函数表示法要用

1、函数表示法要用 1.2 函数及其表示函数及其表示 1.2.2 1.2.2 函数的表示法函数的表示法 函数表示法要用 复习回顾复习回顾 l函数的表示法，常用的有三种：函数的表示法，常用的有三种： 解析法、列表法、图象法。解析法、列表法、图象法。 l解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表 示，这个等式叫做函数的解析式。示，这个等式叫做函数的解析式。 l解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。 例如：例如：y = 2 x 1 1 与与 u = 2 t -1 -1 表示同一个函数。表示同一个函数。 l函数

2、解析式一定是方程；函数解析式一定是方程； 方程不一定是函数解析式。方程不一定是函数解析式。 一次函数：一次函数：y=kx+b （k0） 二次函数：二次函数：y=ax2+bx+c （a0） 可看成关于可看成关于x、y的方程。的方程。 例如：例如：x2+y2=1 函数表示法要用 复习回顾复习回顾 (1)炮弹发射炮弹发射（解析法）（解析法） h=130t- -5t2 （0t26） (2)南极臭氧层空洞南极臭氧层空洞（图象法）（图象法） (3)恩格尔系数恩格尔系数 (列表法列表法) 时间19911992199319941995199619971998199920002001 恩格尔系 数(%) 53.

3、852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量、解析法：用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系之间的对应关系.解析式解析式 优点：函数关系清楚优点：函数关系清楚, ,容易从自变量的值求出其容易从自变量的值求出其 对应的函数值对应的函数值. .便于用解析式来研究函数的性质便于用解析式来研究函数的性质. . ( )53f xx 2 6st 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点优点：能

4、直观地表示出函数的变化情况能直观地表示出函数的变化情况。 注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。 函数表示法要用 图象法：图象法： 思考：初中画函数图象主要用什么方法？思考：初中画函数图象主要用什么方法？ 利用此法画图的主要步骤如何？利用此法画图的主要步骤如何？ 初中画函数图象的主要方法是描点法。初中画函数图象的主要方法是描点法。 按描点法画函数图象的主要步骤有：按描点法画函数图象的主要步骤有： （1 1）确定自变量）确定自变量 x 的取值范围，对函数图象的取值范围，对函数图象 的整体性质有个把握；的整体性质有个把握； （2 2）列表：）列

5、表：选取一些典型的点，将选取一些典型的点，将x与与y的对应值用表列出的对应值用表列出； （3 3）描点：）描点：将表中点在直角坐标系中描出将表中点在直角坐标系中描出； （4 4）连线：）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点用平滑直线或曲线依次连接各点。 例如：例如： 一次函数图象：一条直线一次函数图象：一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线 找两个典型的点找两个典型的点通常找与坐标轴的交点。通常找与坐标轴的交点。 二次函数图象：抛物线二次函数图象：抛物线开口方向，对称轴，顶开口方向，对称轴，顶 点，与坐标轴交点。点，与坐标轴交点。 函数表示法要用 判断一个图形是否是函数图象：判断一个图形是否是

6、函数图象： n判断下列图象，哪些可以表示函数图象？判断下列图象，哪些可以表示函数图象？ x y Ox y OxOxO y y ABCD 平行于平行于y轴（也即垂直于轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图轴）的直线，与函数图 象至多有一个交点。象至多有一个交点。 -11 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 3. 列表法列表法: 列出表格来表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函 数的对应值数的对应值. 时间时间(年年)1991199219931994199519961997199

7、8199920002001 恩格尔恩格尔 系数系数(%) 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9 “八五八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情 况况 缺点缺点：经常不可能把所有的对应值列入经常不可能把所有的对应值列入 数表中，而只能达到实际上够用的程度。数表中，而只能达到实际上够用的程度。 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 解解:(1)用解析法可将函数用解析法可将函数y=f(x)表示为表示为 1,2,3,4,5 .x y=5x, (2)用列表法可将函数表示为用列表法可将函数表示为 笔记本数 x 1

