最新九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)

1、1234567891011121314151617第二十六章反比例函数26. 1知识点1反比例函数的定义一般地，形如y = E （k为常数，kO）的函数称为反比例函数，它可以从以 X下几个方面来理解：x是自变量，y是x的反比例函数；自变量x的取值范围是x工0的一切实数，函数值的取值范围是y w。；比例系数kwO是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式： y = （ k 0 ）, xy = kxT（kwO）,x y = k （定值）（k = 0）；函数y = E （k声0）与x = E （kwO）是等价的，所以当y是x的反比例 xy函数时，x也是y的反比例函数。（k为常数，kw

2、O）是反比例函数的一部分，当k=0时，y = -,就不是反比 X例函数了。26. 2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式18 由于反比例函数y = ? (k#0)中，只有一个待定系数，因此，只要一组对x19 应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。20 2。3知识点3反比例函数的图像及画法21 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第22 三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中23 自变量xwO,函数值ywO,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线24 的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。25 反比例的画法

3、分三个步骤：列表；描点；连线。26 再作反比例函数的图像时应注意以下几点：27 列表时选取的数值宜对称选取；28 列表时选取的数值越多，画的图像越精确；29 连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,30 切忌画成折线；31 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。32 26. 4知识点4反比例函数的性质33 关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，34 如下表：35反比例函y = - (kwO)X3数k的符号k0k0时，函数 图像的两个分支分 别在第一、第三象 限，在每个象限内， y随x的增大而减小。X的取值范围 是XHO,

4、 y的取值范 围是y工0当k0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。39反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定4041的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以埼 % 断出k的符号。如丫 =人在第一、第三象限，则可知k0。4243444546474849505152535455565758反比例函数y = ： (kwO)中比例系数k的绝对值卜|的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P (x, y)分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别垂足，9A |k| = xy = |x| y = PF . PE = S矩形。印尸 反比例函数y = E

5、 (k，0)中，网越大，双曲线y =上越远离坐标 XX原点；同越小，双曲线y =：越靠近坐标原点。 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称 图形，对称轴是直线y=x和直线y=X。习题1.下列函数中，不是反比例函数的是()331A. y= B y=C. y= r D 3xy=2x2xx 12.已知点P(1,4)在反比例函数.后0)的图象上，则左的值是()XA. B. j C. 4 D. 444k2 y = 3 .若P (2, 2)和Q (m, 一部)是反比例函数工图象上的两点，则一次函数厂kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.

6、第二、三、四象限_ k4 .已知函数二封11）和“一 % （kWO）,它们在同一坐标系内的图象 大致是（）.59606162636465666768185 .当&W0时,函数y=ax+l与函数y=刍在同一坐标系中的图象可能是（）916 .如图26-1-10,直线y=寅力0）与反比例函数X一七的图象分别交 xx于8 C两点，4为y轴上的任意一点，则胸的面积为（）697071727374757677787980图 26-1-1033A. 3 B. tC.-D.不能确定k y = -7 .已知反比例函数 工的图象与直线y=2x和y=x+l的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增

7、大而 （填“增大”或“减 小”）.k y = -8 .若正比例函数y=2x与反比例函数工的图象有一个交点为（2, m）,则m=，k=,它们的另一个交点为.已知函数、=伏是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=若y随x的增大而减小，那么k二.818283848586878889909192939 .如图2619,直线y=2k6与反比例函数产=-(x0)的图象交于点4(4, 2), x与x轴交于点B.(1)求息的值及点5的坐标；(2)在x轴上是否存在点C,使得/8码若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.图 26-1- 9k10 .如图在RtABO中，顶点A是双曲线工与直线=一元+

8、(方+1)在第四象3限的交点，AB_Lx轴于B且S2XAB0=.求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和AOC的面积.949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115第二十七章相似116图形的相似117 概述118如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。（相似119 的符号：s）120121122123124125126127128129130131132133134135136137138判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形 相似。相似比相似多边形的对

9、应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全 等。性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于 相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。比例线段有关概念及性质1、比和比例的有关概念：(1)表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.(2)第四比例项：若j=或a：b=c：d,那么d叫作a、b、c的第四比例项. b d(3)比例中项：若j=9或a:b=b：c, b叫作a, c的比例中项. b c(4)黄金分割：把一条线段(AB)分割成两条线段，使其中较长线段(AC) 是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即 AC2=AB - BC, AC=

