高考数学圆锥曲线双曲线解答题专项训练含答案

专题1.9圆锥曲线-双曲线

考向解读

（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲

线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性

强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，

充分利用数形结合思想，转化与化归思想.同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注

重对运算能力的培养.

（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题.

②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式

求弦长.

③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一

元二次方程根与系数的关系.

（3）解决中点弦问题的两种方法：

①根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元

二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

②点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线

方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

最新模拟题赏析

1.在①加＞0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+6,②C的焦距为

6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问

22

题中.问题：已知双曲线C：工—上一=1，，求c的方程.

m2m

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【试题来源】备战2021年高考数学一轮复习考点一遍过

【答案】答案不唯一，见解析

【分析】根据双曲线的性质，从①②③三个条件中选一个，求出双曲线的方程即可.

【解析】若选①，因为机＞0,所以/=加,从=2%。2="+力2=3加，所以

1

a=Vm,c=V3m・

因为。的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,

所以\[m+>/3m=（1+>/3）>/m=3+^3，

22

解得m=3,故C的方程为匕—2-=l.

36

若选②，则c=3.

若加>0,则/=机力2=2机,（？=/+匕2=3”，所以c=J§/=3，

X2V2

解得加=3,则C的方程为二一工=1；

36

若〃?<0，则/=-2/w,02=TM,C2=/+/??=-3m，所以c=3m-3，

y2%2

解得加=一3,则C的方程为2———=1.

63

选③，因为。上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,所以2a=4,即a=2.

22

?।m>0■则。2=m，所以a=J£=2，解彳）机=4，则C的方程为----=1：

48

22

若“<0,则/=一2加，所以a=J^=2,解得加=一2,则C的方程为匕—土=1.

42

2.双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点（2拉，1）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设双曲线C的左、右顶点分别是小，A2,尸为C上任意一点，直线以I,以2分别与

直线/：x=l交于A/,N,求的最小值.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

r2

【答案】⑴---y2=l；（2）y/3.

4

【分析】（1）设出双曲线方程/一始=〃（每0）,将点代入即可求解.

（2）设直线Rh,以2的斜率分别为人，依的，依>0）,由（1）可得女而=,，写出直线an

4

的方程与刃2的方程，求出点M,N,表示出此加，利用基本不等式即可求解.

【解析】由渐近线方程可设双曲线C的方程为N—4y=/（原0）,

2

把（20，1）代入可得4=4,所以双曲线C的方程为土一/=1.

4

（2）由题易知，尸在右支上时取最小值.

由（1）可得4（-2,0）,4（2,0）,设尸（x,回，根据双曲线方程可得」....-

x-2x+24

直线Rh,Rh的斜率分别为小，kz（h,依＞0）,则大业2=1,

4

的方程为y=%i（x+2）,令x=l,得M（l,3川,

以2的方程为了=依。-2）,令x=l,得Ml，一左2），

所以|MM=|3七一（一心）|=3木+让2取芯=百，

当且仅当3%=公，即心=3，左2=、5时，等号成立.

62

故的最小值为.

【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出/业2=L，再表示出

4

\MN\＞考查r运算能力.

3.已知双曲线C:「—与=1（。＞0/＞0）经过点4（272,1）且实轴长是半焦距的迪.

a'"5

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线/与双曲线C交于P,。两点，且线段。。的中点为（1,2）,求直线/的方程.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

2

【答案】（1）--/=1；（2）x-8y+15=O.

4

【分析】（1）根据题意可得a=¥c，再根据双曲线过点A（20,l）,再结合c?=储+〃，

代入即可求得a=2,b=l，即可得到双曲线C的标准方程；（2）先设出P,。的坐标，根

据中点坐标公式即可求得玉+々=2，x+%=4,将尸，。两点代入双曲线方程，两式相

减即可得到斜率为:，再利用点斜式即可求出宜线/的方程.

【解析】（1）因为实轴长是半焦距的逑倍，所以2a=生叵c，即q=&5c，

555

3

QI

因为双曲线。经过点A（2j^,1）,.二1~—yy=l,

ab

因为。2=42+/?2,所以。=2,b=l，c=>/5

2

故双曲线。的标准方程为x土-y2=1：

4.

