矩阵在常系数递推关系中的应用

1、目 录内容摘要1关键词11引言11.1研究现状11.2研究意义21.3研究思路及研究方法22矩阵相关知识22.1矩阵的加法和数与矩阵的乘法22.2矩阵的乘法32.3矩阵对角化42.4可对角化矩阵的性质53矩阵在常系数线性递推关系中的应用73.1矩阵在常系数线性齐次递推关系(组)的应用83.1.1应用矩阵表示常系数线性齐次递推关系83.1.2矩阵方法求解常系数线性齐次递推关系93.2矩阵在常系数线性非齐次递推关系(组)的应用113.2.1应用矩阵表示常系数线性非齐次递推关系113.2.2矩阵方法求解常系数线性非齐次递推关系124应用矩阵方法求解常系数线性递推关系的优劣 135结论15参考文献16

2、Abstract16Key words16矩阵在常系数线性递推关系中的应用专业：数学与应用数学 学号：201413008132 学生姓名：李成金指导老师：李勇刚 职称：讲师【内容摘要】 本文在前人的研究基础上，对应用矩阵的相关知识与常系数线性递推关系进行研究.首先，归纳出一些矩阵的相关知识.其次，应用矩阵来表示常系数线性递推关系.然后再应用矩阵求解常系数线性递推关系，介绍矩阵方法如何应用.最后，举出简单的递推关系的问题，用一般方法和矩阵方法分别对这些问题进行解答，并比较这些方法在解决实际问题中的优劣之处，提出一些自己的建议.将递推关系组与矩阵相结合，用矩阵对角化及特征值理论求解一类递推关系组，

3、并给出通解.感觉像流水帐，不是太自然，可以使用一些将这些点串起来【关键词】 矩阵的加法只是加法？应该是运算；可对角化；应用矩阵；递推关系；1 引言1.1 研究现状递推关系不仅对组合论有重要意义，而且几乎对一切数学分支都有重要意义.求解常系数线性递推关系的最有效的常见的方法是母函数法和特征根法，而本文将用矩阵进行求解，其基本思想为：对于某些递推关系定义的数列,根据矩阵特征值理论，将数列的一般项表为含有对角阵的矩阵乘法形式，在此基础上推出数列的通项公式.杨振生在组合数学及其算法1中提到常系数线性齐次递推关系以及常系数线性非齐次递推关系的求解，通过对不同形式的递推关系问题采用不同的方法进行求解归纳，

4、以及简单的应用.岳嵘在利用矩阵对角化求数列通项2中提出利用矩阵求解具有特殊性质的数列的通项公式；尹飞，杨方，赵天玉在用矩阵对角化求解一类递推关系组3中把递推关系与矩阵相结合，用矩阵对角化来求解一类递推关系组；郑华盛，徐伟在矩阵对角化的应用4中利用矩阵对角化求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式，这是矩阵在求解递推关系问题中知识的延拓与提升.通过文献整理可知，目前矩阵在常系数线性递推关系中的应用只是简单的利用矩阵对角化解决常系数线性递推关系问题.对矩阵方法在常系数线性递推关系中的应用没有具体说明该怎么用，为什么要这么用或是为什么要用矩阵方法来解决，只是草草地给出定义以及引理

5、，并没有深入去研究应用矩阵解决常系数线性递推关系问题可以带来怎么样的方便，只是简单地说明了应用矩阵解递推关系问题的方便之处在于将常系数线性递推关系问题简单化、统一化，降低了思维难度.1.2 研究意义 矩阵在求解一类具有递推关系式中占有非常重要的作用，通过矩阵的对角化将数列的一般项表示为含有对角阵的矩阵乘法形式，运用矩阵相关知识,并且结合数学思想与方法，并与高等数学中的基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，提高学生的学习兴趣.矩阵在常系数线性递推关系中的相关研究是符合当代大学生的一项研究.研究的目的在于通过一系列研究得出矩阵对角化解法在某类递推关系中是具体优势的，让学生能够在解题中

