大学物理第16章电磁场

1、1 课程指导课五课程指导课五 第第16章章 电磁场电磁场 1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 2 动生电动势动生电动势 3 感生电动势感生电动势 4 自感和互感自感和互感 5 磁场的能量磁场的能量 6 位移电流位移电流 7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 8 电磁波电磁波 教师：郑采星教师：郑采星 大学物理大学物理 2 基本要求基本要求 教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式 第第16章章 电磁场电磁场 掌握法拉第电磁感应定律，楞次定律，电磁感应现象与能量守恒定律的关掌握法拉第电磁感应定律，楞次定律，电磁感应现象与能量守恒定律的关 系。动生电动势，用电子理论解释动生电动势。理解感生电

2、动势，涡旋电系。动生电动势，用电子理论解释动生电动势。理解感生电动势，涡旋电 场，涡电流。理解自感与互感。能进行有关计算。理解位移电流，麦克斯场，涡电流。理解自感与互感。能进行有关计算。理解位移电流，麦克斯 韦电磁场理论，麦克斯韦方程组织分形式及其物理意义。了解振荡电路。韦电磁场理论，麦克斯韦方程组织分形式及其物理意义。了解振荡电路。 电磁振荡。电磁波的产生和传播。了解电磁波的基本性质，电磁波的能流电磁振荡。电磁波的产生和传播。了解电磁波的基本性质，电磁波的能流 密度，电磁波谱。密度，电磁波谱。 1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 d dt 导体回路中的感应电动势导体回路中的感应电动势

3、的大小的大小 与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比。与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比。 导体运动切割磁力线，将产生导体运动切割磁力线，将产生动生动生电动势；而仅由磁场随时间变化产生的电动势；而仅由磁场随时间变化产生的 电动势则称为电动势则称为感生感生电动势。这是感应电动势的两种类型。电动势。这是感应电动势的两种类型。 电动势电动势lEk dlE L k d 2 动生电动势动生电动势 L i lB d)(v3 感生电动势感生电动势 SL r S t B lE dd 3 4 自感和互感自感和互感 电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈中产生的电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈中产生的 感应

4、电动势等于该线圈的感应电动势等于该线圈的自感系数自感系数L。 d d L i L t 互感系数互感系数M 表示两线圈之间产生互感能力的物理量表示两线圈之间产生互感能力的物理量. . t i M d d 互感取决于两个回路的几何形状，相对位置、两线圈的互感取决于两个回路的几何形状，相对位置、两线圈的 匝数以及它们周围的磁介质的分布。匝数以及它们周围的磁介质的分布。 5 磁场的能量磁场的能量 自感磁能自感磁能: 2 2 1 LIWm互感磁能互感磁能 1212 1 2 WM I I 磁场能量的一般公式磁场能量的一般公式 V VBHVWd 2 1 d磁场能量密度：磁场能量密度： BH 2 1 6 位移

5、电流位移电流 t I d d d d 为了使安培环路定理具有为了使安培环路定理具有更普遍更普遍的意义的意义, ,麦克斯韦提麦克斯韦提 出位移电流出位移电流假设假设。 4 7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 S t B lE SL dd) 3( SSL S t D SlH ddd)4( VS VqSDdd) 1 ( 0d)2( S SB 麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点：麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点： 除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场； 除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场除传导电流激发磁场外，变化的电场（位

6、移电流）也激发涡旋磁场。 8 电磁波电磁波 变化的电场、变化变化的电场、变化 的磁场相互激发，的磁场相互激发， 相互转化；以一定相互转化；以一定 的速度由近及远地的速度由近及远地 向周围空间传播向周围空间传播 电磁波。电磁波。 E 天线天线 i E H H H 能源能源 C L L 天线天线 5 1.1.如图所示，在磁感应强度如图所示，在磁感应强度B=7.6=7.6 1010-4 -4T 的均匀磁场中，放置一个线 的均匀磁场中，放置一个线 圈。此线圈由两个半径均为圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强且相互垂直的半圆构成，磁感应强 度的方向与两半圆平面的夹角分别为度的

7、方向与两半圆平面的夹角分别为62620 0和和28280 0。若在。若在 4.54.5 1010-3 -3S 的时 的时 间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？ 解：由各种原因在回路中所引起的感应电解：由各种原因在回路中所引起的感应电 动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，动势，均可由法拉第电磁感应定律求解， 即即 S SB tt d d d d d 但在求解时应但在求解时应注意下列几个问题注意下列几个问题： 1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回回路必须是闭合的，所求得的电动势为回 路的总电动势路的总电动势。 2 应该是回路

8、在任意时刻或任意位置处的应该是回路在任意时刻或任意位置处的 磁通量。它由磁通量。它由 S SB d 计算。对于均匀磁场则有计算。对于均匀磁场则有cosdBSSB S 其中其中 SScos为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。 6 对于本题，对于本题， 2211 coscosBSBS 1 1和和 2 2为两半圆形平面法线与为两半圆形平面法线与B之间的夹角。之间的夹角。 为方便起见，所取回路的正向（顺时针或为方便起见，所取回路的正向（顺时针或 逆时针）应与穿过回路的逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右的方向满足右 螺旋关系，此时螺旋关系，此时 恒为正值

