拉氏变换基本性质PPT学习教案

1、会计学1 拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质 拉氏变换的基本性质（2） 尺度变换)(atf a s F a 1 )(lim)0()(lim 0 sSFftf st 终值 定理 )(lim)()(lim 0 sSFftf st 卷积 定理 )(*)( 21 tftf)().( 21 sFsF 初值定理 )().( 21 tftf )(*)( 2 1 21 sFsF j 第1页/共44页 4.时域平移 2.对t微分 3.对t积分 7.初值 8.终值 (一).时域平移特性和应用 1.时移性 设 )()(sFtf 则otsFettuttf o st o o )()()( 0 P189.表4.2 拉氏变换

2、的性质 重点讨论 0 t )(tf )( 0 ttf 0 t 第2页/共44页 0 )()(: )()(: 0 tj ejFttf jFtf 则则 若若 这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的. 傅立叶变换的时移性质 第3页/共44页 2.四个不同的函数 )()(.)()(. )()(.)()(. 000 0 ttuttfdttutfc tuttfbtutfa )()(sin)()( )(sin)()( )()(sin)()( )()(sin)()( sin)( 00000 000 000 0 0 ttuttttuttf tttuttutf tutttuttf tuttutf

3、 ttf 设 第4页/共44页 )()(sin 00 tutt )()(sin 000 ttutt 0 t t 0 )(sin 0 tut t 0 )(sin 00 ttut 0 t t 0 0 t t 0 ttfsin)(设 第5页/共44页 2 T t0sint )(. 1tf 为其它值时t0 ) 2 ()(sin)(: T tututtf解 3.时移特性的应用p250.4-2 (1) ) 2 T -tu(tsin-tu(t)sin 第6页/共44页 )1 ( ) 2 () 2 (sin)(sin)( ) 2 () 2 (sin()(sin)( sin) 2 (sin 2 sincosco

4、ssin)sin( 2 22 s T e s T tu T tttuLtfL T tu T tttutf t T tT B 和 利用 第7页/共44页 *台阶函数 )() 4 3 ( 4 ) 2 ( 4 ) 4 ( 4 )( 4 )(TtEu T tu ET tu ET tu E tu E tf s E tu E 4 )( 4 41 4 )( 4 3 24 sT sTsTsT eeee s E tf *单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为 则函数f(t)的拉氏变换为 )( 1 sF 0 1 )( )( 1 sT e sF sF E T 第8页/共44页

5、 例：周期信号的拉氏变换 )()( 11 sFtf LT )()( 11 sFenTtf snT LT ST n SnT LT n e sF esFnTtf 1 )( )()( 1 0 1 0 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷递减等比 级数求和 q-1 a s 1 第9页/共44页 求全波整流周期信号的拉氏变换例1： )(tf 1 2 T 0 T 2 T 1 )( 0 tf 0 t t) 2 ()(sin T tutut T 22 )1( 2 S e T LT T 2 2 22 1 1)1( 2 T S e S e T 信号加窗 第一周期 第10页/共44页 )21( 1 2ss e

6、e s )(tf 单对称方波 周期对称方 波 乘衰减指数 s2 2s e1 1 )e1( s 1 包络函数 t e 12 ) 2() 1(2)(tututu )1( )1( )1( 1 )1( )1( S S e e s .求图示信号的拉氏变换求图示信号的拉氏变换 s s e e s 1 11 第11页/共44页 抽样信号的拉氏变换 0 )()( n T nTtt ST n SnT T e es 1 1 )( 0 )()()(ttftf Ts 0 )()( n SnT s enTfsF 抽样序列 抽样序列的拉氏变换 时域抽样信号 抽样信号的拉氏变换 第12页/共44页 *抽样信号的拉氏变换 0

7、0 0 0 0 )()()()( )()()( 1 1 )()( )()( nn Ts ST n St T n T nTtnTfnTtnTf ttftf e dtentttL nTtt 第13页/共44页 0 0 0 )( )()()( n nsT n St S enTf dtenTtnTftfL 抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数 第14页/共44页 1 0 )(1 121 0 )0()( )0()0()0()( )0()(),()(. 1 n r rrnn nnnn n n e fssFs ffsfssFs dt fd sRfssF dt df sFtf 和和 则则若若 证明: 时域微分积