（2）设尸，°的坐标分别为（玉，y）,（乙,%），

因为线段。。的中点为（1,2）,所以％+%=2,y+%=4,

因为卫_弁=1，§_找=1，所以"二字3_（y—%）（%+%）=0,

444

整理得江&=三，即直线/的斜率为《，

%一工288

所以直线/的方程为y—2='（x—1）,即龙一8y+15=0.

8

4.设中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点-，工，且《鸟=2月，

椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3：7.

（1）求这两曲线方程；

（2）若尸为这两曲线的一个交点，求cos/月尸入的值.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

尤2y-V2y24

【答案】（1）椭圆方程为二+匕=1，双曲线方程为L—L=l;（2）

4936945

【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等

式PK+PK=14,P1—P6=6,可求出尸耳、PF2,再用余弦定理即可.

【解析】（1）由己知得,=旧，设椭圆长、短半轴长分别为4、b，双曲线实半轴、虚半

a-m-4,

轴长分别为山、“，则<J13J13解得。=7,m=3-所以b=6,〃=2.

7---=3--—,

am

222v2

故椭圆方程为x三+v乙=1,双曲线方程为x乙-匕=1.

493694

（2）不妨设士、尸2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点,

4

则P£+Pg=14,PG—P6=6,所以=10，尸鸟=4.又月月=2a,

PF；+PF；-咽102+42-(2713)2_4

故cosN^P鸟=

2PF].PF?2x10x4-5

5.已知4（—2,0）,3（2,0）,直线A〃，相交于点且它们的斜率之积是3.

（1）求点M的轨迹C的方程.

（2）过点N（2,3）能否作一条直线用与轨迹C交于两点P,Q,且点N是线段PQ的中点？

若能，求出直线机的方程；若不能，说明理由.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）三—E=I（XH±2）；（2）不能，理由见解析.

412

【分析】（1）设出点M（x,y），利用斜率之积即可求出轨迹方程;

（2）设出P（x，y）,。（％2，%），利用点差法可求出.

【解析】(1)设M(x,y),XH±2,kAM=^,怎”=匕1，

x+2x-2

-23,即法.线=3,整理得32=12("),

即轨迹C方程为二一上=l（x。±2）；

412

（2）显然直线加的斜率存在，设为&，设尸（%/）,。（々，%），

止上二］

则：12,两式相减得G―々）（*+±）_（Xf）（X+%）,

々2必2412

I412

y,-v,cx.+X.

整理可得；；=3x」~,

%一ZX+M

；N是线段PQ的中点，二』二旦=3x^=2,即％=2,

x,-x26

故直线机的方程为丁一3=2“一2）,即2x-y-1=（）,

5

将直线代入双曲线可得/一4X+13=0，△=（Y）2—4X13<0,

此时直线与双曲线不相交.故不能作出这样的直线.

22

6.已知点片、b2为双曲线0-£=1（4〉0,力>0）的左、右焦点，过尸2作垂直于X轴的

直线在X轴上方交上双曲线于点M，且NM4心=30°,的面积为4G.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线实轴右端点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为耳、鸟，求所.朋

的值.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

r2v24

【答案】（1）三—匕=1；（2）

249

【分析】（1）求出点〃的坐标，根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出。、b

的值,即可得出双曲线的方程;（2）设渐近线4：y=0的倾斜角为。，可得tan6=正，

求出cos加的值，利用点到直线的距离公式求出|所|、|理|，利用平面向量数量积的定义

可求得电•理的值.

【解析】（1）设6（。,0）、加（。,%）（%>0），则。2=储+「

乂v2川

将点”的坐标代入双曲线的方程得、-与=1，可得），：=',

a2b2a2

・二为>。,—・%二—»\MF1=一»

a2ci

o/2

QNM£居=30。，轴，所以，|峭|=2阿马=竺9，

由双曲线的定义可得pW用一眼用=2。=忙，则°=，？+巳2=&,

2

S^MFF--x2cx--^-^--2y/3a-4y/3,：.a=\[2>b=2,

122aa

22

因此，双曲线的方程为三-工=1;

24

6

（2）双曲线的两条渐近线为4：JIr—y=0，l2-.41x+y=0<

易知产（JIo）,渐近线4的倾斜角为e，则tane=及，

由平面向量数量积的定义可得所.理=|所,珂cos（7r_2e）=gxg=：.

