大学画法几何5投影变换概要

1、2021/2/211 V1 X1 a1 b1 2 a2 b2 2021/2/212 4-1 概概 述述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时或垂直）时,它们的投影反映线段的实长、平面的实它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其与投影面的倾角。形及其与投影面的倾角。 当直线或平面和投影面处于一般位置时当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们则它们 的投影面就不具备上述特性。的投影面就不具备上述特性。 投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和 投影面平行或垂直的位置投影面平行或垂直的位置,

2、,以简便地解决它们的度量以简便地解决它们的度量 和定位问题。和定位问题。 a a b b 两点之间两点之间距离距离 a ab b c c 三角形三角形实形实形 a a b b c c d d 直线与平面的直线与平面的交点交点 a b c d a b cd 两平面两平面夹角夹角 解决问题解决问题 一、换面法原理及规律一、换面法原理及规律 二、六个基本问题二、六个基本问题 三、应用举例三、应用举例 42 换面法换面法 换面法就是保持空间几何元素不动换面法就是保持空间几何元素不动, ,用新的投影面替换用新的投影面替换 旧的投影面旧的投影面, ,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题使新投影面对于空

3、间几何元素处于有利于解题 的位置。的位置。 （一）、换面法的基本概念（一）、换面法的基本概念 a1 c1 b1 V1 X1 X1 换面法换面法空间几何元素的位置保持不动空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面用新的投影面 来代替旧的投影面来代替旧的投影面,使对新投影面的相对位置变成有利解题使对新投影面的相对位置变成有利解题 的位置的位置,然后找出其在新投影面上的投影。然后找出其在新投影面上的投影。 V/H 体系变为体系变为V1/H 体系体系 c1 b1 a1 bc a b a c X 一、换面法原理及规律一、换面法原理及规律 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件新投影面的选择必须符合以下两个

4、基本条件: : 1 1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2 2新投影面必须垂直于一个不变投影面。新投影面必须垂直于一个不变投影面。 （二）、（二）、新投影面的选择原则新投影面的选择原则 1点的一次变换点的一次变换 （变换（变换V面）面） X1 V1 a1 （三）、点的投影变换规律（三）、点的投影变换规律 a1 X1 V1 a1 X1 H V1 V1 a1 点的投影变换有什么规律点的投影变换有什么规律? 点的投影变换规律点的投影变换规律 （1 1） 点的新投影和不变投影的连线点的新投影和不变投影的连线, ,必垂直于新投影轴。必垂直于新投

5、影轴。 （2 2） 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。 2021/2/2110 练习练习:41 求点求点A和和B在新投影体系在新投影体系V1/H中的投影。中的投影。 b a a b X V H X H V1 1 a 1 b 1 H1 X1 2点的一次变换（变换点的一次变换（变换H面）面） X1 H1 V a1 a1 a2 3 点的两次变换点的两次变换 X2 H2 V1 2 X2 a2 二、六个基本问题 （一）（一） 把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 1 1次次 （二）（二） 把把投影面平行线变为投影

6、面垂直线投影面平行线变为投影面垂直线 1 1次次 （三）（三） 把把一般位置直线变为投影面垂直线一般位置直线变为投影面垂直线 2 2次次 （四）（四） 把一般位置平把一般位置平面变为投影面垂直面面变为投影面垂直面 1 1次次 （五）（五） 把把投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面 1 1次次 （六）（六） 把一般位置平把一般位置平面变为投影面平行面面变为投影面平行面 2 2次次 线线 面面 把线面转换成特殊位置把线面转换成特殊位置,不但可以解决线面求实形、不但可以解决线面求实形、 倾角问题倾角问题,而且也是解决各种应用问题的基础而且也是解决各种应用问题的基础! V1 X1