8、分特性时域微分积分特性二二).( 第15页/共44页 式）和见 可以推广到高阶 是指数阶函数 令 31429-p183,4( )0()( )( 0)(lim )( )()()( )( 0 )()( )()(: )( )( )( lim 0 00 fssF dt tdf L tfetf ssFoftfe dtsetftfetfL vduuvudv sedutfvtdfdveu tdfedte dt tdf tfL st t st t stst stst stst 第16页/共44页 *几点说明 a.如果所处理里的函数为有始函数 即00) (ttf)0(),0(),0( )1(n fff则 都为零

9、.那么)( )( )(sFs dt tfd LssF dt df L n n n 但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激. 相相等等。不不一一定定和和但但 虽虽然然 )()()( )()()(: tf dt d Ltutf dt d L tutfLtfL ?)0(有关有关与与为什么微分得变换式里为什么微分得变换式里 f 第17页/共44页 )( 2 tf 0.1t 0. te at )( 1 tf )( 2 tf )( a 1)()( 1 11 ssF asdt df Ltuaet dt df at )()(2 2 tuaet dt df at )0()(12 2 2 fssF as s

10、as a dt df L ) t (ue) t (f at 1 设：设： 第18页/共44页 这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏 变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和 积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样 理解，可能会得出错误的结果,如 .结结果果就就错错了了 若若误误认认为为0) t (f1) t (f 0t 2 0t 2 c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 系统.而且采用 系统, 对解决实际问题较为方便. 0 0 第19页/共44页 2.时域积分特性 若 则 )()(sFtf s df s sF df s sF df tt 0 0 )( )(

11、)( )( )(: 且且拉拉 t jF j dfjFtf)( 1 )(),()(: 则则付付 0)(,2)0( )()(2)(3 dff tudftf dt df t t 求: 第20页/共44页 ss df s sF sFfssF t 1 )( )( 2)(3)0()( 3)( 2 3 1 1 23 12 )( 2 2 tt eetf ssss s sF 解: 初始条件自动包含在变换式中，一步求出系统的全响应。 第21页/共44页 三.初值和终值定理 1.初值定理 若f(t) 及其导数 可以进行拉氏变换 且 )()(sFtf dt df 则)(lim)0()(lim 0 ssFftf st

12、证明:利用时域微分特性 )0()( 0 fssFdte dt df dt df L st 先假定f(t)在原点连续,则 在原点处不 dt df 第22页/共44页 包含冲激.于是 0 0)0()(lim0limfssFdte dt df s st s 即 )(lim)0()0()0(ssFfff s 再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成 0)()0()0( 1 ttff dt df dt df 其中 在t=0连续,于是 )(1tf 第23页/共44页 )0()0(0)()0()0(lim lim )( lim 0 00 1 ffdtetff dte dt df dte dt td

13、f st s st s st s 即 )(lim)0( )0()0()0()(lim ssFf fffssF s s *几点说明 a.要注意初值f(t) 为t= 时刻的值,而不是 f(t)在t= 时刻的值,无论拉氏变换F(s)是 0 0 第24页/共44页 采用 系统还是采用 系统,所求得的初值 总是 0 0 )0 ( f b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值 等于真分式 逆变换 . )0 ( f )(0tf )(0sF c.物理解释: )(js相当于接入信 号的突变高频分量.所

14、以可以给出相应的初值 )0( f d.由上式也说明,根据象函数F(s)判断原函数 是否否包含冲激函数及其各阶导数存在 第25页/共44页 2.终值定理 若f(t)及其导数可以进行拉氏变换且 存在,则)(limtf t )(lim)(lim 0 ssFtf st 证明见p188 终值定理表明信号在时域中 值,可以 通过复频域中的F(s)乘以s取 的极 限得到而不必求F(s)的反变换 )(f 0s *两点说明: a. 存在等价于限制F(s)的极点 在s左半平面内和原点仅有单阶极点 )(limtf t 第26页/共44页 b.物理解释：00js相当于直流状态 因而得到电路稳定的终值 .54 .251

