【精品】第五节平面及其方程教案

1、重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学上班级：教研窒：高等数学教研室编写时间：课题：第五节平面及其方程教学目的及要求：介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重要的一节， 本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的 表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用旁批栏:教学步骤及内容：一、平面的点法式方程1 平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2 .平面的点法式方程平面上的一点Mo(X0,yo

2、，Z0)和它的一个法线向量n 代B,C,对平面上的任一点 M(x, y,z),有向量MM n, 即卩ujujurn M0M 0代入坐标式，有：A(x Xo) B(y yo) C(z z)0(1)此即平面的点法式方程。例1 :求过三点M ! (2, - 1, 4)、M2 (- 1, 3, - 2)和 M3 (0, 2, 3)的平面方程。k614i 9j k1解：先找出这平面的法向量 n,i jn 皿側2 M1M33 423由点法式方程得平面方程为14(x2)9(y1) (z 4)即:14x 9y z 150二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：Ax By Cz

3、D 0几个平面图形特点：1) D = 0:通过原点的平面。2) A= 0:法线向量垂直于 X轴，表示一个平行于 X轴的平面。同理：B= 0或C= 0:分别表示一个平行于 y轴或z轴的平面。3) A= B= 0：方程为CZ D 0 ,法线向量0,0,C,方程表示一个解：设平面为Ax By CzD o，由平面过原点知由平面过点6, 3,2知6A 3B 2CQn 4, 1,2 4AB 2C o A|c所求平面方程为2x 2y 3z 0三、两平面的夹角：定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面 1 : A1x B1yC1zD10，2: A2xB| yC|ZD 2n1 A1, B1,C1，n

4、2 A2, IB2,C2按照两向量夹角余弦公式有:cos| A1A2B1B2C1C2 |一Ai2B12B22Cl几个常用的结论设平面1和法向量依n1 A1, B1, C1n2 A2 , B2 , C21)两平面垂直:A1 A2B1B2C1C20法向量垂直2)两平面平行:B1C13)A2B2C2法向量平行平面外一点到平面的距离公式:设平面外的一点 PoXo, y,Zo，面的方程为 Ax By Cz D0，那么点到平面的距离为d AxoJ A2Byo Czo DB2 C2例3:研究以下各组里两平面的位置关系:(1) x 2y z 10, y 3z 1(2) 2x y z 1 o,64x 2y 2z 10解：cos1 102 11 311,两平面相交，夹；(1)2 22 ( 1)2 荷 32J60角1arccosV60(2)n1 2, 1,1,n2 4,2,行.M (1,1,0)1 M (1,1,0)2 11(3)422M (1,1,0)1 M (1,1,0)211十k十2，两平面平4222，所以两平面平行但不重合。两平面平行2 所