整理03积分及其应用

1、精品文档第三讲积分及其应用考纲要求1理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换 元积分法和分部积分法.3会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5. 了解广义积分的概念，会计算广义积分.6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等)及函 数的平均值.一、不定积分问题1不定积分的概念与性质答 考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积

2、分的性质1概念定义1如果在区间I上，有F x = f x或者dF (x) = f (x)dx，则称F x为f x在区间I上的原函数.定义2 f x的全体原函数称为f x的不定积分，记作 f (x)dx.它们的关系是：如果 F x为f x的一个原函数，则f (x)dx 二 F (x) C .上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数2.性质：性质1 (互逆性)如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即plf(x)dx二f(x)(先积后导还原了)dx,f (x)d f (x) C(先导后积还原 C)性质 2 (线性性):f(x) ： g(x)dx = ： f (x)dx -

3、 g(x)dx.例题1.若f 3(x) = 1，则 f(x)=【幼x +C 】精品文档(x-2)3-32 22已知 f (2 cosx) = sin x tan x，则 f (x)=3. 已知f (x)的一个原函数为(1 sinx)lnx,则 xf(x)dx二【x cosxIn x sin x -(1 sin x) ln x C 】4. 下列命题中不正确的是().【B】(A) 若f(x)为连续的奇函数，则其原函数为偶函数(B) 若f(x)为连续的偶函数，则其原函数为奇函数(C) 若f(x)为可导的奇函数，则其导函数为偶函数(D) 若f(x)为可导的偶函数，则其导函数为奇函数x解 由.f(x)d

4、x f (t) dt C知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.求导改变函数的奇偶性.证明如下：若 f (-X)二 f(x)，则 f (_x)(-1) = f (x)，即 f (_x) (x).xx积分0 f(t)dt改变函数的奇偶性.证明如下：记叮J(x) f(t)dt,-xU =1 Xx若 f(_x) = f(x)，则(x)=j f(t)dt = j f (u)(du) =J f(u)du=(x)问题2常用的积分公式答 常用的积分公式有 22个，它们是：11(1) kdx 二kx C ；( 2)xdxx C ；( 3)dx=l nx C ；c

5、scx cot xdx 二-cscx C ；1 x2dx = arctan x C(14)Jtanxdx=Tn cosx+C ； ( 15)Jcotxdx = In sinx +C ；-爲 1x(16) secxdx = lnsecx+tanx+C ； ( 17)cscxdx = In cscx cotx+C ；1x(18)r dx =arcsinC ； ( 19)L Ja2 _x2a、a + xJ2 dx = 1 arcta n? C ；a a(20)21 2dx 二丄 In、x a 2a1(22)= dx = In I 22x -a其中三角函数的积分公式1C ； ( 21)dx = In(

6、 x . x a ) Cx ax + Jx2 _a2 +C10个，与二次式有关的积分公式7个.问题3如何用凑微分法求不定积分?答 凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如f(x)(x)dx 的积分定理 设有积分公式.f (x)dx = F(x) C，则f (x) : (x)dx 二 f (x)d (x)二 F (x) C凑微分型积分特点：f (x)p: (x)dx，关键是凑微分，即将:(x)dx凑成微分 d (x)，从而积分.f(x)(x)dx 二 f (x)d (x)，其中 f 是 22 个函数之一;在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：根据复合抓住u，凑完微分配系

7、数； 使用公式要准确，积分消失加常数； 特殊情形有两个，就是 u和u倒数:啓(xH(x)dx， f屮(x)例题1. xx(1 ln x)dx【xx C 】tanx , r 2 丄2. dx【C】cosx 、cosx精品文档3.4.sin xcosx124 dx 【arctan(sin x) C 】1 sin x2In当被积函数分母次数较高时，令t . x 例题2精品文档5. Jdx【llnx 6x 522x -6x +5 +2lnl：5C 】问题4如何用第二类换元法求不定积分？ 答逆用凑微分公式，就得到第二类换元法定理 设f(x)连续，:(t)单调、可导且:(t)连续，则f(x)dx 二 f(

8、t)(t)dt.当被积函数含a2-x2, x2 _a2时，用三角代换;当被积函数含:ax b，ax bcx d令 t = Vax +b，n ax b；cx d1.1 x2dx【1(1 x2)23f dx2. . xJx2 T解(方法一)令 x = sect，当x 1时，tdx.sect tantdt,丄小1 丄-t G - arccos C1，x .,x2Tsect tantx当X -1时，fdxtsect tantdt,丄小1 丄小t C2=arccosC2.x/tsect tantx(方法二)令1 t ：x当x 1时,dxx、x21 1dt 二-arcsin t G = - arcsinC