【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量

积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

22

7.已知双曲线h>Q）,过点（、反，3）,离心率为

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点N（L2）,过点N的直线交双曲线C于4、8两点，且丽=g（E+砺）.求

直线AB的方程

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

2

【答案】（I）%2-21=1：（2）y=x+\.

2

7

【分析】（1）由离心率可得关系，再将点（、回，/）代入可求出方程；

（2）设直线45为y=k（x-l）+2,联立直线与双曲线方程，得出芯+々=2；（2]，）

由题可得N是＜8的中点，建立方程可求.

【解析】（1）由题意得£=百，即c=/a，

a

r2v2

则A?=c2—cr=3a2—〃=2a2»双曲线方程为一^----z-=1»

a22a2

将点（、/5,代入二r=1,得\"—2=1，得〃2=1,

'7a22a2a22a2

二双曲线方程f—3=1.

2

（2）由题意知直线AB的斜率存在.

2

设直线）=左（兀-1）+2,代入f—]_=1,

得（2—女2）f_2女（2_k）无_（2_女『_2=0.（*）

令A（Xi，yj,B（X2,%），则苞、*2是方程（*）的两根，

,,,2k（2-k）

.・.2—％wO，且％+%=——-——

12l-k2

•.•西=；（西+砺），；.N是的中点，=

:.k\2-k）=-k2+2,4=1,.,.直线的方程为y=x+l.

【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程,设交点为A（孙弘）,8（孙凡）；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或丁）的一元二次方程;

（3）写出根与系数关系；

（4）将所求问题或题中关系转化为王+马，%/形式；

（5）代入根与系数关系求解.

8

v2V2

双曲线亮-的左、右焦点分别为、直线/经过鸟且与「的两条渐近

8.r：1>=i4F2,

线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.

（1）设p为「右支上的任意一点，求1尸片1的最小值；

（2）设。为坐标原点，求。到/的距离，并求/与「的交点坐标.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）归耳1min=9；（2）。到/的距离3；/与「的交点坐标为（4.1,0.675）.

【分析】（1）设尸10，%），由两点距离公式有I尸耳1=:%+4,结合已知即可

求1/^1的最小值；（2）根据双曲线方程写出渐近线方程为y=?2x,由题设知/：

4

3x+4y-15=0,由点线距离公式求。至I”的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标.

9

【解析】（1）根据题设条件，可得片（—5,0）.设尸（玉）,为），其中玉）24,且为2二二城—乡

16

/41=他+5）2+%2=+o+4,x0>4

所以当5=4时，|尸耳|*=9.

3

（2）E（5,0）,T的两条渐近线方程为y=?—x，

4

,|3x0+4x0-15|.

根据题设，得八3x+4y-15=0,。到/的距离"=~~五京丁一-=3-

3x+4y—15=0

将/与「的方程联立，得，“2，消去y得，10%=41,解得x=4.1,代入得

9%-16/=144

y=0.675,所以/与「的交点坐标为（4.1,0.675）.

【名师点睛】（1）设P（x°,%），应用两点距离公式以及点在曲线方程上列I尸耳I关于x。方程，

尸在双曲线右支有玉）24,求范围即可.

（2）由直线/与双曲线渐近线关系写出直线方程，结合点线距离公式求距离，联立方程求

交点即可.

9.已知双曲线C的焦点F（百，0）,双曲线C上一点尸到尸的最短距离为百—J5.

（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；

9

（2）已知点MO,1），设尸是双曲线C上的点，。是P关于原点的对称点.设％=近况0,

求2的取值范围.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）-..>2=1，y—+^3LX.（2）（-00,-1].

