无穷小的比较67360PPT学习教案

1、会计学1 无穷小的比较无穷小的比较67360 ；记作记作 高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 )( ,0lim)1( o 定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设 ;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C ; ;, 1lim 记作记作 是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地， 低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)( 第1页/共20页 . , 0, 0lim)4( 无穷小无穷小 阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkC k ，0 3 lim 2 0 x x x

2、 ，1 sin lim 0 x x x ;30 2 高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当xxx ).0()3( 2 xxox即即 是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0 ).0(sinxxx即即 例如例如 ， 第2页/共20页 例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解 3 0 sintan lim x xx x ) cos1sin cos 1 (lim 2 0 x x x x x x , 2 1 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2 000 cos1 lim sin lim cos 1 lim x x x

3、x x xxx 第3页/共20页 的主要部分的主要部分是是称称为为 必要条件必要条件是等价无穷小的的充分是等价无穷小的的充分与与定理定理 ).( 1 o 证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即，即)()( oo 充分性充分性设设)( o )( limlim o ）（ )( lim o ，1 第4页/共20页 意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式 例如例如, ),(sinxoxx ).( 2 1 cos1 22 xoxx ,0时时当当 x xycos1 2 2 1 yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x )0(1)1(,

4、2 1 cos1, 1 )1ln(arctanarcsintansin 2 aaxxxxex xxxxxx ax . 2 1 cos1,sin 2 xxxx 第5页/共20页 例例 解解 )1ln( lim 1 lim 00 u u x e u x x . 1 lim 0 x e x x 求求 ,1ue x 令令),1ln(ux 即即 , 0,0ux有有时时则当则当 u u u 1 0 )1ln( 1 lim u u u 1 0 )1ln(lim 1 eln 1 . 1 . 1),1ln(0 x exxxx时，时，即，当即，当 第6页/共20页 定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定

5、理) ) .limlim,lim, 则则存在存在且且设设 证证 lim)lim( limlimlim.lim 第7页/共20页 例例. cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解解.22tan, 2 1 cos1,0 2 xxxxx 时时当当 2 2 0 2 1 )2( lim x x x 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限 第8页/共20页 不能滥用等价无穷小代换不能

6、滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. . 注意注意 例例. arcsin sin)1( lim 0 x xx x 求求 解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当 x xx x )1( lim 0 原式原式. 1 )1(lim 0 x x 第9页/共20页 例例. 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求求 解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 3 0 )2( lim x xx x 原式原式. 0 解解 ,0时时当当 x )cos

7、1(tansintanxxxx , 2 1 3 x ,22sinxx 3 3 0 )2( 2 1 lim x x x 原式原式. 16 1 错错 第10页/共20页 例例6 6. 3sin 1cos5tan lim 0 x xx x 求求 解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).( 2 1 cos1 22 xoxx )(3 )( 2 1 )(5 lim 22 0 xox xoxxox x 原式原式 x xo x xo x x xo x)( 3 )( 2 1)( 5 lim 2 0 . 3 5 第11页/共20页 1、无穷小的比较、无穷小的比较 反映了同一过程中反映了同一过程

8、中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度 快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件. 高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶. 第12页/共20页 思考思考 题题 任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？ 第13页/共20页 思考题解答思考题解答 不能不能例当例当 时时 x , 1 )( x xf x x xg sin )( 都是无穷小量都是无穷小量 但但 )( )( lim xf xg x

9、 x x sinlim 不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 故当故当 时时x)(xf和和)(xg不能比较不能比较. 第14页/共20页 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 x x x 2sin 3tan lim 0 =_.=_. 2 2、 m n x x x )(sin arcsin lim 0 =_.=_. 3 3、 x x x )21ln( lim 0 =_.=_. 4 4、 xx xx x arctan 1sin1 lim 2 0 =_.=_. 5 5、 n n n x 2 sin2lim =_.=_. 6 6、 x ax n x 1)1( lim 1 0 =_.=_. 练练 习习

10、题题 第15页/共20页 7 7、当、当0 x时，时，)0( 3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . . 8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与 n mx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限： 1 1、 x xx x 3 0 sin sintan lim ； 2 2、 ee lim ； 3 3、 x xx x sinsin lim 0 ； 4 4、 ax ax ax tantan lim； 第16页/共20页 三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . . 四、设四、设 f(x)=f(x)= 1 )cos( 2 sin lim 2 12 n n n x bxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得 )1()(lim 1 fxf x ， )1()(lim 1 fxf x . . 第17页/共20页 一、一、1 1、2 3 ； 2 2、 nm nm nm , , 1 , 0 ；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、n a ； 7 7、3 3； 8 8、 2 1 , , 2.2. 二、