7、（一）（一） 把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 a1 b1 a1 b1 X1 V1 H 求对哪个投影面的倾角求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图就平行那个投影作图 2021/2/2115 X c d d c 练习练习:42 用换面法求线段用换面法求线段CD的实长和对的实长和对V面的倾角面的倾角 V H c d 1 1 CD实长 H V 1 X1 求对哪个投影面的倾角求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图就平行那个投影作图 X1 H1 V a1 b1 （二）（二） 把把投影面平行线变为投影面垂直线投影面平行线变为投影面垂直线 b b 1 X1 a1 b1 （三）

8、（三） 把把一般位置直线变为投影面垂直线一般位置直线变为投影面垂直线 V1 X1 a1 b1 2 a2 b2 把把一般位置直线变为投影面垂直线一般位置直线变为投影面垂直线 X2 H2 V1 a2 b2 X1H V1 a1 b1 2021/2/2119 X c d d c 练习练习:42 用换面法把线段用换面法把线段CD转换成投影面的垂直线。转换成投影面的垂直线。 V H c d 1 1 CD实长 H V 1 X1 X2 H1 V2 d2(c2) a c X V H b b a c （四）（四） 把一般位置平把一般位置平面变为投影面垂直面面变为投影面垂直面 c d d D X1 H1 a1 c1

9、 b1 d1 d X1H 1 V d b1 a1 c1 d1 求对哪个投影面的倾角就求对哪个投影面的倾角就 做这个投影面的平行线做这个投影面的平行线,并并 紧邻这个投影面作图紧邻这个投影面作图 2021/2/2121 X a c a b c 练习练习:48 用换面法求用换面法求ABC对对H面的倾角面的倾角 H V1 a a a 1 1 1 X1 求对哪个投影面的倾角就求对哪个投影面的倾角就 做这个投影面的平行线做这个投影面的平行线,并并 紧邻这个投影面作图紧邻这个投影面作图 （五）（五） 把把投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面 V1 c1 b1 a1 X1 X1 V1 c

10、1 b1 a1 a1 c1 b1 X1 c d d b1 a1 c1 d1 X1H 1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 （六）（六） 把一般位置平把一般位置平面变为投影面平行面面变为投影面平行面 实形实形 2021/2/2125 三、应用举例 （一）距离问题（一）距离问题 （二）角度问题（二）角度问题 （三）综合问题（三）综合问题 把线面转换成特殊位置解决一些实际度把线面转换成特殊位置解决一些实际度 量和位置问题量和位置问题: 2021/2/2126 4 求点求点S S到平面到平面ABCABC的距离的距离 6 求两平行平面间的距离求两平行平面间的距离 5 求直线与平面间的距离求直

11、线与平面间的距离 1 求点求点C到直线到直线AB的距离的距离 3 求两直线求两直线ABAB与与CDCD的公垂线的公垂线 2 求两平行线间的距离求两平行线间的距离 （一）距离问题（一）距离问题 把线面转换成把线面转换成垂直于投影面垂直于投影面 即可解决距离问题即可解决距离问题! 角度角度 到直线的距离到直线的距离 把直线转换成投影把直线转换成投影 面的面的垂直线垂直线换面换面2 2次次 到平面的距离到平面的距离 把平面转换成投影面把平面转换成投影面 的的垂直面垂直面换面换面1 1次次 2021/2/2127 c2 c1 b1 a1 X2 H1 V2 H1 X1 V k k k1 b2 k2 a2

12、 距离距离 例题例题1 求点求点C到直线到直线AB的距离及垂的距离及垂 足足 2021/2/2128 例题例题2 求两平行线的距离求两平行线的距离 H2 V1 X l b2 (a2) d2 (c2) d1 a1 b1 c1 V1 H X1 2021/2/2129 2 1 11 21 12 22 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 2 1 b 例题例题3 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 2021/2/2130 k1 X1H1 V b1 a1 c1 d1 s1 例题例题4 求点求点S到平面到平面ABC的距离的距离 距离距离 垂足垂足?