6、明白知识是环环相扣的.1.3 研究思路及研究方法本文研究的基本思路：首先收集资料进行综合分析，归纳整理，了解当前研究的背景及其现状.基于目前研究矩阵的现状，提出研究的意义.然后，对矩阵的相关知识进行分析.将矩阵知识与常系数线性递推关系进行结合，应用矩阵表示常系数线性递推关系；用满足矩阵可对角化的条件，证明常系数线性递推关系.由矩阵知识用到某些复杂的递推关系问题上，综合比较常规的解题方法总结出各自的优缺点以及适用情况.在掌握了矩阵方法解决常系数线性递推关系问题的一般步骤后，对矩阵方法应用于常系数线性递推关系进行进一步研究，分析得出用矩阵方法解题所适合的情况及其优劣之处.基于对文献资料的分析上，归

7、纳出应用矩阵在求解常系数线性递推关系的技巧与方法.最后，对文章进行总结.本研究首先采用文献研究法，根据所研究的论文题目，通过查阅相关文献，从而能够正确的了解掌握所要研究的问题.在研究矩阵在常系数线性递推关系中的研究现状上运用文献研究法，能形成关于研究对象的印象.然后采用比较研究法，通过纵横比较，对矩阵方法与常规方法进行利弊分析，最后总结矩阵方法是否实用.2 矩阵相关知识2.1 矩阵的加法和数与矩阵的乘法定义2.15 两个行列矩阵，对应位置元素相加得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和，记为，即. 例2.1.1 设矩阵,求. 解： 注1 只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算

8、才有意义，即加减运算是可行的.定义2.2 以数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作.如果，那么. 例2.1.2 设,求. 解：2.2 矩阵的乘法 定义2.3 设矩阵的数列与矩阵的行数相同,则由元素 构成的行列矩阵称为矩阵与矩阵的积，记为或.这个定义说明，如果矩阵的列数等于矩阵的行数，则与的乘积中第行第列的元素，等于矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和，并且矩阵的行数等于矩阵的行数，矩阵的列数等于矩阵的列数.例2.2.1设矩阵,，计算.解：是的矩阵.设它为，那么 . 注2 (1)只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘；(2)乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数

9、，列数等于右矩阵的列数；(3)乘积矩阵的第行第列的元素等于左矩阵的第行与右矩阵的第列的对应元素的乘积之和.2.3 矩阵对角化定义2.46 设,为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵存在，使得 成立，则称矩阵与相似，记为.例2.3.1 ,则 ,所以,即.通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换（初等变换）后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而且其他位置全为零的另一个矩阵（这个矩阵称为对角阵），这个过程叫做矩阵的对角化，并不是所有的矩阵都能对角化.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要作用，矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论.例2.3.2 矩阵是否能对角化？如果能，将其对角化.解：先求的

10、特征值和特征向量.特征方程为则的特征值为 ，.把代入，求得特征向量；把代入，求得特征向量.由于特征值都是单根，所以矩阵是可对角化的.取 , 则,于是有 .注3 (1)当矩阵的特征值全部是单根时，是可对角化的.(2)当矩阵的特征值是重根时，只要每一个重根的特征值所对应的全部线性无关的特征向量的个数都等于特征值的重数，则是可对角化的；当有一个重根的特征值所对应的全部线性无关的特征向量的个数小于特征值的重数时，则不能对角化.引理2.3.1 设，且,则存在可逆矩阵,使可同时对角化.引理2.3.2 如果有个互不相同的对角元素，对某个，则当且仅当本身是对角阵.2.4 可对角化矩阵的性质 定理2.4.1 设