8、 2 34 5 钱数 y 5 10 15 20 25 例例1、某种笔记本的单价是、某种笔记本的单价是5元元,买买x (x1,2,3,4,5 ) 个笔记本需要个笔记本需要 y 元元.试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x). 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 x y o 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 (3)用图象法可将函数表示为下图用图象法可将函数表示为下图 函数表示法要用 (1)用解析法表示函数是否一定要写出自变用解析法表示函数是否一定要写出自变 量的取值范围？量的取值范围？ (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？用描点法画函数图象的

9、一般步骤是什么？ 本题中的图象为什么不是一条直线？本题中的图象为什么不是一条直线？ 函数的定义域是函数存在的前提函数的定义域是函数存在的前提, ,在写函数在写函数 解析式的时候解析式的时候, ,一定要写出函数的定义域一定要写出函数的定义域. . 列表、描点、连线列表、描点、连线( (视其定义域决定是否视其定义域决定是否 连线连线) ). 函数的图象既可以是连续的曲线函数的图象既可以是连续的曲线,也可以也可以 是直线、折线、离散的点等是直线、折线、离散的点等. 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 例例2.下表是某校高一下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年班三名同学在高一学年 度六次数学

10、测试的成绩及班级平均分表度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 第一次第一次第二次第二次第三次第三次第三次第三次第五次第五次第六次第六次 王伟王伟98 8791928895 张城张城907688758680 赵磊赵磊686573727582 班级平均分班级平均分88.278.385.480.375.782.6 表格能否直观地分析出三位同学成绩高低表格能否直观地分析出三位同学成绩高低? ? 如何才能更好的比较三个人的成绩高低如何才能更好的比较三个人的成绩高低? ? 请你对这三位同学在高一学年度的数学学请你对这三位同学在高一学年度的数学学 习情况做一个分析。习情况做一个分析。 函数表示法要用 函数的

11、表示法函数的表示法 解：将解：将“成绩成绩”与与“测试时间测试时间”之间的关系用函数图象表之间的关系用函数图象表 示出来。可以看出：示出来。可以看出： 王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；王伟同学学习情况稳定且成绩优秀； 张城同学的成绩在班级平均水平上下波动张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大且波动幅度较大; 赵磊同学的成绩低于班级平均水平赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高但成绩在稳步提高. 1234560 60 70 80 90 100 . . . . . . x y 王伟王伟 张城张城 班平均分班平均分 赵磊赵磊 函数表示法要用 函数的表示法函数的表示法 练习练习

12、. 向高为向高为H的水瓶中注水的水瓶中注水,注满为止注满为止,如果注如果注 水量水量V与水深与水深h的函数关系的图象如图所示的函数关系的图象如图所示,那那 么水瓶的形状是么水瓶的形状是( ) B 函数表示法要用 分段函数分段函数 解解:由绝对值的意义由绝对值的意义,知知 例例3.画出函数画出函数 的图象的图象.|yx 图像如下图像如下 , ,0. x x y x x 0, x y ox y o 1 1 函数图像函数图像 变换专题变换专题 y=| x-1 | 函数表示法要用 比较例比较例3的做图方法与例的做图方法与例1、例、例2有何不同？有何不同？ 例例1、例、例2采用的是描点法采用的是描点法;

13、 例例3可借助于已知函数画图象可借助于已知函数画图象. 描点法一般适用于那些复杂的函数描点法一般适用于那些复杂的函数,而而 对于一些结构比较简单的函数对于一些结构比较简单的函数,则通常借助则通常借助 于一些基本函数的图象来变换于一些基本函数的图象来变换. 函数表示法要用 分段函数分段函数 例例4某市某市“招手即停招手即停”公共汽车的票价按下列规则制公共汽车的票价按下列规则制 定：定： (1) 5(1) 5公里以内公里以内( (含含5 5公里公里),),票价票价2 2元；元； (2) 5公里以上公里以上,每增加每增加5 5公里公里, ,票价增加票价增加1 1元元(不足不足5公公 里按里按5公里计