15、值和终值值和终值分别求下列逆变换的初分别求下列逆变换的初p )2() 1( )3( . 2 )5)(2( )6( . 1 2 ss s ss s 0 )5)(2( )6( lim)(lim 1 )5)(2( )6( lim)0(. 1: 0 ss s stf ss s sf st s 解解 第27页/共44页 3 )1( )( )(: s sN tfL已已知知 (1)如果N(s)=3 利用初值定理求f(t)的展开式 3 3 2 210 )(tatataatf 中前两项中 非零项. 0 )2() 1( )3( lim)(lim 0 )2() 1( 3 lim)0(. 2 2 0 2 ss s s

16、tf ss s sf st s 第28页/共44页 0 ) 1( 3 lim)0( ) 1( 3 )(: 3 0 3 s Saf s tfL S 由题义可知解 3 2 3 2 3 s 1 33 ) 1( 3 )0( ) 1( 3 )( 0 ) 1( 3 lim)0( ) 1( 3 )0( ) 1( 3 )(f s s f s s tfL s s saf s s f s s tL 第29页/共44页 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 )1( )133(3 3 )1( 3 )0( )1( 3 )( 2 3 3 )1( 3 2)0( lim S SS S S f S S dt tfd

17、L a S S Saf S 第30页/共44页 32 3 3 2 3 )3( 2 3 2 3 )( 2 3 9 )1( )133(3 6)0( lim tttf a s ss saf s 3 )1( 3 )0( )1( 3 )( 3 3 3 3 )3( s s f s s tfL 第31页/共44页 :点评 是否为真分式。需要判断象函数利用初值定理时)(,. 1sF ).0( , );0(, f f 的初值即为 然后利用初值定理求出则首先将其化为真分式假分式 若为初值可直接利用初值定理求为真分式式时 的所有极只有当先判断终值是否存在利用终值定理前)(,. 2sF ).( , f定理求终值存在。

18、才可以利用终值 其终值才点只有一阶极点时点均在左半平面或在原 1 1 lim)( 1 )()( 0 s sf s tuLsF s 如 求终值。等却不能应用终值定理但te at sin, 第32页/共44页 *卷积定理 dzzsFzF j tftfL sFsFdtffL sFtfsFtf j j t )()( 2 1 )()( )()()()( )()(),()( 2121 212 0 1 2211 则 若 为一复频域中的围线积分。 第33页/共44页 求图示三角 波f(t)的拉氏变换. 解:方法一:按定义式积分 2 2 1 2 1 0 )1 ( 1 )2()()( 0 sststst e s

19、dtetdttedtetfsF 方法二:利用线性迭加和时移定理 2 2 0 2 )1 ( 1 )( )()( 1 )( )2()2()1()1(2)()( 0 s s e s sF t esFtfL s ttuL tuttutttutf t 1 1 2 )(tf 第34页/共44页 方法三:利用微分积分定理将f(t)微分二次 2 2 2 )1 ()2() 1(2)( )( s etttL dt tfd L 根据微分定理: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 )1 ( 1 )( )1 ()( 0)0(0)0( )0()0()( )( s s e s sF esFs ff sffsFs dt tfd L 第35页/共44页 方法四:利用卷积定理f1(t)可以看作是f1(t)自身的卷积. 2 2 1 111 11 )1 ( 1 )( )1 ( 1 )( )()()( )(*)()( s s e s sF e s sF sFsFsF tftftf )( 1 tf )( 1 tf 第36页/共44页 *利用所示矩形脉冲的 Laplace 变换式和本章所述拉氏变换的性质,求图示函数的拉氏变换. 1 f 2 2 2 2 2 24 (a) (b)( c) (d)(e) (f) 2 f 4 f 3 f 5 f6 f 第37页/共44页 ： )(1 2 )(21)()( )2()()()()(