对数学归纳法教学的几点认识-精品作文

1、对数学归纳法教学的几点认识数学归纳法是证明数学命题的一种方法，是中学数学的重要内容， 又是会考、高考的热点问题，同时也是学生学习的难点。数学归纳法呈现固定的程式，学生一般只会简单的模仿，而在具体问题的应用中往往感到力不从心。究其原因，一是没有领会数学归纳法的实质。二是对与自然数有关的一些命题的具体内容理解不清， 缺乏对策。许多学生只是借助于像多米诺骨牌这样的事例作类比来认识这种方法的可靠性，但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性。不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法的两个步骤去证明数学结论，从而导致证明过程中出现表述上的种种错误。目前， 数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游

2、戏让学生对数学归纳法有一个直观的认识。多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好模型我们用第一块骨牌表示a1 ，它若倒下，相应地，表示al是正确的；第二块骨牌表示 a2,它若倒下，相应地，表示a2是正确的；，用第k块骨牌表示ak,它若倒下，表示ak 是正确的只要能保证所有多米诺骨牌都倒下， 相应地，就能 保证通项公式对一切正整数都成立那么， 所有多米诺骨牌都倒下的条件是什么呢？通过观察可以发现，只要满足以下两个条件，所有骨牌就都能倒下：第一块骨牌倒下；相邻的两块，前一块倒下一定导致后一块倒下.“为什么满足这些条件多米诺骨牌会全部倒下呢？”一定要让学生来解释其中的道理，并解释每一个条件的作用分别是什么，

3、这是教学过程中的一个不可或缺的重要环节通过这个解释学生才能够领会数学归纳法的实质，掌握使用这个方法的要领，理解这个方法需要指出的是，弄清所有骨牌都倒下的条件是必要的，但更需要明确的是，我们要做什么事？一一 “保证”，保证这些条件都已经满足数学归纳法本质上是一种演绎法，是在推理过程、叙述形式上被约缩了的演绎法。实际上， 在数学归纳法中隐含着一连串的三段论，其第一个三段论如下：大前提： 如果命题P(n) 对 n=k 成立， 那么命题P(n) 对 n=k+1也成立；小前提：命题P(n) 对 n=1 成立；结论：命题P(n)对n=2成立。于是，有第二个三段论式：大前提： 如果命题P(n) 对 n=k

4、成立， 那么命题P(n) 对 n=k+1也成立；小前提：命题P(n) 对 n=2 成立；结论：命题P(n)对n=3成立。于是，又有第三个三段论，从中得到命题P(n)对n=4成立。这样，每一个三段论都得到命题链中的一个命题的证明，直至无穷，从而得到所要证明的数学命题的证明。在我们设计数学归纳法的教学时，我们应该解决以下四个问题，并围绕这四个问题展开：1、为什么要使用数学归纳法？2、什么是数学归纳法？3、 什么时候使用数学归纳法？4、 怎样正确使用数学归纳法？具体教学可以通过几个片段来实现：第一阶段，主要解决为什么要使用数学归纳法的问题。问题 1： 2 个正方形是否可以剖开成有限块，再拼成一个正方

5、形？请同学们尝试。 设计意图 通过具体的问题引入课题，将一个看似简单的问题与数学归纳法关联起来，激发学生的学习兴趣，学生可能会想出很多种分割的方法。问题2： 3 个正方形能否剖开成有限块，再拼成一个正方形？请你回答能与不能，并说出你的理由。 设计意图 对于两个正方形，学生通过操作也许可以了解能否将 2 个正方形剖开再拼成一个正方形，但对于 3 个正方形这样的做法可能不行了。设计这个问题的目的是在于引导学生的归纳思维，即能否将3 个正方形转化为2 个正方形来考虑。问题3：如果我们对3 个正方形也能做到这一点，那么对于4个、5个、6个，n个正方形是否都能做到这一点呢？ 设计意图 引导学生发现，4

6、个可能转化为3 个， 5 个可以转化为 4 个， k+1 个可能转化为k 个，因此只要k 个正方形能做到， 那么 k+1 个正方形必能做到。初步奠定学生归纳法的基本概念。第二阶段，主要解决什么是数学归纳法。问题4：例如：对于数列an,已知a1=1, （n=1,2, 3,），求其通项公式an。 设计意图 这个是一个过渡性问题，为学习什么是数学归纳提供一个范例。让学生通过 a2=2, a3=3, a4=4,，猜想an=n,这个例子在教材“合情推理与演绎推理”中出现过， 通过这个例子，要说明如果ak= k,那么我们一定能够知道 ak+1=,并说明与正整数n 有关的命题，当 n 比较小时可以逐个验证，

7、但当要证明 n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，需要寻找一种新的方法。类似于问题1，通过命题的转化，经过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。问题5：要使（1）（2）两种活动进行下去，需要满足怎样的条件？ 设计意图 多米诺骨牌游戏是很好的数学归纳法的现实影子， 可以帮助归纳出数学归纳法的两个步骤。由于数学归纳法的学术形态与教学形态不同，我们不能对学生讲命题 A与命题B是等价的， 也不能讲两个命题是等价的证明。数学归纳法的教学形 态应该是让学生理解归纳奠基与归纳递推两个步骤是保证命题对所有自然数（nn0）的充分条件。在这个过程中归纳递推 P（k）P(k+1) 是核心，有了

8、归纳递推的保证，就有一系的演绎推理：P(1) P(2) P(3) P(4)P(5)P(n) P(n+1) 。第三阶段，主要解决什么时候使用数学归纳法。问题6： 你能用数学归纳法证明问题3和问题 4的正确性吗？问题7：从下列等式中，你能归纳出一般的规律并用数学归纳法证明吗？ 设计意图 通过具体问题的证明，让学生进一步感知数学归纳法的思想和证明步骤。至于第 4 个问题“怎样正确使用数学归纳法”可以在第阶段内解决以突出主要矛盾。数学归纳法的教学首先是一科程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对学生未来思考的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、 整除性问题和几何问题等。数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传