14、算公里计算) 如果某条线路的总里程为如果某条线路的总里程为20公里公里,请根据题意请根据题意,写出写出 票价票价y与里程与里程x之间的函数解析式之间的函数解析式,并画出函数的图象并画出函数的图象 解解:设票价为设票价为y元元,里程为里程为x公里公里,由题意可知由题意可知,自变量自变量 的取值范围是的取值范围是(0,20,由票价制定规则由票价制定规则,可得到以下函可得到以下函 数解析式：数解析式： 函数表示法要用 分段函数分段函数 解解:函数解析式为函数解析式为 y 5x1015 20 1 2 3 4 5 O 有些函数在它的定义域中，对于自变量的有些函数在它的定义域中，对于自变量的 不同取值范围

15、，对应关系不同，这种函数通常不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常 称为分段函数称为分段函数 2， 3， 4， 5, y 0 x5 5 x10 10 x15 15 0 0 ， 集合集合 A 中的元素中的元素 x 按照对应关系按照对应关系“计算面积计算面积”和集合和集合 B 中的元素对应中的元素对应. . 函数表示法要用 象与原象：象与原象： 定义定义：给定一个集合：给定一个集合 A 到集合到集合 B 的映射，且的映射，且 a A，b B，如果元素，如果元素 a 和元素和元素 b 对应，那么，我们就把元对应，那么，我们就把元 素素 b 叫做元素叫做元素 a 的象，元素的象，元素 a 叫做元素叫

16、做元素 b 的原象的原象. 1 2 3 1 2 3 4 5 6 AB 乘以乘以2 例如，右图就表示一个集例如，右图就表示一个集 合合 A A 到集合到集合 B B 的映射，对的映射，对 应法则是应法则是“乘以乘以2 2”，集合，集合 B B 中的中的 4 4 是集合是集合 A A 中的中的 2 2 的的 象，集合象，集合 A A 中的中的 2 2 是集合是集合 B B 中的中的 4 4 的原象的原象. . 函数表示法要用 概念的理解：概念的理解： 集合集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他集合。，可以是数集，也可以是点集或其他集合。 存在性和唯一性：集合存在性和唯一性：集合A中的元素一定有

17、象，且唯一。中的元素一定有象，且唯一。 集合集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。 封闭性：集合封闭性：集合A的任一元素的象必在的任一元素的象必在B中，中， 但不要求但不要求B中的每一个元素都有原象。中的每一个元素都有原象。 即即A中元素的象集是中元素的象集是B的子集。的子集。 定义：设定义：设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对，对 于集合于集合 A 中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和中都有唯一的元素和 它对应，那么这样的对应（包括集合它对应，那么这样的对应（包括

18、集合 A，B 以及以及 A 到到 B 的对应的对应 法则法则 f ）叫做集合）叫做集合 A 到集合到集合 B 的映射，记作的映射，记作 f : A B . 函数表示法要用 概念的理解：概念的理解： 有序性：映射是有方向的。有序性：映射是有方向的。 “A到到B的映射的映射”与与“B到到A的映射的映射”一般不是同一个一般不是同一个 映射。映射。 映射三要素：集合映射三要素：集合A，B，以及对应法则，以及对应法则 f 一对一、多对一的对应是映射，一对多的对应不是一对一、多对一的对应是映射，一对多的对应不是 映射。映射。 定义：设定义：设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则是两个集合，如果按照某

19、种对应法则 f ，对，对 于集合于集合 A 中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和中都有唯一的元素和 它对应，那么这样的对应（包括集合它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及以及 A 到到 B 的对应的对应 法则法则 f ）叫做集合）叫做集合 A 到集合到集合 B 的映射，记作的映射，记作 f : A B . 思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射？思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射？ 思考：函数与映射之间的异同点？思考：函数与映射之间的异同点？映射是函数的推广，函数是特殊的映射。映射是函数的推广，函数是特殊的映射。 函数表示法要用

20、（1 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射 函数函数 建立在两个非空数集上的特殊对应建立在两个非空数集上的特殊对应 映射映射 建立在两个任意集合上的特殊对应建立在两个任意集合上的特殊对应 扩扩 展展 （2 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数 （3 3）映射与函数都是特殊的对应）映射与函数都是特殊的对应 1.可以是可以是“一对一一对一”2.可以是可以是“多对一多对一”3.不能 不能“一对多一对多” 4.A中不能有剩余元素中不能有剩余元素5.B中可以有剩余元素中可以有剩余元素 函数表示法要用 小结小结 映射与

