(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分6第6讲矩阵与变换课件文

1、第6讲第十章附加考査部分矩阵与变换理教材 教材回顾基础自测知枳硫理,1.矩阵乘法的定义-般地，我们规定行矩阵如讪与列矩阵鳥的乘法规则为11 12bn021与列矩阵的乘法规则*:axrbycxdy一般地，对于平面上的任意一个点（向量）（小J）,若按照对应法 则八总能对应唯一的一个平面点（向量）（x% yf ）,则称T为一个变换，简记为八（x,yf ）或八.2几种常见的平面变换恒等变换；（2）伸缩变换；反射变换;（4）旋转变换；（5）投影变换；（6）切变变换.3.矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵4, B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵4存在逆矩阵B

2、,则逆矩阵是唯 一的，通常记A的逆矩阵为A1, A X=B.逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵:(加一bcHO),它的逆矩阵db丫 adbe adbe 为人=caadbe adbe.(3)逆矩阵的简单性质 若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB) 已知A, B, C为二阶矩阵，且AB=AC,若矩阵A存在逆矩 阵，则B=C.（4）逆矩阵与二元_次方程组对于二元一次方程组：；：=：（M方cHO）,若将X=；看成是原先的向量，而将B= m看成是经过系数矩阵A= a nc a（加一bcHO）对应变换作用后得到的向量,则可记为矩阵方程AXa b x=B ,=caydb：,则 X =

3、B,其中 A-J =adbeadbecaadbe adbe4. 行列式定义：det(A)= : : =adbc叫做矩阵A=:；的行列式.5. 二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数2,存在一个非零向量 使得Aa=laf那么2称为A的一个特征值，而a称为A的属 于特征值2的一个特征向量.特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，与原向量保持在同 一条直线上，这时特征向量或者方向不变(久0)，或者方向相反 QvO),特别地，当2=0时，特征向量就被变成了零向量.(3)特征多项式设2是二阶矩阵4 =的一个特征值，它的一个特征向量为a =a

4、x-by=lx9cxrdy=Xy9xxXA =2.,即.满足二元一次方程组J U.(2) xZv=O,(*) cx+ (2)y=0.-1Z由特征向量的定义知因此小y不全为0,此时Dx=092=0,因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必2abc2d=0.亠、5 a b定乂：设* c d是一个二阶矩阵，2WR,我们把行列式7W）2abc2d=12（a+）2+a一be称为A的特征多项式(4)求矩阵的特征值与特征向量如果2是二阶矩阵4的特征值，则2 定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足于(2)=0.此时，将2代入二元一次方程 组(*),就可以得到一组非零解;于是，非零向量即为A 的属于

5、2的一个特征向量.產豳G9岡1.计算x=1 -1 iTi 0T1IL2 1121-111:x=21 J112Mi1 -11 02 141MB2解0 1012 1-3-16 12.已知变换卩把平面上的点（1, 0）, （0,迪）分别变换成点（1, 1）,（一边，边）.（1）试求变换T对应的矩阵M； （2）求曲线x2-y2=l在变换T的作用下所得到的曲线的方程.解：（1）设矩阵M=；:,依题意得b x，所曙=axby9=cx+Jy,由0）变换为1）得a = l9 c = l；由（0,边）变换为（一边，边）得b = , d=l. 所以矩阵M= ； _；xf =(2)变换f所对应关系，丄解得*,yf=

6、x+y,y xf尸h代入 x2j2=l 得 xfyf = l.故x2-j2=l在变换T的作用下所得到的曲线方程为xy = l.3.求矩阵A=l :的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.解：矩阵A的特征多项式为/U)=一：5令/(2)=0 得，/-52-24=0,所以21=8,曲=一3为矩阵4的两个特征值.5x 6y 0,当21=8时，解相应线性方程组一二_n可任取一解5x I 6y0,；，得2i=8的一个特征向量$=；当久2= 3时,解相应线性方程组6x6y=0,.”5尸0.可任取一解，得久2=3的一个特征向量迓=紅要点整台,1.必明辨的2个易错点 (1)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题

7、时，变换矩阵可以 通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别 清楚，防止混淆.(2)对于图象变换，一定要分清哪个是变换前的，哪个是变换后 的，以及变换的途径，防止因颠倒而出错.2.必会的3种方法 (1)对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形 式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换.(2)对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵.(3)对于二阶矩阵A而言，至多有两个特征值，将特征值;I代入Aa=2a,即可求得对应的特征向量a.1. 已知曲线C： xy = l.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线C的方程;求曲线C

8、的焦点坐标和渐近线方程. 解：(1)由题设条件，M=cos 45sin 45-sin 45cos 452 29J2 、/22Jl22X 2-2+血2兀十2-即有解得彳x=2(，+/) y= (jrxr),代入曲线C的方程为yf2xf2=2.,得到的曲线是所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后 y2-x2=2.由知,只需把曲线员一兀2III=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程.曲线y2-x2=2的焦点坐标是(0, -2), (0, 2),渐近线方 程为xy=0,变换矩阵45。)sin (45 )sin (45cos (452 272 20-22 22

9、 2即曲线C的焦点坐标是(一边，-a/2), (2, a/2).而把直线兀土y=0按原点顺时针旋转45。恰为y轴与工轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和丿=0.2. 若直线丿=总在矩阵:讣对应的变换作用下得到的直线过 点P(4, 1),求实数A:的值.QM x 1 fx7 | o lTxl y n_x=jS解：设变换八 f / ,贝0，= 1 n =，即 ， VLy Lx Ll OlyLx ly=x%代入直线得，x9 =ky,将点P(4, 1)代入得，k=43. 如图矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形 OAfBfCf9求变换T所对应的矩阵iyB q32AfCf1BAA-1 02 x解