9、，这对符号确恒为正值，这对符号确 定较为有利。定较为有利。 迎着迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正的方向，取逆时针为线圈回路的正 向。由法拉第电磁感应定律，有向。由法拉第电磁感应定律，有 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。，说明感应电动势方向与回路正向一致。 0 )coscos( d d d d 2211 BSBS tt )coscos( d d 2211 SS t B VSS t B 4 2211 1091. 4)coscos( 3感应电动势的方向可由感应电动势的方向可由-d-d /dt/dt来判定，来判定， 7 2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流如图所示，真空中一长直导线通有电流

10、 I(t) = I0 e - t ，式中为，式中为t 时间，时间， I0 、 为正常量；另一长为为正常量；另一长为l1、宽为、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共的矩形导线框与长直导线平行共 面。设时刻面。设时刻 t 二者相距为二者相距为a，矩形框正以速率，矩形框正以速率v向右运动，求此时刻线向右运动，求此时刻线 框内的感应电动势。框内的感应电动势。 解解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线 框的磁通量（由长直电流所提供）为框的磁通量（由长直电流所提供）为 其中其中x随时间变化的，而且随时间变化的，而且 d 参考：习题参考：习题16.10 2 d

11、x l x BS 02 1 ( ) ln 2 I txl l x 0 122 dd ( )d ln( )ln d2dd x a x a lxlxlI t I t ttxx )( ln 2 )( 2 2210 laa l a latIlv t eItI 0 )( a v 1 l 2 l d d x a x t v 设设 t 时，二者相距为时，二者相距为x. x 2 0 1 ( ) d 2 x l x I t lr r 8 由法拉第电磁感应定律得由法拉第电磁感应定律得 显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内 取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。取顺

12、时针方向，可以通过楞次定律进行验证。 通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整 个回路的总感应电动势，它个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和可能是动生与感生电动势的总和。 0 1 022 2 d ln d2() t l Iall e taa al v 0 122 2 ( )d ln d2() l I tall taa al v t eItI 0 )( a v 1 l 2 l () dBl v 1 12 1112 ()B lB ll BBvvv ) 11 ( 2 )( 2 0 21 ala t

13、I BB t e ala lI )(2 2 200 001 2 2 2() t Il l e a la v t e a la lnl I 2 1 00 2 在在 中中固定固定a，仅对，仅对 t求导数得感生电动势求导数得感生电动势 a la ln lI 2100 2 感生 9 3. 在垂直图面的圆柱形空间内有一随在垂直图面的圆柱形空间内有一随 时间变化的匀强磁场，磁感应强度的时间变化的匀强磁场，磁感应强度的 方向垂直图面向里。在图面内有两条方向垂直图面向里。在图面内有两条 相交于相交于O点的夹角为点的夹角为600的直导线的直导线Oa和和 Ob，而，而O点则是圆柱形空间与图面的点则是圆柱形空间与图

14、面的 交点。此外，在图面内另有一半径为交点。此外，在图面内另有一半径为r 半圆环形导线在上述两条直线上以速半圆环形导线在上述两条直线上以速 度匀速滑动。的方向与度匀速滑动。的方向与aOb的平分的平分 线一致，并指向线一致，并指向O点点(如图如图)。 在时刻在时刻t t，半圆环的圆心正好与，半圆环的圆心正好与O O点重合点重合。此时磁感应强度大小为此时磁感应强度大小为B。 磁感应强度大小随时间的变化率为磁感应强度大小随时间的变化率为k(k为正数为正数)。求。求此时此时半圆环的导半圆环的导 线与两条直线围成的闭合回路线与两条直线围成的闭合回路CODC中的感应电动势中的感应电动势 。 S d d d

15、 d d SB tt k t B 2 6 1 rS ？ 注意下列几个问题注意下列几个问题： 1 1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路必须是闭合的，所求得的电动势为 回路的总电动势回路的总电动势。 2 2 应该是回路在任意时刻或任意位置处应该是回路在任意时刻或任意位置处 的磁通量。的磁通量。 10 21 1由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于t 时刻所在位置静止不动时刻所在位置静止不动 时，回路时，回路CODC中的感生电动势，所以中的感生电动势，所以 解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由感生电动势解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由感生电动势

16、1和动生电和动生电 动势动势 2两部分叠加而成两部分叠加而成 6/d d d 2 s rkSB t CD弧上的动生电动势相当于弧上的动生电动势相当于CD弦上的动生弦上的动生 电动势，所以电动势，所以 2 () d cd BlBrBCD vvv 2 /66(-/ )Brr krBrkvv 若若vB rk/6则则 的方向与所设正向一致，即顺时钟方向；的方向与所设正向一致，即顺时钟方向； vB rk/6 ，则，则 的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。 11 4.4.在半径为在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线的