11、是数域上的一个可对角化的阶矩阵,是的互不相同的特征根，则存在阶矩阵，使 ； ,为单位矩阵； ； ,为零矩阵，其中.证明1)由可对角化,则存在上的一个阶可逆矩阵,使得其中的重数为,由于既,所以记,其中故.2)由每个为对角形幂等阵，则，,故.3)由，则 故.4)当时,；为零矩阵故,.3 矩阵在常系数线性递推关系中的应用常系数线性递推关系分为常系数线性齐次递推关系和常系数线性非齐次递推关系两种情况.定义3.1 常系数线性齐次递推关系，其形如或这里全部是常数.例如就是一个常系数线性齐次递推关系.定义3.2 常系数线性非齐次递推关系，其形如这里全部是常数.例如都是常系数线性非齐次递推关系.那么对于非常系

12、数非线性递推关系的求解一般是非常困难的，目前的求解方法还不够成熟，因此我们只考虑求解常系数线性齐次递推关系以及常系数线性非齐次递推关系这两类特殊的递推关系.3.1 矩阵在常系数线性齐次递推关系(组)的应用 3.1.1 应用矩阵表示常系数线性齐次递推关系递推数列形如7对此情形的数列，通过观察等式，可等价给出方程组该方程组可表示为矩阵形式.(1)例3.1.18构造数列且满足递推关系 现在考虑将数列采用矩阵的形式表示.因为 所以 3.1.2 矩阵方法求解常系数线性齐次递推关系令,则式(1)可以写成.由该式递推得.那么求的问题就转为求矩阵,也就是求解矩阵.若矩阵可以对角化，即存在可逆矩阵,使得为对角形

13、矩阵，则问题变得更方便求解.例3.1.2 已知数列满足.求数列的通项公式.解：由原数列可得 也即 .可令 ,则存在 ,使得 .从而 ,综上所述 .小结：对于该题的求解,我们可以发现矩阵方法解决此类型题比较简便，首先我们应用矩阵方法求出矩阵,进而求出可逆矩阵，在求解矩阵的逆矩阵时，使用矩阵的乘法需要细心，避免求解错误，运用矩阵方法可避免了构造新的数列难点，更突出了矩阵方法方便、快捷的优点.例3.1.3 有递推关系求解这个常系数线性齐次递推关系.解：该递推关系的递推定义方式可以看成是由与的联立方程组，作矩阵向量,则上述联立方程组可表为：,记,则的特征多项式,故的特征根为，.故可对角化,令,可得.又

14、由于,故有：,可得 即 .小结：类似上题的斐波那契数列也是一类常系数线性齐次递推关系，在求解时用矩阵的加减法求出，进而利用矩阵对角化方法，将递推关系的定义方式看成联立的方程组，作出矩阵向量，避免了母函数构造新数列的复杂操作，使得求解方便快捷.3.2 矩阵在常系数线性非齐次递推关系(组)的应用3.2.1 应用矩阵表示常系数线性非齐次递推关系情况3.2.1 递推数列形如，由此数列可得写成矩阵形式表示为情况3.2.2 双递推数列形如(为常数).对此数列,可写成矩阵形式.因此原递推关系问题转化成求解幂矩阵问题，从而可求出数列和的通项公式.3.2.2 矩阵方法求解常系数线性非齐次递推关系 对于递推数列将

15、其写成矩阵形式进而对其求解即 .由此原问题转化成求矩阵运算，进而可求出通项公式.例3.2.1本文所举的例子是引用他人的，还是自己写的？ 设数列满足 求数列的通项公式.解：将递推关系变形后写成矩阵形式易求得矩阵 的特征根和对应的一个特征向量分别为 则存在 使得 所以 从而可知 小结：这个问题的正常思路是通过构造型的常数列来求解，但是却不容易易想得到，应用矩阵方法可以避开这些难点，因此问题转化成求解矩阵的问题.例 3.2.2 设数列和满足 .求证：是完全平方数.解：有已知条件容易推知 记矩阵 .易求得矩阵的特征根为 则存在可逆矩阵使得 .于是可由 .求得的通项公式形如 将代入上式可求得 于是有 .