13、k k V H X 2021/2/2131 3.3.两平面的夹角两平面的夹角（使交线使交线投影面投影面, ,换面换面2 2次次） 2.2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角 3 3次次 （二）角度问题（二）角度问题 1.1.两直线的夹角两直线的夹角（即求平面的实形（即求平面的实形, ,换面换面2 2次）次） 综合综合 求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实 形（形（投影面平行面投影面平行面）, ,当有平面时先当有平面时先把面转换成把面转换成 线（线（投影面垂直面投影面垂直面）。）。 2021/2/2132 例题例题5 求求 ABC的实形的实形 V X1 H1

14、 c2 b2 a2 a1(b1)c1 H2 V1 X2 2021/2/2133 例题例题6 直线直线AB与平面与平面CDE的夹角的夹角 H3 V2 X3 X2 V2 H1 X1 V H1 b3 e3 c3 c2 d3 a3 e1 b1 e2b2 c1 a1 d1 a2 d2 f f 通过变换使通过变换使AB与与 投影面平行投影面平行,CDE与与 投影面垂直。投影面垂直。 三次变换。三次变换。 空间分析 2021/2/2134 例题例题6 直线直线AB与平面与平面CDE的夹角的夹角 2021/2/2135 H2 V1 X2 H v 1 X1 c d b a d a c b d1 c1 a1 d2

15、 b1 c2 a2 b2 V H X 例例7 求平面求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。 空间及投影分析空间及投影分析: 由几何定理知由几何定理知:两面角为两平两面角为两平 面同时与第三平面垂直相交时所得面同时与第三平面垂直相交时所得 两交线之间的夹角。两交线之间的夹角。 当两平面的交线垂直于投当两平面的交线垂直于投 影面时影面时, ,则两平面垂直于该投则两平面垂直于该投 影面影面, ,它们的投影积聚成直线它们的投影积聚成直线, , 直线间的夹角为所求。直线间的夹角为所求。 . . 2021/2/2136 （三）综合问题（三）综合问题 例例8 8 求平面求平面ABCABC与直线与直线DE

16、DE的交点的交点 例例9 9 求平面求平面ABCABC与平面与平面DEFDEF的交线的交线 例例11 11 E E点在平面点在平面ABCABC上上, ,距离距离A A、B B为为1515, ,求点求点E E的投影的投影 例例10 E10 E到平面到平面ABCABC的距离为的距离为N,N,求求E E点的正面投影点的正面投影e e 例例12 12 过过C C点作直线点作直线CDCD与与ABAB相交成相交成6060角角 例例13 13 在直线在直线ABAB上找一点上找一点K,K,使使K K点到直线点到直线CDCD的距离等于的距离等于L L 将其中一个面转换成投将其中一个面转换成投 影面的影面的垂直面

17、垂直面换面换面1次次 主要是主要是实形实形（含角度）（含角度）和和距离距离问题的逆向应用问题的逆向应用: 例例14 例例16 例例15 例例17 17 过过K K点作一直线与交叉两直线点作一直线与交叉两直线ABAB、CDCD相交相交例例1818 2021/2/2137 归纳总结归纳总结: : 作业作业:4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13、14、15、16 1、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。 2、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角 的基本作图方法。

18、（即六个基本问题）的基本作图方法。（即六个基本问题） 3、掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量、掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量 问题。（距离、角度及其综合应用问题）问题。（距离、角度及其综合应用问题） 2021/2/2138 点线面小结点线面小结 内容内容单一几何元素单一几何元素 从属关系从属关系 并列关系并列关系 点点点的投影规律点的投影规律 直线直线三类七种线的三类七种线的 投影特性投影特性 直角法求一般直角法求一般 线实长、倾角线实长、倾角 直线上的点的直线上的点的 投影特性投影特性 直线直线直线直线 直线直线直线直线 直线直线 直线直线 直线直线直线直线 平面