9、1 ，1-t2x当X -1时,dxx、x2：1t 11. 1(2)dt = f dt = arcsin t * C2 = arcsin + C?.1 r t、1_t2x（方法三）dxx(4-x)当X 1时,当X ：: -1时,1-arcsin G，x宁C】1=arcsi n-C2x【2arcsin4. ex-1 dx解 令t = ex-1,ex =t2 1,x = In(t2 1)，2tex -1 dx 二 t 2 dt 二 2(t -arctant) C=2(. ex-1 -arctan .eX-1) C.问题5如何用分部积分法求不定积分?答分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如uv

10、dx的积分.具体步骤如下:uvdx = udv (凑微分) 二 uv-.vdu (用公式)二uv- uvdx （算微分，求积分）关键是凑微分.分部积分型积分特点:uv dx，被积函数为“反对幕指三”五类函数的乘积，下面的积分都是典型的分部积分题:分部化简型：xe2xdx ；x2 sinxdx ；xln2 xdx ； arctanxdx.分部还原型：ex sin xdx ； sec? xdx ；a2-x2dx.分部递推型：n xdxx e dx，22 n .L，(x2+a2)n分部抵消型：1ln(ln x) dx.In x可以这样说，凡是“反对幕指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑

11、用 分部积分法计算使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀：可凑尽量凑，不可不强求,反对幕指三，逆序找函数一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求； 难度若相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式； 积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉 例题【2、x arcsin , x 2、1x C 】2 1112. xsin xdx【 xxsin 2xcos2x C 】4483 x21 2x23. x e dx 【(x -1)e C 】24. ln s? xdx【-cotx lnsin x-cotx-x C 】 sin x5.arccoteT , dx【-earccotex 11n(1

12、 e2x) -x C 】解 【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分法】arc血dx- arccoWde二-earccotex- e(-x, x-e arccot e -1+eGdx2x 2xarccot e- =dx1e2x-e arccot ex-x 丄 ln(1 e2x) C2问题6如何求有理函数的不定积分？答 首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念由于假分式=多项式真分式，所以关键是真分式R(x)二啦 的积分，步骤是:Q(x)将Q(x)在实数范围内分解因式;将R(x)二竺 表为部分分式之和，其方法是：Q(x)若Q(x)有因式(x-a)k，则分解式中含下列 k项之和+ + 川 +

13、 7，x_a (x-a)(x_a)若Q(x)有因式(x2 +px+q)k，则分解式中含下列 k项之和Mix + Ni 十 M2X + N2 十川 M kx + Nk ；x2+px+q (x2 + px+q)2(x2 + px+q)k，用待定系数法求出 A，Mi，Ni ；求出积分.许多函数(如指数有理式 R(ex)，三角有理式R(cosx,sin x)，根式有理式R(n ax b)x1等)的积分可以通过换元:t = ex， t = tan ，n ax b化为有理函数的积分2例题求2x 1(x-1f(x2 4)dx.2x 1A B Cx D2 2 2 2(x -1) (x 4) x -1 (x -

14、1) x 4去分母得2x 1 =A(x-1)(x2 4) B(x2 4) (Cx D)(x -1)2，依次比较上式两边的常数项和一次幕、二次幕、三次幕系数，得2=4A C-2D，0-A B-2C D，0二A C，解得 A =4/ 25,B =3/5,C 二4/ 25,D 二19/ 25，1 - -4A 4B D，2x 1故(x-1)2(x2 4)AXRdX (X-1f25In x T 35(x-1)225ln( x24)-19 丄 x arcta n C .502确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，如本题令x=1，立即得B=3/5 . 问题7如何求不定积分？答 求不定积分是最基本的运

15、算之一，它是所有积分计算的基础，读者务必熟练掌握三类典型题（凑微分、换元、分部）和常用变形方法（无理化有理，高次化低次，分母化因式， 变量化一致）求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“22个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分三类典型题1凑微分（复合）型：.f （x）（x）dx （根据复合抓住u）2换元（根号）型：被积函数含Ja2 _x2, Jx2 a2 Max + b，Jex一 1 等例题3分部积分（乘积）型： uvdx （反对幕指三，逆序找函数）dx【2x ex -1 -4 e -1 4arctan e -1 C 】 dx2.【ta

