小学六年级上册数学奥数知识点讲解第13课《棋盘中的数学4》试题附答案

1、笫十三讲 棋盘中的数学（四）棋盘格的计数问题与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题.我们只能就一些简单的例题 进行解说，并随之介绍解题的思想方法.例1如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒己经过河，它可以向前移 一步到B,也可以横行一步到A,要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位 置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？甲方0LZJLLLJ01厂1厂1厂1河界LLJL-JLJ厂厂1001厂/1厂/乙方例2围棋盘上横竖各有19条线（如下图），衽棋盘上组成许多大小不同的 正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正 方形面积是这个围棋盘的扌）？例3从8X8的方格棋盘

2、（下图）中取岀一个由三个小方格组成的“L”形 （可旋转），问有多少种不同的取法？例4如下图在5X5棋盘格中，共有多少个正方形?例5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点 （共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三 角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？答案第十三讲棋盘中的数学（四）一一棋盘格的计数问题与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题.我们只能就一些简单的例题 进行解说，并随之介绍解题的思想方法.例t如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已过河，它可以向前移 一步到也可以横行一步到人要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的

3、位 置（假定前进路上没任何阻难）t问有多夕种不同的走法？甲方L2-11LLnr1r1河易!LLL1LJr1厂11厂1厂乙方解为了解这个问题，可以从简单的情形幵始，逐步进行.上右图中，小 卒沿最短路线走到扎B. C.氏E.玖（k H的走法都只有一种，走到K,则有 两种：先走到A再走到K,或者先走到B,再走到K.走到I.则有1 + 2 = 3种：先 走到C奔到H有一初 先建穷加再到M有2种因为走到K有2科走法）.把走祛的 种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个） 的和.走到帅的位置有兀种不走法-甲方说明；利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线 数，这

4、是一种很直观有用的计数方法.例2围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的 正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正 方形面积是这个围棋盘的扌）?解法1:我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与 大正方形的第10条竖线重合.将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可 岀现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右 边线重合.这样前后共得到10个小正方形.同样，将左上角小正方形再每次向 下移动一格，也可得到10个小正方形.所以共有10X10 = 100个小正方形.解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线A

5、C移动，第1次 移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，也可视为是下移一格和 右移一格的合成.再加上初始位置的小正方形，这时就有1 + 3个小正方形.继 续将小正方形沿对角线移动，共移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下 角.这时共包含小正方形（1 + 3 + 5- + 19）个，莪;们可按小高斯计算1 + 2 + 3+ 100的方法求岀1 + 3 + 5 + 19 = Q弓竺巴=10J 个.解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的代表点 E,然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方，通过观 察，不难发现： 点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD （

6、包括边界）的格子点上. 反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点 E,也只能作为一个小正方形的点E.BC这样一来，就将小正方形的个数”化为正方形ABCD中的格子点个数” 了，很容易看岀正方形ABCD中的格子点为10X10 = 100个.说明：以上三种解法都有一定代表性.其中解法3既巧妙又迅速，它利用 T 一一对应就一样多”的配对原理.酉己对原理在计数中是非常重要的.例3从8X8的方格棋盘（下图）中取岀一个由三个小方格组成的形 （可旋转），问有多少种不同的取法？分析 如杲从2X2的方格中取形，则有4种不同的取法，因此，我们 只要知道从8X8的方格棋盘上总共可以取出多少个

7、“田”字形就可以了，又由 于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的交叉点（但不包括边界上的 点），反过来每一个这样的交叉点都有一个臥它为中心的“田”字形，于是问 题就转化为求横线与竖线一共有多少个不在边界上的交叉点.W：设s是从棋盘上所能取岀的所有田”字形组成的集合，s是棋盘内 所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集合.由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边 界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个 田”字形，因此集合S与S，的元素能一一配对.由配对原理，这两个集合的 元素一样多.币棋盘内横线与竖线的交叉点有:（9-2）X（

8、9一2）=49 （个）所以棋盘上可以取岀田”字形的个数为49个.又由于从一个田”字形 中可以取岀4个“L ”形，并且，从不同的田”字形中取出的L ”形是不同 的,所以可知,从棋盘上共可以取岀49X4 = 196个形，即题中形的 不同取法共196种.例4如下图在5X5棋盘格中,共有多少个正方形?解：在5X5的棋盘格中包含1X1的正方形共25个;包含2X2的正方形共16个；包含3X3的正方形共9个；包含4X4的正方形共4个；包含5X5的正方形共1个；总计包含各种正方形共有：25+16 + 9 + 4+1 = 55 个.说明：本题解法是先将正方形分成五类：1X1, 2X2, 3X3, 4X4, 5X

9、 5,对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的.例5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点 （共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三 角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？分析 解决这个问题，主要是运用两个结论： 同底等高的两个三角形的面积相等. 平行的两条直线间的距离处处相等.解：设原正方形的边长是3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积 是：2 2 3 = 3.2所求的三角形可分两种情形：三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时，长为2的边只能在原正方 形的边上.这样的三角形有：2X4X4 = 32 （个）三角形

10、的一边长为3,这边上的高是2.这时，长为3的边是原正方形的 一边或平行于一边的分割线（其中，与重复貳三角形不再算入）这样的三 角形有：8X2=16 （个）答：所求的三角形共48个（包括上页图中给岀的三角形）说明：解本题，容易岀现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3,高是2 的三角形，这样就少算了 16个；二是多”：在计算底是3,高是2的三角形 时，没有考虑其中有16个在情形中己经计算过了，于是会得出错误结果64 个.棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题.其一要注意会把对象分类.其 二 在每类数数时要做到不重，不漏.这样才能得到正确的结果.习题十三1. 下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋

11、盘线交叉点上，但不 能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？2. 下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅”处，试 问这小卒有多少种不同的走法？3. 下图表示某城市的街道图，若从屣到B （只能由北往南，由西向 东），问共有多少种不同的走法？4. 下图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A开始的每个路口，都有一半人向另一半人向东走，如果最后有60个孩 子到过路口B,问；先后共有多少孩子到过路口C?5. 如下图，在5X5的棋盘上放了二十枚棋子，问*以这些棋子为顶点的 正方形共有多少个？六年级奥数上册：第十三讲棋盘中的数学（四）习题解答习题十三解答k对于黑子每一种确定的位置，白子都有6个不同的放法，而黑子总共有 12个不同位置，所以共有12X6 = 72#不同的放法.2.采用例1的标数法，得这小卒有15种不同的走法.3-釆埔例1的标数法，得出从A到B共有7谢不同的走法.4. 设血人数是1