10、YABO.6184B； 一条线段的黄金分割点有两个.21391401411421431441451461471481491501511521531541551562.比例的基本性质及定理a c a + b cd(2)=b d b d小、a c m tc、 a + c-vni a(3) - = = = (b+ d+ + n W 0)-=b d nb + d Tvn b3 .平行线分线段成比例定理(D三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比 例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比 例，那么

11、这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所 截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.4 .相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比.相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这157158159160161162163164165166167168169170171172173174175两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似

12、。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正 五边形等等）；判定1 .两个三角形的两个角对应相等2 .两边对应成比例,且夹角相等3 .三边对应成比例4 .平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三 角形与原三角形相似。宜角三角形相似判定定理： .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似， 并且分成的两个直角三角形也相似。性质1 .相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接17617717817918018118218318

13、4185186187188189190191192193圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。2 .相似三角形周长的比等于相似比。3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：cCD2=AD - BD,/A2DAC2=AD - AB,BC2=BD - BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两

14、个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213位似如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互 相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比 又称为位似比。性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之 比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着

15、位似中心的位变 而位变。根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这 两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。注意1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似;5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位 似。习题b _ 5 ci-b1、已知。13,贝!+ 的值是（）214215216217218219220221222

16、22322422522622723A. B. 294C. d. 2、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=LCD=3,那么EF的长是（）A、B、D、第7题图3、如图，ZkABC中，点D、E分别在边AB, BC上，DE/AC,若 DB=4, DA=2, BE=3,贝!)EC=228229230231232233234235236237238239240A4、已知ABCsZJ)EF, AA3C与AOEF的相似比为4:1,贝AA8C与ADE尸对应边上的高之比为5、将一副三角板按图叠放，则4AOB与()(；的面积之比等于DB6、在BCD中，Y, N是AD边上的三等分点，

17、连接BD, MC相交于0点，则5MCO S AC0B_7、如图，AB/7FC, D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE,分别延长FD和 CB交于点G.(1)求证：ADECFE：(2)若 GB=2, BO4, BD=b 求 AB 的长.2412422432442452462472482492502512528、如图，已知6、a 三点在同一条直线上，的与颂都是等边三角 形.其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证：(1) ACEgaBCD；(第23题图)9、如图，已知AB是00的直径，BC是。0的弦，弦ED_LAB于点F,交BC于 点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P, P

18、C=PG.(1)求证：PC是。的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF-B0.求证：点G 是BC的中点(3)在满足(2)的条件下，AB=10, ED=4而，求BG的长.253254第二十八章锐角三角函数255 一、锐角三角函数的定义256在以ZABC 中，NC=90 , AB=c, BC=a, kC=b258正弦:.,NA的对边a sinA=c259余弦:cosk=NA的邻边b斜边 工257- a NA的对边a260 正切：移=4的邻边F261 二、特殊角的三角函数值asin acos atana3022显 345。在 2也 2160正 2 226226326426

19、5266267268269270271272273274275三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 RtZkABC 中，NC=90。，贝!)：(1)三边关系：a2+62=c2；(2)两锐角关系：ZA+ZB=90 ；(3)边与角关系：sinA= cosB= , cosA=sinB= , tanA=； ccb(4) sii?A+cos2A =1四、解直角三角形的应用常用知识1 .仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2 .坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i

20、276277278279280281282283284285286287288坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a, i = tana坡度越大，a角越大，坡面3 .方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角北在偏东30度北偏西70度70号 东西南方向南偏东50度习题解直角三角形聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义在斤上ZkABC中，NC=90AB=c, BC=& AC=5正弦:NA的对边a斜边二余弦:-NA的邻边b sA=斜边=展212993003013023033043053063073083093103113123133141 .仰角和俯角：仰角：

21、在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2 .坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a, i = tana坡度越大，a角越大，坡面3 .方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角北,偏东30度北偏西7吧及旷刁西南方向南偏东50度考点典例一、锐角三角函数的定义【例口ABC中，a, b, c分别是NA, ZB, NC的对边，如果S+b2=c2,那么下列结论正确的是（）A. csinA=aB. bcosB=cC.

