基于小波分析的声发射信号研究修改

1、第四章 基于小波分析的声发射信号研究在上一章中，我们通过分析不同状态下的声发射信号，发现时域均方值与刀具磨损相关，特征频段15kHz25kHz最能反映刀具磨损。由于声发射信号的时域分析和频域分析是建立在傅立叶变换的基础之上，而傅立叶变换使用的是一种全局的变换，无法表述信号的时频域性质，这种时频域性质是非平稳信号的关键特性。我们使利用的小波分析方法具有“变焦”的性质，这种方法在高频部分具有低的时间分辨率，相应的在低频部分有高的时间分辨率，利用小波分析的变焦办法在时域和频域都得到较高的精度。就弥补了信号分析中时域分析和频域分析的不足，其方法是：把原始的声发射信号进行N层的小波分解，然后提取第N层的

2、N+1个频率成分的信号特征，试图在这N+1个频率段中找到最能体现刀具磨损状态的特征量，以达到利用小波分析的目的。因此本章基于小波分析，进一步探索某个特征频域段上能表征刀具磨损状态的声音信号特征值。4.1小波变换的基本原理小波的概念是20世纪80年代由法国科学家在分析处理地球物理勘探资料是提出的，后经过许多技术专家和学者的不懈努力和探索，使得小波变换理论应用于现代问题的各个方面，且已经成为应用数学发展的一个新的方向。在传统的信号分析和处理中，最为重要的方法之一是傅立叶变换，它被视为时间域与频率域的桥梁，对于一般的信号来说，使用傅立叶变换足以可以达到分析信号的目的，通过傅立叶变换，可以得到信号中包

3、含的各种频率成分，但是不足的是经过傅立叶变换就失去了时间的信息，这就意味着给出的信息不能告诉我们在某一个时间段里发生了怎样的变化，有时这就是我们所需要清楚的，所以傅立叶变化不适合于对非平稳信号的处理和分析。于是，为了处理和分析非平稳信号，一些研究人员对傅立叶分析作了改进，在此基础上发展了一系列新的信号分析理论：这就包括快速傅立叶变换（FFT）、短时的傅立叶变换、在本文中用到的小波变换等等。短时傅立叶变换从本质上讲是一种单一分辨率的信号分析方法，所以在信号分析上来说还是存在着不可克服的缺陷。小波变换也是在传统的傅立叶变换不能满足现代信号处理的要求上而产生的，它在本质上讲是一种时间频率的分析方法，

4、具有多分辨率分析的特点，所以就克服了短时傅立叶变换的单一分辨率的缺陷，而且在时域内都具备表征信号特征的能力。小波分析的实质是一种窗口大小不变，但窗口形状可变的时域和频域的分析方法，即在低频部分采用宽的时间窗，从而得到较高的频率分辨率和较低的频率分辨率。相反在高频部分采用较窄的的时间窗，从而得到具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。由于这种分析的性质，使得小波变换在我们信号处理和分析方面获得广泛的应用，所以针对我们试验的到的声发射信号的特点，我们采用小波分析的方法来处理的声发射信号。4.1.1 小波变换小波是一个逐近衰减的波形，它在其有限区域内，满足其值存在(且不为零)，且其均值为零。从而设为

5、平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足容许性条件： （4-1） （4-2）则称式中为一个“基本小波”或“母小波”(Mother Wavelet)，其伸缩平移产生一小波基函数集合，即： （4-3）其中：为尺度因子；为平移因子。小波中伸缩因子或尺度因子的作用是使小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩” ；而小波中的平移因子就是简单地将波形沿时间轴平移。4.1.2 连续小波变换连续小波变换(Continuous Wavelet Transform，CWT) ，它是在短时傅立叶变换 ( SFT ) 的基础之上发展起的，由于它克服了短时傅立叶变换的信号分辨率问题。所以被视为一种较佳的信号处理方法。对于

6、任意函数的连续小波变换为： （4-4）连续小波变换 是与参数和有关的函数。小波变换的时频窗口形状为两个矩形： （4-5）小波变换的窗口中心为：，时间窗和频率窗分别为和。4.1.3 离散小波变换我们在处理采集到的声发射信号信号时，都是一些连续的信号，所以必须将连续的小波进行离散化。连续小波变换是一种冗余变换，为了减小冗余度和便于计算机实现，需要对尺度因子和平移因子加以离散化。1 尺度离散化37根据小波的定义式4-3所示，尺度因子的离散化通常采用幂级数的方式进行，即： ，其中为整数， ，为扩展步长 （4-8） 的取值反映了尺度因子的离散化程度，当 的取值越接近于1，则离散化程度就越低；相反，当 的