19、平面三类七种面的三类七种面的 投影特性投影特性 平面上的点和平面上的点和 线的作图方法线的作图方法 直线直线平面平面 平面平面平面平面 换面法换面法 求线段实长求线段实长 求平面实形求平面实形 投影面倾角投影面倾角 距离问题距离问题 夹角问题夹角问题 相交问题相交问题 投影特性投影特性 求交点（线）求交点（线） 判别可见性判别可见性 综合应用综合应用基本问题基本问题 2021/2/2139 2021/2/2140 （3）3 （1） 例题例题8 求平面求平面ABC与直线与直线DE的交点的交点 a1 f V H1 X1 b1 c1 d1 e1 k k1 f 作作X1轴垂直于轴垂直于a f k 2

20、1 2 1 4 3 4 作图步骤作图步骤: 1.在三角形平面在三角形平面ABC 上作正平线上作正平线AF ; 2.作作X1轴垂直于轴垂直于a f ; 3. 求三角形平面求三角形平面 ABC和和DE在垂直于在垂直于 AF的新投影面上的的新投影面上的 投影投影a1b1c1和和d1e1; 4.求三角形平面求三角形平面ABC 和和DE的交点在新投的交点在新投 影面上的投影影面上的投影k1,再再 求出求出k和和k; 5.利用重影点的特点利用重影点的特点 判别可见性。判别可见性。 2021/2/2141 例题例题9 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线的交线 H X1 V1 e1 f1 d 1 b

21、1 c1 a 1 1 m n m n 1 m1 n c 作作X1轴垂直于轴垂直于a 1 1 2021/2/2142 e N d d X1 V H1 k1 e1 例题例题10 已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N,求求E点的正面投影点的正面投影e 。 b1 a1 c1 d1 2021/2/2143 V1x1 H L L a V x H k k b b a c c k1 b1c1 a1 例例16已知三角形已知三角形ABC的的H面投影和面投影和BC边的边的V面投影面投影,点点K到到ABC 平面的距离为定长平面的距离为定长L。试补全。试补全ABC平面的平面的V面投影。面投影。 变换思路变换思

22、路: 新投影面新投影面 实距实距 P 作图步骤作图步骤: 1.1.设新轴垂直于设新轴垂直于bc;bc; 2.2.作图得作图得bb1 1cc1 1 kk1 1; ; 3.3.以以kk1 1为圆心为圆心,L,L为半径作圆为半径作圆; ; 4.4.过过bb1 1cc1 1作圆的切线作圆的切线, ,aa1 1必在此线上必在此线上; ; 5.5.返回。返回。 2021/2/2144 例题例题11 已知已知E点在平面点在平面ABC上上,距离距离A、B为为15,求点求点E的投影。的投影。 d d b1 a1 c1 d1 X1H 1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2

23、 2021/2/2145 空间及投影分析空间及投影分析: : ABAB与与CDCD都平行于投影面时都平行于投影面时, ,其投影的夹角才反映实大（其投影的夹角才反映实大（6060）, ,因因 此需将此需将ABAB与与C C点所确定的平面变换成投影面平行面。点所确定的平面变换成投影面平行面。 例例12 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角角。 d X1 H P1 X1 P1 P2 a b a c b X V H c 作作 图图: c2 c1 a1 b1 a2 d2 d b2 几个解几个解? 两个解两个解! 已知点已知点C是等边三角形的顶点是等边三角形的顶点,另两个顶点在直线另两个顶点在直线AB上上,求求 等边三角形的投影。等边三角形的投影。 思考思考: 如何解如何解? 解法相同解法相同! 60 D点的投影点的投影 如何返回如何返回? . . 2021/2/2146 m a b b a X m 1 V H 1 a1 b1 m1 X2 V2 H1 m2 a2 b2 60 反映实形反映实形 c2 c1 c c 例例14已知直线已知直线AB及线外一点及线外一点M,试在直线上找一点试在直线上找一点C,使使 直线直线MC与直线与直线