专题04 函数的定义域、解析式、值域（知识梳理）-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（原卷版）

1、专题04 函数的定义域、解析式、值域（知识梳理）一、函数的定义域定义域特指的值。函数题的解答不能不考虑函数的定义域,抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题,所以被称为隐形杀手,一定要确立定义域优先的思想。基本解题思路：注意“定义域优先”；不要对解析式化简变形；在解不等式组时要细心、快而准,分类讨论要全面,取交集时需要借助数轴；要注意端点值或边界值能否取到；定义域要用集合或者区间的形式写出；换元法要注意新变量的取值范围；注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。1、基本函数定义域的要求：(1)分式函数

2、,分母不为；(2)偶次根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号)(3)一次函数、二次函数的定义域为；(4)中的底数不等于； (中的底数也不等于)(5)指数函数定义域为,对数函数定义域为； (注意且)(6)、的定义域为；的定义域为；的定义域为；(7)实际问题应考虑实际限制。2、剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。例1-1函数的定义域为( )。A、 B、 C、 D、例1-2函数的定义域为 。（二）单一函数与复合函数的相互转换。1、单一到复合,类比联想,整体代入。由的定义域为求的定义域实质是,求的取值范围。例2-1函数的定义域为,则函数的定义域为 。2、复合到单一,

3、方法：换元法。 规避易错点：新变量的取值范围。由的定义域,求的定义域,实质是,求的取值范围,此取值范围就是的定义域。实质就是换元法。例2-2已知函数的定义域是,则函数的定义域为 。3、复合到复合,找到“桥梁”。由的定义域,求的定义域,须先求的定义域。例2-3若的定义域是,则函数的定义域为 。（三）函数定义域逆向性问题。例3-1若函数的定义域为,则实数取值范围是( )。A、 B、 C、 D、例3-2已知函数的定义域是,则实数的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、二、函数的解析式（一）已知函数类型,可设参,用待定系数法求解析式。若已知函数形式(一次函数,；二次函数,；反比例函数,；指数函数,且

4、；,且；幂函数),可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式。已知函数图象,也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的,要用分段函数表示。例4-1已知函数是指数函数,则( )。 A、 B、 C、 D、多选例4-2已知函数是一次函数,且,则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、例4-3已知二次函数满足,且,则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、（二）方程组法求函数解析式。若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式,可构造另一个等式,通过解方程组求解。(1)互为倒数：；(2)互为相反数：或(为奇函数

5、,为偶函数)。例5-1已知,则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、例5-2已知,则的解析式为 。例5-3设为偶函数,为奇函数,求与的解析式。（三）已知求复合函数,或已知复合函数的解析式求的解析式,可用换元法、配凑法。即令,反解出,然后代入中求出,从而求出,注意新变量的取值范围。例6-1已知,则的解析式为 。例6-2已知,则的解析式为 。（四）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。1、关于点对称：关于点对称的； 特殊点：点关于原点对称的点奇函数。2、关于线对称(1)特殊线：关于轴对称；关于轴对称偶函数；关于对称反函数；关于对称。(2)一般直线：构建等量关系抓两个关

6、键点：垂直和中点。点关于直线对称的点,则；。例7-1函数关于原点对称且当时,求函数在时的解析式。例7-2与方程()的曲线关于直线对称的曲线的方程是( )。A、() B、()C、() D、()（五）赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。例5-1已知,对于任意实数、,恒成立,则的解析式为 。三、函数的值域（一）直接法1、观察法：通过观察如,或等函数的定义域及性质,结合函数的解析式,应用不等式性质,可直接求得函数的值域。例6-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、2、利用配方法：型如()型或可转化为二次

7、型的函数,用此种方法,注意自变量的范围。例6-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、3、数形结合法：利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。例6-3函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、例6-4在实数的原有运算中定义新运算“”如下：当时,；当时,。设函数,则的值域为( )。A、 B、 C、 D、（二）利用分离常数法：1、型如时,可化简成的格式,分母不为零,。例7-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、2、型如的函数,可化简成的格式,再求值域。例7-2函数的值域为( )。A、 B、 C、

8、 D、（三）利用基本不等式：1、型如时,直接应用不等式性质。例8-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、2、(1)型如：若,则(当且仅当即当时取“=”),若,则(当且仅当即时取“=”)；(2)型如(,)：若,则(当且仅当即时取“=”),若,则(当且仅当即时取“=”)；例8-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、3、型如时,应先应用分离常数法化简成的格式,再利用均值不等式求值域。例8-3函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、4、型如时,应讨论时的值域,再讨论化简成型,最后利用均值不等式求值域。例8-4函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（四）利用换元法：型如型,可用此法求其

9、值域。例9-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（五）利用函数的单调性：若函数是上的单调增(减)函数,则、分别是在区间上取得最小(大)值、最大(小)值。例10-1已知,且满足,则函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（六）判别式法：型如(、不同时为零)及的函数求值域,通常把其转化成关于的一元二次方程,由判别式,求得的取值范围,即为原函数的值域。例11-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（七）反函数法：1、直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例12-1函数值域为( )。A、 B、 C、 D、2、直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。例12-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（八）倒数法：有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况。例13-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、（九）导数法：利用导数与函数的连续