7、取值越大于1时，则表明离散化程度就越高，这就意味着从离散小波变换恢复分析信号也就越难，对母小波的要求也越高。所以，当需要对信号进行精细分析时，应选择较小，而相反当需要进行数据压缩时，则需要较大的。2 平移离散化48当=1时，平移因子的离散化间隔为，即=。当尺度 时，平移因子离散化处理为： ， （4-9）所以，根据上面两式可以得到任意函数的离散小波变换为： （4-10）离散小波变换重构公式可表示为： （4-11）其中，为一个与信号无关的常数。4.1.4 二进小波变换如果同时需要进行尺度和位移的离散化，则离散小波变换将要损失位移不变性，而为了保留变换中的位移不变性，则在离散小波变换与连续小波变换之

8、间做折中的处理，经过这种离散化处理后的连续小波变换即为二进小波变换37。二进小波变换只对尺度进行离散化，故令幂级数基底=2；对位移进行连续化，即：令= 0。其小波母函数的尺度伸缩平移为： （4-12） 任意函数的二进小波变换为： （4-13）二进小波变换重构公式可表示为： （4-14）其中：为 的对偶函数。二进小波变换对信号分析具有变焦距的作用。假设有一放大倍数为，若想进一步观察信号更小的细节，则需要减少值即增加放大倍数；反之，需要加大值即减小放大倍数。4.1.5多分辨率分析若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。在大尺度空间里，对应远镜头下

9、观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；而在小尺度下观察目标，就可以观察到目标的细节部分。这种由粗及精对事物的分析就称为多辨率分析。人们在不同尺度（频率区间）对信号进行观察。在大尺度下，观察信号全貌或对信号进行粗略逼近；在小尺度下，观察信号的局部成分。图41是原始信号三层多辨率分解结构示意图。图中的原始信号分解为和，其中表示信号的低频成分，表示信号的高频部分。这是进行第一层分解，接下来进行第二层分解，即对低频部分 进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。以此类推，当进行到三层分解时，分解的原始信号具有如下关系式：。当然还可以进行继续分解，方法如同前面几层分解。图4-1三层多分辨率小波分解结构图F

10、ig.4-1 Three-layers multi-resolution wavelet decomposition configuration从图4-1可以看出，多分辨率分析只对低频空间（低频率段）进行进一步分解，如果对信号进行更多次数的分解，可以使得频率分辨率越来越高。信号的多分辨率分析的目的在于构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，而这些分辨率不同的正交小波基也就相当于带宽不同的带通滤波器。在上多辨率分解所定义的尺度空间 ，必须满足一下性质：1 单调性：即满足： （4-15）2 伸缩性：即满足： （4-16）3 固定尺度下的平移不变性：即满足： （4-17）4 逼近性：即满足： ，

11、（4-18）5 正交基存在：存在，构成空间的一组正交基，满足： ， （4-19）其中：为尺度函数，通常情况下，一个多分辨率分析则对应一个尺度函数。而一般的时域信号的多变率分析就是将时域信号所对应的频域信号看作一个封闭包，而这个封闭的包则可以分解成不同的频域段。 信号的多分辨率分析定义如下：若将信号按照如下的空间进行分解： （4-20）其中：式中为选定的任意尺度。将分解成为和的投影，既可以得到如下表达式： （4-21）4.1.6 小波重构的Mallat算法上面讲到的多分辨分析为深刻理解小波分析的原理和小波的构造方法提供了一套最基本的理论框架，而在实际应用中经常用到的基于多分辨分析的Mallat算

12、法则为应用小波提供了一种更为快捷和方便的方法。下面就将简述基于Mallat算法的小波分解和重构。多分辨率信号分解和重构的快速算法（也叫正交小波变换的快速算法），一般称为Mallat算法。公式如下：分解式： （4-22） （4-23）重建后，得到： （4-24）在声发射信号分析中，以基于时间因子与尺度因子的二进分解快速算法将AE信号进行分解，并以此获得信号分解后的特征。将获得的特征作为构成下一步模式识别输入的特征向量。4.2小波基选取方法研究随着小波理论及各种数值算法的迅速发展，研究人员在一些基础小波的基础上，构造满足不同需求的小波。由小波的定义可知，凡是满足容许条件的函数都可以构成小波基，所以

13、小波变换的小波基部唯一，小波基不同，时域特性也就不同，因此，对同一个信号使用不同的小波基，其进行小波变换后的信号特征也就不同。所以，对于一个信号的分析，正确的选择小波基显得相当的重要，下面介绍几种常用的小波及其性质。4.2.1常用小波基的性质 由于小波分析的应用范围的不断扩展，科学家们已经构造出许多种具有不同性质的小波基，而这些小波基已经基本能够满足现有有工程应用的需求。不同的小波基具有不同的紧支性、正交性、对称性和消失矩等等。表4-1为常用的小波基及其主要性质：表4-1常用小波基的主要性质Table 4-1 Main characters of common used wavelet小波基紧