10、：法一：由矩形OABC变换成平行四边形O4BC可以看成 先将矩形OABC绕着O点逆时针旋转90 ,得到矩形然后再将矩形作切变变换得到平行四边形故旋转变换矩阵为:cos 90sin 90-sin 90cos 90-10切变变换:X1所以切变变换矩阵为1 0-1 1所以矩阵必=1 00 -10 -1-1 11 0._1 1.法二:设矩阵M=： ,则点 4(2, 0)4(0, 2), 5(2, 1)-歹(一1, 3),92+2c+a b-13=0,2c=29 2+方=1, 、2c+=3,所以M=； _；考点1矩阵变换及其简单应用例1 (2019苏州检测)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy =

11、l在矩阵cos 0sin 0sinOcos 00Wv刖对应的变换作用下得到曲线F,且F的方程为x2-y2=a2(a0)9求和a的值.【解】 设P(xo, N)是曲线C上任意一点，P(x0,旳)在矩阵cos 0 sin 0-sin. cos 对应的变换下变为PW。，灿则有cos 0sin 0sinOcos 0XqJo_xfojo所以代入到x2-/=2中,x0cos +yosin 伏 xosin +y()cos 有3ocos +y()sin )2(xosin +y()cos 0)2=a29 且 xqVo=1;化简得:(xojo)(cos2sin2)+4xoyosin cos 0=a29即(卅一尤)

12、(cos%_sin%)+4sin cos 0=a2； 所以 cos26-sin26=0 且 a2=4sin Geos 8,而 “w 0，0,所以=务a=迄.求经过二阶矩阵变换曲线的方法步骤曲线/(兀，J)=o经过二阶矩阵变换,得曲线g(x, j)=0,求曲线刃的一般步骤为：取曲线/(兀，y)=0上的任意一点A3, y)；(2) A(x,刃通过二阶矩阵变换得Ar(xff y)；(3) 用刃表示兀，yf表示y代入于(小j)=0,得g(Z ,丿)=0；(4)g(xS)=0用兀代替厂y代替八得gd，j)=0,即为所求.動跟踪训练已知矩阵人=:(1) 求满足条件AM=B的矩阵M；(2) 矩阵M对应的变换

13、将曲线C：工+丁2=1变换为曲线,求 曲线C的方程.解：设M=aba+ca=0, u F c 3 b=2tb+d=2f 所以 a=0, b=29 c=3, d=0.所以M=0 23 OJ(2)设曲线C上任意一点P(x, y)在矩阵M对应的变换作用下变 为点pg h ),X02X?yJy-,30.y.3xMB MMy9 .则M所以2y=xf,3x=yf,Xy=rJ代入曲线C： x2+j2=l,得-2 _22所以曲线的方程是奇+鲁=1+gkl考点2求二阶矩阵的逆矩阵（高频考点）（201&高考江苏卷）已知矩阵4 =求4的逆矩阵4t；求点尸（2）若点尸在矩阵A对应的变换作用下得到点p（3, 1）,的坐

14、标【解】因为A= 1,det(A)=2X2-lX3 = 10,所以A可逆，从而A】2 -3-1 22 3(2)设 P(x, J),则 1 2X3y.19所以密因此,点P的坐标为(3, -1).求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵卄:,AB=BA=E；d ba b公式法=c d =adbc, Al =Eli urc g1a 面IAIHO；(3)利用逆矩阵的性质故4 一汝=0,解得2c=0,、2/= 1,1 I所以B= v 因此，佔=J 12考点3 矩阵的特征值与特征向量例3已知x, jGR,向量久=_；是矩阵A = X J啲属于特征值一2的一个特征向量，求矩阵4以及它的另一个

15、特征值.【解】 由已知，得Aa=2a911X 1-20_-1.y -2/站x得X1 = 2,y=2,所以矩阵A=1 J从而矩阵a的特征多项式/a)=a+2)y-i), 所以矩阵A的另一个特征值为1.鈿圖简圈矩阵M=求特征值和特征向量的方法d的特征值2满足(2a)(2d)bc=09属于2 的特征向量心口满足吨H；解巾)=i=0得特征值;(2)求特征向量和特征值的步骤_ A (2a) xby=09解_女+y = oO(2”妙=0,取兀=1或尸1,写出相应的向量.動跟踪训练(2019江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五)已知矩阵A=；:的一个特征值为2,求a的值及矩阵A的另一 个特征值及其对应的一个特征

16、向量.解：因为矩阵a的特征多项式为/a)=(2“)(21)1,它的一 个特征值为2,所以2是于(2)=0的一个根, 所以(2a)(21) 1=0,所以 a = l.令于(久)=0,得x=0或久=2.所以当2=0时，设其对应的一个特征向量为a=由题意得x+j=0, x+j=0.所以令x=1,贝0j = l,所以特征值2=0对应的一个特征向量为a =讲方法 素养提升助学培优二阶矩阵的简单运算典例(2017高考江苏卷)已知矩阵4 =0 11 0(1) 求 AB;2 2(2) 若曲线Ci：奇+=1在矩阵A对应的变换作用下得到另一【解】因为A=： J所以AB =011002_10.02_10.（2）设Q3o,旳）为曲线Cl上的任意一点,它在矩阵对应的变换作用下变为卩（小j）,x0=y9所以 x30=2-因