三角函数模型的简单应用1

1、三角函数可以作为描述现实生活中的 周期现象的数学模型. 感受引入: 如:海水的潮汐现象;物理学中的:物体 的简谐运动、圆周运动、单摆运动、 波的传播、交流电等都是由周期运动 产生的现象和问题，它们往往会与三 角函数产生联系。因此，三角函数在 实际问题中有着广泛的应用。 三角函数的应用 实际应用问题 审 题 （设） 分析、联想、抽象、转化 构建数学模型 数学化 （列） 寻找解题思路 （解） 解答数学问题 还原 （答） 解答应用题的基本流程 知识回顾: 例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线 近似满足函数sin().yAxb （1）求这一时段的最大温差； T/度 t/h o 61014

2、10 20 30 解:(1)观察图象可知， 这段时间的最大温差是20C。 应用举例: 解:(2)从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(x+)+b的半个周 期的图象，所以 1 (30 10)20, 2 b 1 2 14 6 82 因为点(6，10)是五点法作图中的第四点，故 33 6, 248 解解得得 所求函数解析式为 3 10sin() 206,14 84 yxx ， 1 (30 10)10, 2 A T/度 t/h o 61014 10 20 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线 近似满足函数 sin().yAxb 小

3、结： maxminmaxmin 1 1 A =f x-f xA =f x-f x 2 2 mma ax xmmi in n 1 1 b b= =f f x x+ +f f x x 2 2 利利用用求求得得 2 2 T T = =， 利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图图象象上上 该该点点的的坐坐标标满满足足函函数数解解析析式式可可求求得得 , , 一般的，所求出的函数模型只能近似刻 画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当 特别注意自变量的变化范围. 也可以利用函数的零值点来求 例2.如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的 方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm,周期为3s,

4、 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. 求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函 数关系； O O wx x = =3 3s si in n t t+ + 0 0, ,0 0 2 2 解:()设x和t之间的函数关系为： 2 2 则则 由由 T T = = = 3 3, , x 2 22 2 所所以以，所所求求函函数数关关系系为为 = =3 3s si in nt t+ += =3 3c co os st t 3 32 23 3 2 2 可可得得= = 3 3 当当t = 0t = 0时时，有有x = 3sinx = 3sin= 3,= 3,则则sinsin=1=1 又又0

5、 022 ，故故可可得得= = 2 2 求该物体在t=5s时的位置. 例2 如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取 向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为 3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最 远处时开始计时. 解:(2) 由(1)知:tx 3 2 cos3 1 10 0 令令t t= =5 5, ,得得x x= =3 3c co os s= =- -1 1. .5 5, , 3 3 故故该该物物体体在在t t = = 5 5s s时时的的位位置置是是在在O O点点的的左左侧侧且且距距 O O点点1 1. .5 5c cm m处处。 案例探究: 例3.海水受日月的引力,在一

6、定的时候发生涨落的现象 叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在 涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 思考:观察表格中的数据,每天水深的变化具有 什么规律性？ 呈周期性变化规律. 水深与时间的关系: 时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m 0:005.09:002.518:005.0 3:

7、007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 解:(1)以时间为横坐标，水深为纵坐以时间为横坐标，水深为纵坐 标，在直角坐标系中画出散点图，根标，在直角坐标系中画出散点图，根 据图象，可以考虑用函数据图象，可以考虑用函数来刻画水深来刻画水深 与时间之间的对应关系与时间之间的对应关系. .从数据和图从数据和图 象可以得出：象可以得出： sin()yAxh 时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:

8、005.0 A=2.5, h=5, T=12, =0; 由 ,得 2 2 T T = = = 1 12 2 = =. . 6 6 所以，这个港口的水深与时间的关 系可以近似描述为： y y = = 2 2. .5 5s si in nx x + + 5 5 6 6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 3.7542.8352.5002.8353.7545.000水深 23：0022：0021：0020：0019：0018：00时刻 6.2507.1657.5007.1656.2505.000水深 17：0016：0015：0014：0013：0012：00时刻 3.7542.8352.5

9、002.8353.7545.000水深 11：0010：009：008：007：006：00时刻 6.2507.1657.5007.1656.2505.000水深 5：004：003：002：001：000：00时刻 (2)货船需要的安全水深为货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(4+1.5=5.5(米米) )所以当所以当y5.5y5.5时就时就 可以进港可以进港. .令令x s s i i n n= = 0 0 . . 2 2 6 6 x 2 2. .5 5s si in n+ +5 5 = = 5 5. .5 5 6 6 化简得: 由计算器计算可得由计算器计算可得 xx 0 0. .2

10、20 01 14 4, , 或或 - -0 0. .2 20 01 14 4 6 66 6 0.3848,5.6152 AB xx解得 0,24x因为 ， 所以由函数周期性易得 12 0.3848 12.3848,12 5.6152 17.6152. CD xx 因此,货船可以在凌晨零时30分左右进港,早晨5时30分左右出港; 或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港,每次可以 在港口停留5小时左右。 o ox x A B CD y y 2 4 6 8 51015 (3)(3)设在时刻设在时刻x x船舶的安全水深为船舶的安全水深为y y, ,那么那么y=5.5-0.3(x-2)y

11、=5.5-0.3(x-2) (x2),(x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以 看到在看到在6 6时到时到7 7时时之间两个函数图象有一个交点之间两个函数图象有一个交点. . 通过计算可得在通过计算可得在6 6时的水深约时的水深约 为为5 5米米, ,此时船舶的安全水深约此时船舶的安全水深约 为为4.34.3米米;6.5;6.5时的水深约为时的水深约为4.24.2 米米, ,此时船舶的安全水深约为此时船舶的安全水深约为 4.14.1米；米；7 7时的水深约为时的水深约为3.83.8米米, , 而船舶的安全水深约为而船舶的安全水深约为4 4米米,

12、 ,因因 此为了安全，此为了安全，船舶最好在船舶最好在6.56.5时时 之前停止卸货，将船舶驶向较之前停止卸货，将船舶驶向较 深的水域。深的水域。 26 x x 8 10 12 y y 4 y=-0.3x+6.1 o o 2 4 6 8 P . 5 6 sin5 . 2 x y 例4 . 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m， 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水 中浮现时(图中点P0)开始计算时间. 将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数; O P P0 点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度 不超过 22 3

13、m. 例4. 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面 2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水 中浮现时(图中点P0)开始计算时间. 将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数； xO y P P0 -2 4 解:(1)设角 是以Ox为始边,OP0为终边的角)0 , 2 ( 易知:OP在t(s)内所转过的角为 tt 15 2 60 24 故角 是以Ox为始边,OP为终边的角， t 15 2 故P点的纵坐标为 ) 15 2 sin(4 t 则 2) 15 2 sin(4 th 当t=0时,h=0. 2 1 sin . 6 ) 0 , 2 ( 2) 615 2 sin(4

14、 th 点P第一次到达最高点大约要多长时间？ xO y P P0 -2 4 解: 解得:t=5 故P点第一次到达最高点大约需要5s. 例4. 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面 2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中 浮现时(图中点P0)开始计算时间. 2 4sin26 156 ht 2 4sin4 156 t 2 sin1 156 t 即 2 , 1562 t 令 2 4sin()222 3 156 t 23 sin() 1562 t 22 31563 t 1525 44 t （3）令 22 3 在水轮转动的一圈内，有2.5s的时间点P距水面 的高度不少于 例4. 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面 2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中 浮现时(图中点P0)开始计算时间. 在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度 不少于 22 3m. 解: xO y P P0 -2 4 1.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的 距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的 图象，如图. （1