，并通过坐标原点，即可判定为直线型。如这些点分布在一条直线上，并通过坐标原点，即可判定为直线型。（和承压水井（和承压水井Dupuit公式一致，公式一致，q待

48、定系数。）待定系数。） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动（3）确定待定系数）确定待定系数 q 值值 当资料不多，且资料点基本分布在同一直线上时，可当资料不多，且资料点基本分布在同一直线上时，可直接取直线直接取直线的斜率的斜率确定确定q值；值； 当资料较多，且点沿直线两侧分布较分散时，可采用当资料较多，且点沿直线两侧分布较分散时，可采用最小二乘法最小二乘法确定确定q值，即使值，即使残差平方和为最小残差平方和为最小（取极值）。（取极值）。210niwiidQqSdq2110iinniwwiiQsqs121niwiinwiiQSqS将所求将所求q值代回值代回 式，给出井中式，

49、给出井中设计降深设计降深se，即可预报，即可预报流量流量。wQqs（ n为抽水试验降深的次数）为抽水试验降深的次数） Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动2、抛物线型、抛物线型（1）经验公式：）经验公式：2wSaQbQwSabQQ11nnwiiiiiSbQQan1112211nnnwiwiiiiiinniiiiSnSQQbnQQ 或或（a、b为待定系数）为待定系数）（2）类型判别）类型判别图解法图解法 将抽水试验的资料以将抽水试验的资料以sw/Q为纵坐标为纵坐标，以，以Q为横坐标为横坐标，若基本上为一条，若基本上为一条直线，即可判定直线，即可判定Q-Sw为为抛物线抛物线型。

50、型。（3）确定待定系数）确定待定系数 a、b 值值 在在sw/Q-Q图上，图上， sw/Q轴的轴的截距为截距为a，直线，直线斜率为斜率为b。 当有当有n个抽水落程个抽水落程时，按时，按最小二乘法最小二乘法。经推导可得：。经推导可得：; Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3、幂函数曲线型、幂函数曲线型（1）经验公式：）经验公式：10mwQq S01lglglgwQqSm2211111lglglglglglgnnwiwiinNnwiIwiiiiinSSmnSQSQ两边取对数，得：两边取对数，得：（q0、m为待定系数）为

51、待定系数）（2）类型判别）类型判别图解法图解法 将抽水试验的资料在将抽水试验的资料在双对数坐标纸双对数坐标纸上绘出上绘出Q-sw曲线，若基本上为一曲线，若基本上为一条条直线直线，即可判定，即可判定Q-Sw为为幂函数曲线幂函数曲线型。型。（3）确定待定系数）确定待定系数 q0、m 值值 Q-sw直线在直线在lgQ轴上的截距为轴上的截距为q0 ，直线斜率的倒数为，直线斜率的倒数为m。 当有当有n个抽水落程时，按最小二乘法。经推导可得：个抽水落程时，按最小二乘法。经推导可得：1101lglglgnniwiiiQSmqn; Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动4、对数曲线型、对数曲

52、线型（1）经验公式：）经验公式：（a、b为待定系数）为待定系数）（2）类型判别）类型判别图解法图解法 在在单对数坐标单对数坐标纸上，纸上，Q取普通坐标取普通坐标，sw取对数坐标取对数坐标，绘出，绘出Q-lgsw关系关系曲线，若为曲线，若为直线直线，则可判定为，则可判定为对数曲线对数曲线型型（3）确定待定系数）确定待定系数 a、b 值值 Q-lgsw直线上，直线上，Q轴的轴的截距为截距为a，直线的，直线的斜率为斜率为b。 当有当有n个抽水落程个抽水落程时，按时，按最小二乘法最小二乘法。经推导可得：。经推导可得：;lgwQabs1112211lglglglgnnniwiiwiiiinnwiwiii

53、nQSQSbnSS 11lgnniwiiiQbSan Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 在实际抽水试验中，还可能遇到其他类型的曲线，均可用类似的方法处理。在实际抽水试验中，还可能遇到其他类型的曲线，均可用类似的方法处理。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 建立经验公式的目的建立经验公式的目的就是为了就是为了预报流量预报流量。通常预报的设计降深。通常预报的设计降深往往大于往往大于抽水试验降深，因而希望抽水试验降深，因而希望对经验公式进行外推对经验公式进行外推。 对直线型经验公式，外推降深的最大范围不能超过抽水试验时最大降深对直线型经验公式，外推降深

54、的最大范围不能超过抽水试验时最大降深的的1.5倍倍，对抛物线型、幂函数和对数曲线型方程，不能超过，对抛物线型、幂函数和对数曲线型方程，不能超过1.75-3.0倍倍。 注意：注意：经验公式是根据实测数据找出变量之间函数经验公式是根据实测数据找出变量之间函数近似表达式近似表达式的（的（不一不一定是定是变量间变量间真正的函数关系真正的函数关系），它只能说明在），它只能说明在观测数据范围以内观测数据范围以内的自变量和的自变量和因变量之间的关系。严格说来，它是因变量之间的关系。严格说来，它是不能外推的不能外推的。 即使要外推，外推范围也不能过大。考虑到经验公式的上述性质和统计即使要外推，外推范围也不能过

