平面向量基本定理

1、2021/3/111 2021/3/112 1.三角形法则：三角形法则： 2.平行四边形法则：平行四边形法则： C B A A B C D 一一. 向量的加法：向量的加法： 首尾相接首尾相接共同起点共同起点 ab ab a a b b b a b 二二. 向量的减法：向量的减法： B AD ab a 共同起点共同起点 指向被减数指向被减数 温故知新温故知新 2021/3/113 1. 当当 时：时：0 2. 当当 时：时： 0 3. 当当 时：时：0 与与 方向相同。方向相同。b a 方向：方向： 长度：长度： ba 与与 方向相反。方向相反。b a 00ba 二、向量共线定理二、向量共线定理

2、: : 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线, ,则则有且只有一个实有且只有一个实 数数 ，使得：，使得： b a ba 温故知新温故知新 2021/3/114 复习复习 3.同起点的三个向量终点共线的充要条件：同起点的三个向量终点共线的充要条件： o A PB ROBOAOP 1 2021/3/115 请大家现在用请大家现在用平行四边形法则平行四边形法则作出作出 a b baba 2 1 ,2 创设情境、提出问题创设情境、提出问题 a b ba 2 1 b 2 1 A B C D D1 2021/3/116 想一想：想一想： ？来表示呢来表示呢 量都可以用量都可以用是否平面内任意一个向是

3、否平面内任意一个向 后，后，确定一对不共线向量确定一对不共线向量 2211 21 ee ee 2021/3/117 . 0 21 21 即可使结论成立即可使结论成立为为或或 共线时，可令共线时，可令或或与与当当 eea 讨论：讨论： a 1 e 2 e a 1 e 2 e 2021/3/118 O ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时， 的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a a 1 e 2 e a 1 e 2 e A O C B C A B 讨论：讨论： 2021/3/119 2 e O ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时， 的的位位置置如如下下图图两两种种情

4、情改改变变 a a 1 e 2 e a 1 e 2 e A O C B B C A B 讨论：讨论： 2021/3/1110 2 e O ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时， 的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a a 1 e 2 e a 1 e 2 e A O C B BN M C A B 讨论：讨论： 2021/3/1111 2 e O ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时， 的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a a 1 e 2 e a 1 e 2 e A O C B BN M C A B A 1 e 讨论：讨论： 2021/3/1112 2 e

5、 O ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时， 的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a a 1 e 2 e a 1 e 2 e A O C B BN M C A B A 1 e N 讨论：讨论： M 2021/3/1113 ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B C 讨论：讨论： 2021/3/1114 ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B A C 1 e 讨论：讨论： 2021/3/1115 2

6、 e ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 ea A O B B A C 1 e 2 e 讨论：讨论： 2021/3/1116 ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B B A C N M 1 e 2 e 讨论：讨论： 2021/3/1117 B ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B A C N M 1 e 2 e a A O B C 1 e 2 e 讨

7、论：讨论： 2021/3/1118 ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B B A C N M 1 e 2 e a A O B C C a 1 e 2 e 讨论：讨论： 2021/3/1119 ？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边 的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a 1 e 2 e a A O B B A C N M 1 e 2 e a A O B C N M C a 1 e 2 e 讨论：讨论： 2021/3/1120 1 e 2 e O C A B M N OCOMON 如图

8、111 OMOAe 1122 OCee 1122 +aee 即 222 ONOBe a 数形结合数形结合 探究规律探究规律 思考：平面内的任一向量思考：平面内的任一向量 是否都可以用不共线的向是否都可以用不共线的向 量量 表示出来呢？说出你做的步骤。表示出来呢？说出你做的步骤。 a 21 ee 与 演示 2021/3/1121 平面向量基本定理 如果 、 是同 一平面内的两个不共不共 线线的向量，那么对于这一平面内的任何向 量 ，有且只有有且只有一对实数 ， ，使 1 e 2 e a 1 2 2211 eea 数形结合数形结合 探究规律探究规律 12 e e 这里不共线的向量 、叫做表示这一平

9、面内 所有向量的一组基底. 2021/3/1122 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A NB a M O C N MM O C N a E 2021/3/1123 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 2 1 （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 2021/3/1124 2、基底 、 必须满足什么条件？ 1 e 2 e 1、基底 、 是否唯一？ 1 e 2 e 3、定理中 、 的值是否唯一？能为0吗？ 1 2 揭示内