16、n xsecx C 】1 si nx2.arctarx , rarctanx1 x 123.2 厂dx【In 2 (arctan x) C 】x (1 x )x 21 x 22x22 x4. e (tanx 1) dx e tanx C 】5. (arcsinx)2dx x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsinx 2x C 】1 -cosx11 cosx 4(1 cosx)6.- dx 11nsin2x 2sinx 81sin2x 2sinxdx =12sin x(cosx 1)dxsin x22sin x(cos x 1)dx122(1 -cos x)(cos x 1)d cosx

17、 (t =cosx), 12(172)(11/41/ 4 与dt1 -t 1 t1/2 dt(1亍 dt二 一-一-ln(1 t)24ln (1 t)41 121 t8.dx【一(x In sin x +cosx) + C 】 sin x+cosx2解 【将分子分解为sin x = A(sin x - cosx)： B(sin x - cosx),其中A, B为待定系数】sinx .dx二sinx cosx1 1= -x-In sinx +cosx +C . 2 2arcta nx,xe , 9.3 dx(1 x2)2解 【三角代换】令 x 二 tant,贝Uarcta nx xerdx 二(

18、1 x2)211(cosx -sinx)(sinx cosx)22dxsinx cosx【(x=1)earctanxC 】2.1一x2tane se(c tdt 二 si nt e? dt (分部积分) sec t10.dx(2x2 1)、x2 1x【arcta nC 】11.md厂) dx (x 0)【09-2-3】ln(1dx = x l=xl n(111 dx=xl n(1T)1 1 * xdx2 1 xdxJxdx11-(1 2x)22dxx x2d (x +丄)=Jx + x22 / . 1 、2 1 2 (x 2)4代入，得ln(1dx =xl n(1X 1Jx +x2x 21ln

19、4x x2 C 计算. Jx dx时，还可以作如下代换:令tdx 2 2(1-12)2dt ;令tx，,/xd 1tt22tdt 二 2dt.12.设F(x)是f(x)的原函数，且当x _ 0 时，f (x)F(x)x xe2(1 x)2F(0) =1,F(x)0,试求 f(x).【f (x)二xxe22(1 x)213.设 f (sin2 x)，求sin xf 严 f (x)dx.【一 2一 x arcsin J - x214设 f(x -1)=2f (x) =1 n x，求 (x)dx .【x +2ln x 1 + C 】2 t +1解令x -1，f小匚1，(x)亠 1fnnRWx，(x)

20、1x(x) -1(x)二x1X +1 J(x)dx = Jdx=x + 2ln x1 +C. x_1二、定积分问题8定积分的概念bn答 函数f(x)在区间a,b上的定积分* f (x)dx =1叫7 f (小x，其中九=maxAx!,Ax2,l，也X.若积分和的极限存在时，则称f(x)在a,b上可积理解定积分的思想方法(分割、读者应结合曲边梯形的面积理解定义式中各记号的含义, 近似、求和、取极限).可积条件若函数f(x)在a,b连续或者分段连续，则f(x)在a,b上可积.若函数f(x)在a,b可积，则f(x)在a,b上有界定积分的值与“分法”、“取法”无关；若函数f(x)在a,b可积，则定积分

21、的值与“分法”、“取法”无关.定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关b定积分的几何意义：a f(x)dx在几何上表示由y=0, y=f x ， x=a， x = b所 围图形各部分面积的代数和在利用定积分的几何意义时，要求积分下限小于积分上限.例题(1 1 1 )1用定积分的定义求lim.【In 2】Fjn +1 n +2 n + n 丿2用定积分的几何意义求I 2x=x2dx.043如图，设连续函数 f (x)在区间-3,-2、2,3上的图象分别是直径为1的上、下半x圆，在区间-2,0、0,2上的图象分别是直径为 2的下、上半圆，设 F(x) f (t)dt， 则下列结论

22、正确的是().【07-1，C】3 5(A)F(3) 一3F(-2) (B)F(3) =-F(2)4 43 5(C)F(-3)F(2)(D)F(-3)F(-2)4 4问题9定积分的性质答定积分具有如下性质：线性性jf(x) ：g(x)dx f(x)dx ： g(x)dx.LaLafcabcb可加性f(x)dx f(x)dxf (x)dx aa- cb保号性设 X a,b，f(x)_0，则 f(x)dx_0.abb设 X a,b， f(x)乞 g(x)，则 f(x)dx g(x)dx.a abb| J f(x)dx 兰 J|f(x) dx.aab估值定理 设 x a,b， m 二 f (x) z