55、大。考虑到经验公式的上述性质和统计学的有关理论，由于允许外推范围过大，缺乏依据仍有待商榷。应用时需慎学的有关理论，由于允许外推范围过大，缺乏依据仍有待商榷。应用时需慎之又慎，特别是当外推范围较大时。之又慎，特别是当外推范围较大时。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 鉴别鉴别Q-S曲线类型的另一种简便方法：曲线类型的另一种简便方法： 曲度法曲度法即用即用曲度曲度n值值进行鉴别：进行鉴别： n1时，为直线型；时，为直线型；1n2时，为幂曲线型；时，为幂曲线型； n2时，为抛物线；时，为抛物线；n2时，为半对数曲线。时，为半对数曲线。 n1时，表明抽水试验不正确，重新进行抽水

56、。时，表明抽水试验不正确，重新进行抽水。2121lglglglgSSnQQ Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3-6 地下水向干扰井群的稳定运动地下水向干扰井群的稳定运动 在实际生产中，无论供水或排水，在实际生产中，无论供水或排水，单井单井情况比较少见，通常都是利用情况比较少见，通常都是利用若若干口井（井群）同时干口井（井群）同时抽水的情况，抽水的情况，在此情况下，水井附近地下水的运动是什在此情况下，水井附近地下水的运动是什么情况？么情况？ 井群中各井之间的距离（井间距）小于影响半径时，彼此间的降深和流井群中各井之间的距离（井间距）小于影响半径时，彼此间的降深和流量就会发

57、生量就会发生干扰干扰。 干扰的程度，干扰的程度，主要受主要受井的数量井的数量、间距间距、布井方式布井方式（井的结构井的结构）等因素影）等因素影响，还受响，还受含水层的性质含水层的性质（K、M），），补给排泄补给排泄条件等自然因素的影响。条件等自然因素的影响。 若保持降深不变，干扰情况下，井的流量比不干扰时要小；若保持降深不变，干扰情况下，井的流量比不干扰时要小； 若保持流量不变，干扰情况下，井的降深比不干扰时要大。若保持流量不变，干扰情况下，井的降深比不干扰时要大。 这时干扰区内任一点所产生的降深值，在这时干扰区内任一点所产生的降深值，在等于各井单独工作等于各井单独工作时在这一点所产生的降深值

58、的时在这一点所产生的降深值的叠加叠加。 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动承压含水层承压含水层 t 时刻由井时刻由井A单独引单独引起的降深起的降深由于由于A、B两口井的影两口井的影响响,t 时刻的承压水面时刻的承压水面 t 时刻由井时刻由井B单单独引起的降深独引起的降深井井B井井A图图17 剖面上解的叠加示意图剖面上解的叠加示意图 Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动 1、适用条件：、适用条件： 线性定解问题线性定解问题。即：微分方程。即：微分方程线性线性、定解条件、定解条件线性。线性。 （求解干扰井问题和边界附近的井流问题）（求解干扰井问题和边界附近

59、的井流问题） 2、数学表述：、数学表述： 如如H1、H2，.Hn是关于水头是关于水头H的线性偏微分方程的线性偏微分方程L(H)=0的的特解特解，C1、C2，Cn为任意常数，则这些为任意常数，则这些特解的线性组合特解的线性组合: 仍是原方程的解仍是原方程的解。式中的常数，根据。式中的常数，根据H所满足的边界条件来确定。所满足的边界条件来确定。 如方程是非齐次的，并设如方程是非齐次的，并设H0为该非齐次方程的一个特解，为该非齐次方程的一个特解，H1和和H2为相为相应的齐次方程的二个解，则：应的齐次方程的二个解，则： H=H0+C1H1+C2H2 也是该非齐次方程的解。也是该非齐次方程的解。一、叠加

60、原理一、叠加原理1niiiHC H Ch3 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动3、应用实例、应用实例 设在河湾处的设在河湾处的承压含水层承压含水层中有中有抽水井抽水井Pl和和P2，分别以流量，分别以流量Q=A和和Q=B抽水。渗流区抽水。渗流区D的边界的边界 是由是由河流河流和和渠道渠道组成的第一类边界。边界组成的第一类边界。边界1 上有上有H=H（1）, 2 上为上为H=H（2），如图），如图17。 在含水层为在含水层为均质各向同性均质各向同性，地下水流为，地下水流为稳定流稳定流的条件下，水头的条件下，水头H满满足足Laplace方程，该问题的数学模型为：方程，该问题的数学模型为