16、小结:双递推数列问题在使用一般方法解决的过程中较为繁杂，类似此题，需要构造新的数列再使用特征方程的方法求解.若用矩阵方法求解,可达到事半功倍的效果.4 应用矩阵方法求解常系数线性递推关系的优劣求解常系数线性递推关系最有效的常见的方法是母函数法和特征根法，而本文用矩阵方法进行求解，那么矩阵方法又存在怎样的优势以及局限性，以下对三种方法进行一下讨论.例4.1.1 设边界条件，,求解该递推关系.解法一：(母函数法)设则存在 所以 易求得 又有 所以 解法二：(特征根法)该递推关系的特征方程为： ，所以 ,从而 ，又由可得 解得 因此 .解法三：(矩阵方法)由原数列可得也即 ,可令 ,则存在 ,使得

17、,从而 所以 .小结：母函数法需要构造新的数列，操作比较复杂，但是能够有效的解决递推关系问题.特征根法求解便捷，类似这一道题，如果在遇到有重根的问题时会对求解递推关系带来不便.矩阵方法求解递推关系时，如果能够将递推关系写成矩阵形式，并且该矩阵能够对角化，进而求解幂矩阵，那么求解递推关系就很方便了.例4.2.1 设边界条件，求该递推关系.解法一：(母函数法)设则存在 所以 易求得 又有 所以 综上所述 .解法二：(特征根法)该递推关系的特征方程为 提公因式得 解得 所以 因为 所以 所以 综上所述 . 解法三：(矩阵方法)将递推关系变形后写为矩阵形式易求得矩阵的特征根和对应的一个特征向量分别为因

18、为该矩阵的特征方程有相同的特征根并且特征向量线性相关，因此无法求出对角化矩阵，无法应用矩阵方法求解.小结：母函数方法能够有效求解递推关系，但是需要构造新的数列，操作比较复杂，特征根法求解便捷，但是如果在遇到有重根的问题时会对求解递推关系带来不便.而矩阵方法则可避免重新构造数列，但是类似上题，通过变形求解得出两个特征向量线性相关，无法求出对角化矩阵，因此应用矩阵方法求解递推关系具有一定的局限性.5 结论矩阵的对角化将数列的一般项表示为含有对角阵的矩阵乘法形式，避免了类似母函数一样需要构造新的数列，解决问题时较为方便快捷，至于特征根法，对于有重根的特征方程求解不方便，我们利用矩阵方法时，列出矩阵，

19、求出矩阵可对角化,再得出可逆矩阵，进而求出幂矩阵，最终求解出递推关系式.本文在研究中也存在很多不足之处：对于某些方阵不可对角化时，矩阵方法存在很大的局限性；对于阶数较大的方阵不便于求解.并且由于研究水平能力有限等原因，因此，本文对矩阵方法应用于常系数线性递推关系中只是初步的研究，实践中还有需进一步验证和总结.【参考文献】1 杨振生.组合数学及其算法M.合肥：中国科学科技大学出版社，1997.110-124.2 岳嵘. 利用矩阵对角化求数列通项J. 高等数学研究, 2007, 10(4):66-68.3 尹飞，杨方，赵天玉.用矩阵对角化求解一类递推关系组J.科学与财富, 2010(1):37-3

20、8.4 郑华盛, 徐伟. 矩阵对角化方法的应用J. 高等数学研究, 2008, 11(3):58-64.5 赵树嫄.线性代数M.北京：中国人民大学出版社，2017.45-50.6 徐爱华.线性代数M.上海：同济大学出版社，2015.102-104.7 龚丽燕, 陈益智, 蔡俊树. 递推数列通项的矩阵解法J. 高等数学研究, 2014(5):3-6.8 郑长波. 利用矩阵特征值理论求解递推关系J. 沈阳师范大学学报(自然科学版), 2011, 29(3):347-351.Application of Matrix in Linear Recursive relation with constant coefficientsAbstract On the basis of previous studies, this paper studies the relationship between the relative knowledge of applied matrices and linear recursion of constant coefficients. Firstly, some related knowledge of matrices is summarized. The matrix is used to express