22

【分析】（1）由题可得。=百，c—a=6-夜，即可得出椭圆方程，进而求出渐近线方

程；⑵利用坐标关系表示出2=丽•诙=一[其+2，再由闻2血可求出.

）2

【解析】（1）设双曲线的方程为之

一炉

因为双曲线c的焦点厂（石，0）,双曲线c上一点p到尸的最短距离为

c->J3>c-a=-\/3一5/2>ci-"V2，

b2=。2-/=（6）2_（忘了=1，则双曲线的方程为:|_一>2=],

令上—>2=0,则,=±也x，即渐近线方程为y=±也％.

222

（2）设P的坐标为（xo,/），则。的坐标为（一y,一%）,

丸-MP-MQ=（x0,-1）•（-%„,-y0-1）=-Xg-yl+1=---XQ+2.

•.•闻？血，的取值范围是（一8，T].

【名师点睛】本题考查双曲线标准方程和渐近线的求解，以及数量积的范围，解题的关键是

理清题意，得出双曲线C上一点P到尸的最短距离即为c一。，再利用双曲线x的范围求解.

22

10.己知双曲线C:=-4=l（a>0/>0）过点A（-4,6）,且。=4.

a"b-

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点8（-1,0）的直线/交双曲C于点直线M4,24分别交直线为=-1于点

\PB\

P、Q.试判断匕3是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

I8QI

【试题来源】福建省厘门大学附属科技中学2021届高三12月月考

10

【答案】(1)--一匕=1；(2)\PB\

412\BQ\

【分析】(1)将点4—4,6),5=百。代入乌一乌=1，求出“2,进一步得出。2,即求.

ab

(2)设直线MN所在的直线方程，与双曲线方程联立，设出",N的坐标，写出K4,N4所

在的直线方程，求出P,Q的纵坐标，结合根与系数的关系可得=,从让他可得

_I_物__—力___—.I

\BQ\~yQ~•

22

【解析】(1)将点A(—4,6),〃=百。代入「―4=1,

ab1

1A36Y2v2

可得手一者=1,解得〃2=4,则〃=3储=12，...双曲线的方程为上一匕二1.

CT3。2412

(2)由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=Z(x+l),

y=k（x+l）

联立<元2y2,可得（3~~公）炉—2人公—]2=0,

-=1

412

由A=4/+4（3—42）仅2+12）>（）,解得一2<%<2,

设则-77,xix2=~；—7T~1

D—KJ-K

11

又点A（T,6）,.•.40的方程为'-6=号三（x+4）,

得“5(6%+3y+66%+3攵(芭+1)+6(3攵+6)(%+1)

令1=—1,

%+4%+4%+4百+4

(3女+6)(々+1)

同理可得y。

%2+4

(3左+6)(%+1)(3女+6)仇+1)

・.•丹+北

%+4马+4

(3攵+6)[(M+1)(工2+4)+(/+1)(%+4)]

(%+4)(“2+4)

•.•(%+l)(x,+4)+(%2+l)(x,+4)=2x,x2+5(%(+马)+8

-2k2-2410k2„一242—24+10/+24-8公

-------+r+8=----------=0,

3-k23-k23-k2

pB

.»+%=0八,即.|谒i=l闻l，.•\•雨\=0yp=1!，.••\P西B\为定值1.

【名师点睛】本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键

是利用根与系数关系得出|y/=|%|,考查了运算求解能力.

22

11.双曲线C:0-当=1（“>0力>0）的左顶点为A,右焦点为尸，动点5在C上.当

a~b

BELA尸时，14F|=|BE

（1）求C的离心率；

（2）若8在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）2；（2）见解析.

2

【分析】（1）根据已知条件可得b幺=a+c,据此可求离心率.

a

⑵设35,%)'则tan〃FA=-p'tan/BA八会’再计算.24”,

利用点在双曲线上化简后可得tan2NB4F=tan/BE4,从而可得结论成立.

12

【解析】(1)设双曲线的半焦距为C，则£(C,O),Bc,±—,

\a7

因为|A/71=|6尸],故2_=a+c,故c2—ac—2。2=0,即e?—e—2=0,

a

故e=2.