21、函数的相同点和不同点映射与函数的相同点和不同点 （1 1）相同点：）相同点： 函数与映射都是两个集合中的元素的对应；函数与映射都是两个集合中的元素的对应； 函数与映射分别都有三个要素；函数与映射分别都有三个要素； 函数映射的对应都具有方向性；函数映射的对应都具有方向性； 函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的；函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的； 对应类型只有：一对一，或多对一对应类型只有：一对一，或多对一 （2 2）不同点：）不同点： 函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展；函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展； 函数中的两个集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素函数中的两个

22、集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素 是任意的。是任意的。 函数表示法要用 练习巩固：练习巩固： n映射的判断映射的判断:判断集合判断集合A到集合到集合B的对应是否是映射的对应是否是映射 看看A中的每一个元素在中的每一个元素在B中中 n求映射下的象与原象：求映射下的象与原象： 例：已知集合例：已知集合A=N，B=R，f：xy= ，xA，yB。 在在f 的作用下，的作用下， 的原象是多少？的原象是多少？8 的象是多少？的象是多少？ n可以构成映射的个数：可以构成映射的个数： 如果有限集合如果有限集合A中有中有m个元素，集合个元素，集合B中有中有n个元素，个元素， 则从则从A到到B可以构成可以

23、构成nm个映射。个映射。 是否有象是否有象 象是否唯一象是否唯一 21 21 x x 11 13 函数表示法要用 练习巩固练习巩固 b1 b2 b3 a1 a3 a2 a4 a1 a3 a2 a4 b1 b2 b3 b4 a1 a3 a2 a4 b1 b2 b3 b4 (1) (2)(3) 2 4 - -1 0 4 8 - -2 0 0 1 -1 2 -2 0 1 2 3 (4) (5) 是是 不是不是 不是不是 是是 是是 例例1.下面下面7个对应个对应,其中哪些是集合到的映射其中哪些是集合到的映射? 函数表示法要用 练习巩固：练习巩固： 1 1、给出下列关于从集合给出下列关于从集合A到集合

24、到集合B的映射的论述，其的映射的论述，其 中正确的有中正确的有_ （1）B 中任何一个元素在中任何一个元素在 A 中必有原象中必有原象; （2）A 中不同元素在中不同元素在 B 中的象也不同中的象也不同 ; （3）A 中任何一个元素在中任何一个元素在 B 中的象是唯一的中的象是唯一的; （4）A 中任何一个元素在中任何一个元素在 B 中可以有不同的象中可以有不同的象; （5）B 中某一元素在中某一元素在 A 中的原象可能不止一个中的原象可能不止一个; （6）集合）集合 A 与与 B 一定是数集；一定是数集； （7）记号）记号f ：AB与与f ：BA的含义是一样的的含义是一样的 (3)(5) 错

25、误错误 错误错误 正确正确 正确正确 错误错误 错误错误 错误错误 函数表示法要用 练习巩固：练习巩固： 2 2、下面哪一个说法正确？、下面哪一个说法正确？ （A A）对于任意两个集合）对于任意两个集合A与与B，都可以建立一个从，都可以建立一个从 集合集合A A到集合到集合B B的映射的映射 （B B）对于两个无限集合）对于两个无限集合A与与B，一定不能建立一个，一定不能建立一个 从集合从集合A到集合到集合B的映射的映射 （C C）如果集合）如果集合A中只有一个元素，中只有一个元素，B为任一非空集为任一非空集 合，那么从集合合，那么从集合A到集合到集合B只能建立一个映射只能建立一个映射 （D