22、 atanA=bD. ctan5=Z316317318319320321322323324325326327328315【举一反三】(2015.山东日照,第10题,3分)如图，在直角ABAD中,延长斜边BD到点C,使DCnBD,连接AC,2若 tanB4,则 tanNCAD 的值（）3A. 3V3B. 51C. 3D.考点典例二、锐角三角函数的计算例2在aABC中，如果NA、ZB满足|tanA-l|+ (cosB-)三0,那么N 2【举一反三】AABC中若*A-； 1+(1-tanB)三0,则NC的度数是()A. 45 B. 60 C. 75 D. 105考点典例三、解直角三角形【例3】在中，

23、AD是BC边上的高，NC=45 , sinB=-, AD=k求BC 3的长.A【举一反三】如图，在aABC 中，ZA=30 , ZB=45 , AC=2x/3 ,求 AB 的长.32933033133233333433533633733833934034135度为100m。sin35 ,12考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45和35。，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据:57cos35 x , tan 350 * 一610考点：三角函数的应用.一、选择题

24、3433443453463473483493503513523533421. （2015乐山）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）2. （2015 辽宁大连）如图，在ABC中，ZC=90 , AC=2,点D在BC上,ZADO2ZB, AD=V5,则 BC 的长为（）A. Si B. V3+1C . V5-1D .、片+13. . （2015 湖北衡阳，12题，3分）如图，为了测得电视塔的高度AB, 在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30 ,再 向电视塔方向前进100米到达F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60 , 则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（

25、）.354355356357358359360361362363364365A. 505/3D. 101B. 51C. 506+14. （2015.山东泰安，第14题）（3分）如图，轮船从5处以每小时60海里的 速度沿南偏东20方向匀速航行，在6处观测灯塔月位于南偏东50方向上， 轮船航行40分钟到达。处，在。处观测灯塔月位于北偏东10方向上，则。处 与灯塔A的距离是（）个北A. 20海里 B. 40海里 C. 3亚海里D. 土史海里33二、填空题5. （2015内江）在R6C中，N后30 , 踞12,月d6,则给.6. （2015 黑龙江哈尔滨）如图，点D在AABC的边BC上，ZC+ZBAD

26、=ZDAC,366367368369370371372373374375376377378tanNBAD, , AD=，话,CD=13,则线段 AC 的长为.7. （2015 辽宁大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的 仰角为32 ,底部C的俯角为45 ,观测点与楼的水平距离AD为31cm,则楼 BC的高度约为 m（结果取整数）.（参考数据：sin32 0.5, cos32 ”0.8, tan32 20.6）三、解答题8. （2015 辽宁丹东）23.如图，线段AB, CD表示甲、乙两幢居民楼的高, 两楼间的距离BD是60米.某人站在A处测得C点的俯角为37 , D点的俯角 为

27、48 （人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD.33711参考数据：sm37-,tan.37o- -, sin48-一541010379380381382383384385386387388389390第2题图9. （2015.河南省，第20题，9分）（9分）如图所示，某数学活动小组选定 测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30 , 朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48 .若 坡角NFAE=30。，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：sin48 0. 74, cos48 =0.67, tan48 *1.11,、巧仁 1.73）第20

28、题第二十九章投影与视图29. 1投影一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做391392393394395396397398399400401402403404405406407408409物体的投影(projection),照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。 由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影

29、叫做平行投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。29. 2三视图三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的 轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前 面向后面投射所得的视图称主视图一一能反映物体的前面形状，从物体的上面 向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向 右面投射所得的视图称左视图一能反映物体的左面形状，还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构 形

30、状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖 面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。主视、俯视长对正410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429物体的投影主视、左视高平齐左视、俯视宽相等在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和 确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同, 但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是 不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状 和结构。一个视图只能反映

31、物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形 状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面 图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序： 一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）； 先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按 投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对 称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。习题考点典例一、辨别立体图形的三种视图【例1】（2015 湖北鄂州，5题，3分）如图所示的几何体是由一些正方体组 合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）430431432433434435436437438439440441考点：简单组合体的三视图.【举一反三】1 .（山东泰安，第3题）（3分）下列四个儿何体:其中左视图与俯视图相同的几何体共有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考点：简单几何体的三视图.2 .（山东潍坊，第2题，3分）如右图