(2)设3(5,%),其中%＞见%＞。.

因为e=2,故c=2。，b—\[3a，

7

故渐近线方程为y=±,所以NBA/ef0,—'j,Z.BFAGf(),—,

当天＞6f,x0w2a时,

又tan/8FA=—一=——tanZBAF=^~

x()—cxQ-2a+a

2yo

2%(/+。)

所以2ZBAF=——-------L

/"I以tan/\2=/.八'\2—(2\

1Iy।(%+。)f-b2与-

i-----0-(x0+t?)-1

1方+”\a)

2%(&)+。)=2yo(%+。)=2%

(x0+a)2―3a2‘¥_；(%+。)2-3((%+。)-3(/-a)

\a7

=----^―=tanZBFA,因为2NBA/7e10,,故ZB曰=2NBAF.

/-2aI3J

TT7T

当斤=2a,由(1)可得ZBE4=—,NE48=一，故NBE4=2ZR4尸.

24

综上，ZBFA=2ZBAF.

【名师点睛】（I）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到a/,c•组等量关系（齐次式）.

（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合

点在曲线上满足的方程化简目标代数式.

v-2

12.（1）已知双曲线三一》2=1的左、右顶点分别为4、A,点p（x，X）,点。（西,-必）

3

13

是双曲线三一y2=1上不同的两个动点，求直线AP与直线4。的交点的轨迹E的方程;

3一

（2）设直线4：y={x+2交轨迹E于。、。两点，且直线4与直线4：y=&x交于点尸，

若明=-；,试证明尸为CO的中点•

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

r2

【答案】（I）E:—+/=1：（2）证明见解析.

【分析】（1）先由双曲线方程，得到4、4坐标，得出直线AP与直线&Q的方程，两式

联立，结合题中条件，化简整理，即可得出所求轨迹方程；（2）设C（X2，%），。（七，%），

联立直线/1：y=《x+2与椭圆E的方程，根据根与系数关系，结合中点坐标公式，得出CO

中点坐标，再由直线4与直线4联立，根据4/2=-；，求出点尸坐标，得出F与8中点

重合，即可证明结论成立.

【解析】（1）由已知得4卜百，°），4（百,0）,玉H±JL

则"：y=—%（x+百）①，4Q：y=二"卜一®②

①X②得y2=-^-炉—3）,又—y；1_五，所以

3年-33

因此V=—

⑵设c（和必），。（毛,为），

2

X21

____p=]

由J3）消去丁可得，整理得（3父+1）/+12匕X+9=（）,

y-Z/+2

12k,/、6K

则%+七=一于七，设CO的中点G5,%）,则工。=一定七

D/C1I1D/C1I1

…龙。+2=品’

14

2

x=-----

y=k^xk、-k、’22k?、

由V.■得《2「则尸

y-%x+2、/一Kk?-k、）

1,12-6k}2k2_2

因为快=一3,所以——则与===寺y

Fk,—k3k；+1

即F与G重合，所以尸为CO的中点.

【名师点睛】证明本题第二问的关键在于求出CD中点以及点尸的坐标：求解时，联立直

线与椭圆方程，结合根与系数关系以及中点坐标公式得出CD中点；联立两直线方程，结

合题中条件，求出产坐标即可.

22

13.已知双曲线。：0-j=1（。＞0,方＞0）的左顶点为A，右焦点为尸，离心率e=2,

焦距为4.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设”是双曲线。上任意一点，且AZ在第一象限，直线M4与ME的倾斜角分别为火，

%,求2%+。2的值.

【试题来源】2021新高考普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（一）

【答案】（1）Y—匕=1：（2）兀.

3

【分析】（1）由离心率以及双曲线的焦距列出关于a，c的方程解出即可得结果；（2）由双曲

线的性质得出AF的坐标，当天=2时易得结果，当网,。2时，结合斜率计算公式可得

tan2%和tan%，进而可得结果.

2c=4

ra=\

【解析】（1）由C，得＜C，所以。2=/-4=3,

—=2c=2

la

所以双曲线。的方程为/―£=].