26、D）如果集合）如果集合B只有一个元素，只有一个元素，A为任一非空集合，为任一非空集合， 则从集合则从集合A到集合到集合B只能建立一个映射只能建立一个映射 D 函数表示法要用 小小 结结 1 1、映射实质上是、映射实质上是“多对一多对一”或或“一对一一对一”的对应，的对应， 但不包括但不包括 “一对多一对多”等；等； 2 2、函数是一种特殊的映射，确定函数、函数是一种特殊的映射，确定函数y = = f ( ( x ) ) 的映射的映射 f : : AB 要求要求A、B 都是非空数集；都是非空数集； 3 3、对于一个从集合、对于一个从集合A到集合到集合B 的映射来说，的映射来说，A中的中的 每一个

27、元素必有唯一的象，但每一个元素必有唯一的象，但B 中的每一个元素中的每一个元素 不一定都有原象，如有，也不一定只有一个不一定都有原象，如有，也不一定只有一个. . 函数表示法要用 分段函数分段函数 补例补例:某质点在某质点在30s内运动速度内运动速度v (cm/s)是时间是时间t (s)的函数的函数, 它的图像如下图它的图像如下图. 解解:解析式为解析式为 v(t)= t+10, 0 t5, 3t, 5 t10, 30, 10 t 20, - -3t+90,20 t30. t=9s时时,v(9)=39=27 (cm/s). 用解析式表示出这个函数用解析式表示出这个函数, 并求出并求出9s时质点

28、的速度时质点的速度. 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 1. y=kx+b经过点经过点(1,0),(0,1),则则y = _; 2. 求满足下列条件的二次函数求满足下列条件的二次函数 f (x) 的解析式的解析式: 顶点坐标为顶点坐标为( 2,3 ),且图象经过且图象经过(3,1)点点, 则则 f (x) = _; x 1 2(x2) 2 + 3 3.已知函数已知函数f(x) =x2+x- -1,则则 f(2)=_, 1 (1)_;f x 若若f(x) =5,则则 x =_. 5 5 2 2或或 -3-3 2111 (1) (1)(1) 1f xxx 2 31 1 x x 函数表示

29、法要用 求函数的解析式求函数的解析式 例例1.已知已知f(x)是一次函数是一次函数,且且ff(x)=4x1, 求求f(x)的解析式的解析式 解解:设设 f (x) = kx+b（k0） 则则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x1. 2 4, 1, k kbb 2,2, 2121. kk bbbb , , 或或 2, 2, 1 1. 3 k k bb , ,或或 1 ( )2( )21. 3 f xxf xx , , 或或 必有必有 (函数类型确定时用此法函数类型确定时用此法) 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx

30、+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)2+k (a0) 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c （a0） 由题意得：由题意得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得：解方程组得： 因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： a=2, b= 3, c=5 y=2x2-3x+5 练习练习1. 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1, 10）、）、 （1, 4）、（）、（2, 7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？ 函数表示法要用

31、 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)2+k (a0) 练习练习2. 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴轴 交点为（交点为（0, 5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？ 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x1)2 3 （a0) 由条件得：由条件得： 点点( 0, 5 )在抛物线上在抛物线上 a 3= 5, 得得a= 2 故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2 3 即：即：y=2x2-

32、4x5 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)2+k (a0) 练习练习3. 已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A(1, 0)，B(1, 0)， 并经过点并经过点M(0, 1)，求抛物线的解析式？，求抛物线的解析式？ 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1） 由条件得：由条件得： 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 所以所以：a(0+1)(0-1)=1 得：得： a= 1 故所求的抛物线解析式为故所求的抛

33、物线解析式为 y=- (x1)(x-1) 即：即：y=x2+1 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 f(x)=x21(x1).1). f(t)=t2 - -1 2.(1)2,( ).fxxxf x 例例 已已知知求求 2 (1)()211fxxx 解解： . 1) 1( 2 x 设设则则1,1,txt 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 解：解： 2 2 111 4.(),( ). xx ff x xx x 已已知知求求 设设 2 111 (1)1f xx x 211 (1)(1)1 xx 1 1, t x 则则1.t 2 (1).( )1,f tttt 即即 2 (1).( )1,f xxxx 练习练习 函数表示法要用 求函数的解析式求函数的解析式 的的解解析析式式。，求求练练习习