数学分析91PPT学习教案

1、会计学1 数学分析数学分析91 1 定积分的概念 在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊和式的极限: 这类特殊极限问题导出了定积分的概念. 0 1 lim(), T n ii i fx 中央财经大学中央财经大学- -数学分析（数学分析（W.HW.H） 第1页/共21页 ( ,)| , , 0( ) .Ax yxa byf x 三个典型问题 ( ) , , ,yf xxa b 1. 设 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中 y x O xfy ( )S A ab 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第2页/共21页 2. 已知质点运动的速度为求从时刻 ( ) , , .v t

2、ta b 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 ,)(x , ,bax 求线状物体的质量 m . 显然显然, ,( )( )();f xcS Ac ba当当为为常常值值函函数数时时， 0( );sv ba为为匀匀速速运运动动时时, , 0 ( )v tv当当 当当质质量量为为 ,x 均均匀匀分分布布时时， 即即为为常常数数时时).(abm 这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变” 的情况下， a 到时刻 b,质点运动的路程 s. 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第3页/共21页 可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 中心

3、思想： 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，如何 来解决这些问题呢？ 合理地归为一类特殊和式的极限. 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第4页/共21页 代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 一分为二 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面 积. y x O xfy ( )S A ab 1 x 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第5页/共21页 一分为四 y x O xfy ab 1 x 2 x 3 x ( )S A 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第6页

4、/共21页 一分为八 y x O xfy ab 8 1 x 1 x 3 x ( )S A 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第7页/共21页 一分为 n 可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形 的面积的面积. . y x O xfy ab 1 x i x 1i x 1n x i ( )S A 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第8页/共21页 过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形 , 21n AAA a 1 x 2 x 1 n x b 即在上找到 个分点 121 , n xxx , a

5、 b1n 121 , n axxxb 如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第9页/共21页 0 , n xa xb为为方方便便起起见见，记记， 010 , ,. nn TxxxT用用或或 = =来来记记这这个个分分割割 11 , ,1, 2, iiiiii xxxxxin ， 11 ,( ) iiiii xxxxf x 在在上上把把近近似似看看作作常常数数 ()() , iiiii fASfx. .此此时时的的面面积积约约为为所所以以 11 ( )(). nn iii ii S ASfx 2. 近似近似: : i A把把小小曲曲边边梯梯形形近

6、近似似看看作作矩矩形形, ,即即任任取取 1 (). n ii i fx 上上述述和和式式称称为为积积分分和和或或黎黎曼曼和和 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第10页/共21页 3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 1 () n ii i fx 问题是： (1) 如如何何刻刻画画分分割割越越来来 越细？ 1 (2)()? n ii i fxS 如如何何刻刻画画越越来来越越逼逼近近于于 就会越来越小. S与与的的差差距距 下面依次讨论这两个问题下面依次讨论这两个问题. . 1 () n ii i fx 与曲边梯形的面积 矩形，因此黎

7、曼和 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第11页/共21页 001 (1):, n T axxxb对对于于一一般般的的不不能能 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些 n 用用 max1,2,. i Txin 1 (2)(), n ii i fxS 要要刻刻画画能能无无限限逼逼近近需需对对任任意意 1 , ii xx区区间间要要保保证证每每个个区区间间 的长度不趋于 0 . 1 ,0, ii xxT的的长长度度趋趋于于需需引引细细度度入入分分的的: :割割( (模模) ) 0T则则当当时时, , 就能保证分割越来越细. 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第12页/共21页

8、1 max , , iiii Txxx时时 对对任任意意 都都有有 1 (). n ii i fxS 总结以上分析，下面给出定积分定义. 对于另外两个实际问题对于另外两个实际问题, ,也可类似地归结为黎曼和也可类似地归结为黎曼和 0, 给定的能够找到 0, 使使得得当当 的极限的极限. . 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第13页/共21页 定义1 ,R.fa bJ设设是是定定义义在在上上的的函函数数， 001 :, n T axxxb 00,若若，对对任任意意分分割割 ,fa b则则称称在在上上可可积积，并称并称 J 为为 f 在在 a, ,b上的上的 1, ,1,2, , ii

9、i xxin 及任意及任意 0 1 ( )dlim(). n b aT i Jf xxfx ii 定积分,记作 max i Tx 当当时时, ,必必有有 1 (), n ii i fxJ 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第14页/共21页 ,a b分分变变量量, ,分分别别为为积积分分下下限限和和上上限限. . f其其中中称称为为被被积积函函数数, ,x 为为积积 ,a b 为为积积分分区区间间, , ,( )f x由由定定义义 曲曲边边为为的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为 ( )d . b a Sf xx ( )v t通通过过类类似似分分析析, ,速速度度质质点点运运动动的的

10、路路程程为为 ( )d ; b a sv tt ( )x 密密度度为为线线状状物物体体的的质质量量为为 ( )d . b a mxx 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第15页/共21页 0 1 lim() n ii T i Jfx 表表达达式式 注1 nT不不仅仅与与和和有有 列极限，也不是函数极限. 注2 , a b并并非非每每个个函函数数在在上上都都可可积积. .在在近近似似过过程程 中中, ,我们把小曲边梯形近似看作矩形时我们把小曲边梯形近似看作矩形时, ,显然要求显然要求 12 , n 关关, ,还还与与有有关关, , 因此定积分既不是数 关于定积分定义，应注意以下几点：

11、f (x)在每个小区间 xi1, xi 上变化不大, 这相当于 要求 f (x) 有某种程度上的连续性. 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第16页/共21页 a, b 上的一致连续性, 可证 f (x)在a, b上可积. 下面举例来加深理解用定义求定积分的方法. 1 22 0 1 0 dlim n ii T i Sxxx 2 ( )0 1f xx在在， 上上连连续续，故故 解 1 2 0 d .xx求求 例1 存在. 为方便起见,令 以后将知道 f (x) 在a, b 上连续时, 利用 f (x) 在 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第17页/共21页 , 2 , 1, 1 121 0: n n n nn Tn 1 1 max 0, ni i n Txn n , 2 , 1, 11 ni n i n i n i i 取取 则 此时黎曼和的极限化为 nn i S n i n 11 2 1 数列数列 的极限. 中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析 第18页/共21页 nn i S n i n 11 lim 1 2 n i n i n 1 2 3 1 1 lim . 3 1 6 121 lim 3 n nnn n