10、涵、理解真理揭示内涵、理解真理 演示 我们得到：我们得到：(1)(1)基底不唯一；基底不唯一； (2)(2)基底必须不共线；基底必须不共线； (3)(3)如果基底选定，则如果基底选定，则 ， 唯一确定唯一确定, ,可以为零可以为零. . 1 2 时时, , 12 00a 时时, , ， 与与 共线共线. . 12 0,0 11 ae a 1 e 时时, , ， 与与 共线共线. . 12 0,0 22 ae a 2 e 特别的：特别的： 2211 eea 2021/3/1125 应用举例：应用举例： . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图

11、，：例例1 1 e 2 e 2021/3/1126 . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1127 . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1128 . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1129 . 32

12、 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： 1 2e ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1130 . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： 1 2e ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1131 . 32 , 21 21 eea aee 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： 1 2e ：例例1 应用举例：应用举例： 2021/3/1132 . 32 , 21 21 eea ae

13、e 使使 ，求作向量求作向量、已知向量已知向量如图，如图， 1 e 2 e 解：解： 2 3e 1 2e a ：例例1 用平行四边形法则呢？用平行四边形法则呢？ 应用举例：应用举例： 2021/3/1133 练习练习 1.如图，已知向量如图，已知向量 、 求作下列向量：求作下列向量： 1 e 2 e 12 (1) 32 ;ee 2 e 1 e 2 2e 12 (2) 4;ee 12 1 (3)2. 2 ee 1 3e O B A 12 32 ;ee 1 3e O C A B 2021/3/1134 1.如图，已知向量 、 求作下列向量： 1 e 2 e 12 (1) 32 ;ee 2 e 1

14、e 2 e 12 (2) 4;ee 12 1 (3)2. 2 ee 1 4e O B A 12 4ee O C A B 练习练习 2021/3/1135 1.如图，已知向量 、 求作下列向量： 1 e 2 e 12 (1) 32 ;ee 2 e 1 e 2 1 2 e 12 (2) 4;ee 12 1 (3)2. 2 ee 1 2e O B A 12 1 2; 2 ee 1 2e O C A B 练习练习 2021/3/1136 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 例1：在 中， ， 。ABa ADb ABCD 如果 、 分别是 、 的中点， 试用 、 分别表示 和 。 EFBC D

15、C a b BF DE A D B C E F (1) (2)若M为AB的中点，N在BD上， 3BN=BD,求证：M,N,C三点共线 说明说明: :我们在做有关向量的题型时我们在做有关向量的题型时, ,要先找清楚未知向量和已要先找清楚未知向量和已 知向量间的关系知向量间的关系, ,认真分析未知与已知之间的相关联系认真分析未知与已知之间的相关联系, ,从而从而 使问题简化使问题简化. . M N 2021/3/1137 1、如图，已知梯形ABCD， AB/CD，且AB= 2DC,M、N分别 是DC、AB的中点. 请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其

16、它向 量用这组基底表示出来. A A N N M M C CD D B B 学以致用学以致用 2021/3/1138 1 1、如图，已知梯形、如图，已知梯形ABCDABCD， AB/CDAB/CD，且，且AB= 2DC,MAB= 2DC,M、N N分分 别是别是DCDC、ABAB的中点的中点. . A A N N M M C CD D B B 参考答案：参考答案： 2 e 1 e 12 ,ABe ADe 解：取解：取 为基底为基底, ,则有则有 1 1 ; 2 DCe BCBAADDC 121 1 2 eee 12 1 2 ee MNMDDAAN 121 11 42 eee 12 1 4 ee

17、 学以致用学以致用 2021/3/1139 学以致用学以致用 2 2、下列说法中，正确的有：、下列说法中，正确的有： （ ） 1 1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平 面所有向量的基底；面所有向量的基底； 2 2）若）若 3 3）零向量不可以为基底中的向量）零向量不可以为基底中的向量. . 2 2、3 3 0,(0 21212211 则不共线）与eeee 2021/3/1140 学以致用学以致用 的值。三点共线，求若 ，是不共线的向量，已知 DBA jiCDjiCBjiABji , 2,23,. 3 2021/3/1141 2021/3

18、/1142 )( 2 1 .)( 2 1 . )( 2 1 .)( 2 1 . ,., ,.3 dcbaEFDbadcEFC dcbaEFBdcbaEFA CDABFEdODcOCbOBaOA OBCADABCD 的中点，则（）分别为设 一点，为梯形所在平面内任意中，在梯形 )( 2 1 )()( 2 1 )( 2 1 badc bcadBCADEF 解析：如图， 2021/3/1143 . 1 | | | )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ,)( 2 1 ,)( 2 1 ,)( 2 1 , , OEOFOD OCOBOA OEOFODOCOBOA OEOFODOCOBOA OCOBOCOAOB