3

（2）由（1）知双曲线C的方程为炉―21=1,

3

15

所以左顶点A（—1,0）,右焦点尸（2,0）.

设”（%，%）（%>0,%>。），则片-年=1.

TT-JT

当％=2时，%=3,此时«I=->«2=-.所以2al+%=兀；

当天72,L=tan%=告ra.=tan%=J^.因为火=3（片—1）,

2%

c凡+12($+1)%2(%+1)%_-%

所以tan2%=「------

(x+1)--j)(/+1)--3(x；-1)xo-2

1-*0(

+U

又由点M在第一象限，易知名€（0,制，a2e（O,n）,

所以2al+4=兀.综上，2%+02的值为兀.

2

【名师点睛】利用点在双曲线上，满足考-年=1,利用整体代换思想求Tjan2al和tan%

相反是解题的关键.

14.已知双曲线C：=_与=13,/»0）的左、右焦点分别为Q（-c,0）,F2（C,0）,其中

a~b~

c>0,M（c,3）在C上，且C的离心率为2.

（1）求C的标准方程；

22

（2）若O为坐标原点，的角平分线/与曲线。：[+4=1的交点为尸，Q,

cb~

试判断。尸与。。是否垂直，并说明理由.

【试题来源】广东省湛江市2021届高三一模

【答案】（1）炉_1=1：（2）0P与。。不垂直，答案见解析.

【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出a/,c,进而得出双曲线方程；

（2）利用角平分线定理求出N点坐标，联立直线MN与曲线。的方程，由根与系数的关

系，结合平面向量的数量积得出结论.

16

2»2Q

【解析】（1）由题意得b，即4-瓦=1,解得匕=百，又。2=储+〃，可得

—=2

、a

a=l,c=2,故双曲线C的标准方程为£=］；

3

F、N4用

（2）设角平分线与x轴交于点N，根据角平分线性质可得~NF\~~MF\

耳时=5,gM=3,黑=g,;.N（g,O）,MN:y=21x_g）=2x_]

y=2x-l

设尸（X，y）,Q（W，%），联立方程，x2y1，可得19/一161—8=0

43

16

%十%二历

Q，乂必=（2%一1）（29-1）=4%为-2（%+9）+1

:.OPOQ-xx+yy=5XX-2（玉+x）+1=5x-2x—+1^0

}2}2}2219

即。尸与O。不垂直.

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查宜线与椭圆的位置关系，考查平面向量的数

量积，解决本题的关键点是利用角平分线定理求出/F1MF2的角平分线与X轴交点N，利

用直线与曲线方程联立写出根与系数的关系，借助于平面向量的数量积得出结论，考查学生

逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.

15.已知△OFQ的面积为2#,OFFQ=m.

17

(1)设指6%指，求/。尸。正切值的取值范围;

(2)设以。为中心，尸为焦点的双曲线经过点。(如图)，\OF\=c,m=也-1)W,

4

当|丽|取得最小值时，求此双曲线的方程.

【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练

22

【答案】(l)[1,4]；(2)-二=1

L」412

3。斗忻Q|sinO_0=2#

【分析】(1)设〈面，而〉=e,由已知可得<2______，化简得

|(?F|-|FQ|COS6-m

tane=®_=gY5,根据加的范围即可求1k(2)设。则由做的面积可

cos，m

得y=±生但，山赤•①=乎一1o?可得看=迈入表示出|而|利用基本不等式

c\)4

可求出。的坐标，再代入双曲线方程即可求出.

【解析】(1)由已知，△。尸。的面积为2后，0FFQ=m,设〈砺，所〉=6,

］；|。斗间|sin-6)=2#sind4娓

得y.tan0=-----==一，

\OF\.\FQ\cos0=mcos。m

vV6</n<476..-.I<tan6><4，故/。尸。正切值的取值范围为［1,4］：

2

(2)设所求的双曲线方程为与1(a>0,ft>0),

一瓦

Q(xi,y\),则尸Q=(不一c，x)，

18

因为△OF0的面积口。外闻=25/6,X=土蛔,