14、支性正交性对称性连续小波变换离散小波变换消失矩Morlet有有Mexican hat有有Meyer有有有Haar有有有有有1Daubechies(N)有有近似有有NSymlets(N)有有近似有有NCoiflets(N)有有近似有有2N面对多种小波基，针对我们的声发射信号将如何来正确选择所需要的小波基呢？本文将综合分析常用小波基的主要性质以及基于刀具的声发射信号的特点，对基于声发射信号小波分析中的小波基的选取作以下简要介绍。4.2.2小波基的选取方法我们知道，通过实验采集到AE信号经过一定的处理是离散的数据点集，所以选择采用离散的小波变换，其中由4-1表可知前两种小波基只能进行连续的小波变换，

15、所以，接下来，在根据小波基的以下几个性质进行分析：（1） 紧支性：紧支性是指小波基在一个有界区域外恒威零，它具有良好的时域局部特性。由4-1表可知：后四种小波基具有紧支性。（2）正交性：小波的正交性是指：当小波基序列满足以下公式：。采用Mallat快速算法要求小波基具有正交性，由表4-1可知，后四种小波基都具备正交性。（3） 对称性：对称性的作用是使信号在进行小波变换的分解和重构过程中不出现畸变。根据表4-1所示：前四种小波基具有对称性。（4）消失矩：消失矩作用在于将信号能量集中在少数几个小波系数里，主要检测信号的奇异性和对信号与噪音进行分离。由图表4-1可知，后四种小波基具有消失矩。只是具有

16、相异的阶数。4.2.3基于声发射信号分析的小波基选取刀具在切削加工过程中，其所产生的AE信号中将混有干扰噪声。在对其进行小波变换后如何从干扰噪声中提取出声发射信号也就是一个需要解决的关键问题。由小波基的性质可知，具有一定阶次消失矩的小波基能有效地突出信号的各种奇异特性,消失矩越高,频域的局部化能力就越强。因此选择具有一定阶次消失矩的小波基,能突出AE信号的特征。再通过综合以上对小波基性质的分析，所以，在几种常用的小波基中，Daubechies、Symlets和Coiflets小波是适合于声发射信号分析的小波基。4.3基于多分辨率小波分解的AE信号特征提取 由图4-1所示可得，在对AE信号进行多

17、级分辨率的小波分解的基础上，可以得到AE信号在各级频段和近似空间的信号表示，我们可以设定原始采样的声发射信号的最高频率为 ，则在对其进行一级小波分解后，可以在近似空间得到在0，频率段上的信号表征，在细节空间可以得到在，频率段的信号表征。按照相似的方法可以再一次进行对低频段进行小波分解，即对原信号进行二级小波分解，同理，在低频的近似空间可以得到0, 频率段的信号表征，相应的在高频段的细节空间，可以得到声发射信号在频率段，的信号表征。按照此原理，经过级的小波分解，可以在低频段的近似空间频率段的信号0，表征，同理，在高频段的细节空间频率段，上的信号表征。每一次经过的小波分解，都可以得到低频信号和高频

18、信号的长度是原信号长度的一半，信号可以无限的分解，这样既不会使结果冗余，也不会丢失原信号中的任何信息，因为这些分解段的信号频率段全部相加即可得到原来的原始信号。按照以上的分解方法，在对AE经过级的小波分解后，可以得到声发射信号的个分解空间，并且可以得到相应的序列，我们可在LABVIEW 环境下得到各个频率段的波形图，可以通过LABVIEW的编程，得到各级频率段的能量，也可以得到整个采样段的总能量，最后计算小波分解的各个频率段占声发射信号总频率段的总能量的百分比，按照百分比的大小排序，可以按升序编排，这样就可以形成一个向量，此向量即为我们提取的特征向量。这特征向量的提取过程可以具体表述为：（1）

19、将由试验测量得的AE信号对其进行任意 层的多分辨率分解。并对其频率段进行有序的排列，具体排列规则是按照频率从低到高的方式。如，=1，2，3，；（2） 通过在LABVIEW环境下，编程得到各个频率段区间的能量，用，=1，2，3，表示，则的值可以表示为： （4-25）（3） 求各个频率段能量占声发射采样段的信号的总能量。 （4-26）（4）求各个小波分解序列能量占AE信号总能量的百分比。设 为第个所占的能量表分比，则有： （4-27）（5）按照频率段的值由低到高排列，就可得到特征向量 （4-28）4.2.1声发射信号的小波分解由试验取得声发射信号，设定试验的加工参数为：当主轴转速为800r/min，进给量为30mm/min，切削深度为1.0mm。试验系统见第二章所述，数据采集卡的采样频率设为1MHz