23、M，则 m(b - a) f (x)dx _ M (b - a) a定积分的不等式性质均要求积分下限小于积分上限，否则，不等式反向积分中值定理 设f (x)在a,b上连续，则至少存在一点 a,b ，使得ba f (x)dx = f ( )(b -a).b设f(x)在a,b上连续，则至少存在一点-(a,b)，使得 f (x)dx = f ( )(b - a). dx f x d x心aac2两类反常积分，都可以用下面的公式计算：bb若f (x)在(a, b)上连续，且F (x)二f (x)，则 f (x)dx二F(x) a (类似定积分)a此公式要求f (x)在(a,b)内部不能有间断点.例题1

24、下列广义积分收敛的是().【C】(A)：ln x , dx;x(B)dx2.(x 7) ,x -2:dxdxxln x解令t = Jx _2 , x =t2 2 ,dx:2tdtxln2x (D)x L. I n x(t2 9)t=2:dtt2 9=2 larcta3323. 0dxx2 -4x 3.【发散】4.求咼 xe(1 e)2dx.【In 2】.x说 xe(1-e)2dx =rrdx (1 ex)2-bo一 0xd x1 ex“1 ex1 - exdx 二x -1n(1 ex)二 In1ex-I n2.二 arctanxdx.【99-2,xln2】42解 【分部积分】arcta nx1

25、x2-be11dx = - J arctanxd = 一一 arctanx“x-bo说11Xi X?dx第 ：:匕1蔦1 (xx3)dx ln x4-ln(1 x2)2JT 1ln2.426.求be dxi 77兀4e2解ex 1 ex2a2 ct an e e问题13定积分等式的证明答 证明关于定积分的等式， 要根据被积函数和积分区间，选择适当的方法,的例子.42e请看下面例题f (x)满足1.设函数f(x)， g(x)在区间-a,a(a 0)上连续，g(x)为偶函数,aaf(x) f(-x)二 A 为常数，证明f(x)g(x)dx= A g(x)dx.a 0【用换元法】2.设f (x)在a

26、,b上有二阶连续导数，f (a)二f (a) = 0，证明b1 b2f (x)dxf (x)(x-b)2dx.a2 a【用分部积分法】习题X毎1.设 f (x) = f 2 sin t dt. X证明f (x)是以二为周期的周期函数；求 f (x)的值域.【04-2, 2 - .2, . 2】证【只要证明f(x*) = f(x)】要证明f (x二)=f (x)，即X七解G IsintdUsint dt，令 u = t -二，贝 Ux七輕xf(x+让) = _2|si n t dt = J 2 |si n( u+兀)du=f 2|si nudu=f(x)Xxx故f (x)是以二为周期的周期函数；

27、要证明 f(x*)二 f(x)，只要证明 f (x 二)- f (x) =0 ,令 F (x) = f (x 十証)一 f (x) = J * 2 si nt dt 一 J 2 si nt dt ,x精品文档-11精品文档nHsin (x +兀 +亍)sin(x +皿)-sin (x +)2+sin xF (x)二=cosx - sin x - cosx + sin x = 0，故 F(x)为一常数,所以 F(x) =F(0) =2sintdt itsintdt =0，即f (x 二)f (x) = 0 【只要求出f (x)在0,二上的最大值和最小值】X号|f(x)二 2IJTsin t dt

28、，(x) = sin(x +) sin x令 f (x) =0，得 sin(x + =)2=sinxcosx=sin x，即 tan x =1,故f (x)在(0,二)内的驻点为xJIf(0)仍 sin t|dt=1，f5)二 f(0) =1，nf(4)f4 2in73nsint dt = sintdt =sint dt =总sint dt =JI3二sintdt -故f (x)的值域为2 - . 2, ,2.2设f (x)连续，常数a 0，证明:f(x22A)xdxa2f(x2 屮Xa2再令a2a2f(ta1 f(x )dxa2f(t 7)a2 dtdta1 f(x问题14A)xdxdtx

29、11f(t 和关于定积分不等式的证明1 aa2 dta2a2 dt匚1 P J)a 舗二),，2丄af (u )u-J.巴，代入上式，得uf(ua 、du)u uJ f(x 二)鱼.1x x精品文档答利用第二讲中证明不等式的方法和定积分的不等式性质 例题1设 f(x)在0,1上可导，f(0)=0, 0：f (x) z1，证明：1213.0 f (x)dx _ 0 f (x)dx.证【将常量不等式化为变量不等式】xox o令 F(x)二0 f(t)dt2 - 0 f3(t)dt (要证 F(1)_0 = F(0)X3X2F(x) =2f(x). f(t)dt-f (x) = f(x)2 . f(t)dt-f (x)xo令G(x) =2 o f (t)dt - f2(x)，贝VG(x)=2f(x)-2f(x)f (x)=