17、方向与柱的轴线 平行。如图所示，有一长为平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化随时间的变化 率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 2 2 22d d l R l t B d k El d k L El P Q B o R l 证证1 1：取取 闭合回路闭合回路 OPQ 由法拉第电磁感应定律，有由法拉第电磁感应定律，有 P Q B o R l dd k LS B ElS t OP、QO段，因为段，因为Ek（涡旋电场）涡旋电场）的方向与径的方向与径 向垂直，与向垂直，与 dl 矢量点积为矢量点积为0。 PQ 2

18、 2 22d d d d d d l R l t B t B S t 12 4.4.在半径为在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线的方向与柱的轴线 平行。如图所示，有一长为平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化随时间的变化 率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 2 2 22d d l R l t B d k El 证证2 2：在：在rR 区域，感生电场强度的大小区域，感生电场强度的大小 t Br Ek d2 d 设设PQ上线元上线元 dx 处，处，Ek k

19、的方向如图所示，的方向如图所示， 则金属杆则金属杆PQ上的电动势为上的电动势为 P Q B o R l x o xd k E r LL KKPQ xExEEdcosd x r lR t Br l d )2/( d d 2 22 0 22 )2/( 2d d lR l t B r lR 22 )2/( cos 13 D AB (A) 电动势只在导线电动势只在导线AB 中产生。中产生。 5. 在圆柱空间内有一磁感应强度为在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。的均匀磁场，如图所示。B 的大小以速度的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有变化。在磁场中有A、B两点，其间可放直导两点，其间可

20、放直导 线线 AB 和弯曲的导线和弯曲的导线AB ，则，则 (B)电动势只在电动势只在AB导线中产生。导线中产生。 (C)电动势在电动势在AB和和AB中都产生，且两者的大小相等。中都产生，且两者的大小相等。 (D)AB导线中的电动势小于导线中的电动势小于AB导线中的电导线中的电 动势。动势。 14 连接连接AO与与OB分别与分别与AB、AB 组成闭合回路组成闭合回路 L。 AB S L r S t B lE dd 包含包含AB的闭合回路的闭合回路 L扇形面积扇形面积S1 1 ddd S AB r L r S t B lElE 包含包含AB的闭合回路的闭合回路 L三角形面积三角形面积S2 2 d

21、dd S AB r L r S t B lElE B/ t 一致，且一致，且 S1 S2 AB导线中的电动势小于导线中的电动势小于AB 线中的电动势线中的电动势。 15 6.6.如图所示，一长为如图所示，一长为 ，质量为，质量为m的导体棒的导体棒CD，其电阻为，其电阻为R，沿两条，沿两条 平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导 体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放角，整个装置放 在均匀磁场中，磁感应强度在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（的

22、方向为竖直向上。求：（1）导体在）导体在 下滑时速度随时间的变化规律；（下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒）导体棒CD的最大速度的最大速度vm。 参考：习题参考：习题16.4 感应电流所受安培力的方向？感应电流所受安培力的方向？ v B BlI d B v 16 导体棒沿轨道方向的动力学方程为导体棒沿轨道方向的动力学方程为 将式（将式（l）代入式（）代入式（2），并令），并令 则有则有 分离变量并两边积分分离变量并两边积分 mR lB H 222 cos ) 1 ( 22 vcos R lB R BlBIlFA d sincos(2) d A mgFmam t v d sin d gH

23、t v v 如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力和导轨支持力FN外，外， 还受到一个与还受到一个与下滑速度有关的下滑速度有关的安培力安培力FA ，这个力是阻碍导体，这个力是阻碍导体 棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为 17 得得 由此得导体在由此得导体在t时刻的速度时刻的速度 由上式可知，当由上式可知，当 t 2 22 2 22 cos sin cos (1) B l t mR mgR B l e v 00 d d sin t t gH v v v 1sin ln sin gH t Hg v 2 22 si

24、n cos m mgR B l vv 分离变量并两边积分分离变量并两边积分 d sin d gH t v v 此即为导体棒下滑的稳定此即为导体棒下滑的稳定 速度，也是导体棒能够达速度，也是导体棒能够达 到的最大速度，其到的最大速度，其vt 图图 线如图所示。线如图所示。 1978年全国高考物理试题年全国高考物理试题 18 7. 面积为面积为S和和2 S的两圆线圈的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流如图放置，通有相同的电流I线线 圈圈1的电流所产生的通过线圈的电流所产生的通过线圈2的磁通用的磁通用 21表示，线圈表示，线圈2的电流所的电流所 产生的通过线圈产生的通过线圈1的磁通用的磁通用 1

25、2表示，则表示，则 21和和 12的大小关系为：的大小关系为： 12 S2 S I I 答案：答案：(C) 电流电流 I1 产生的磁场在回路中产生的磁场在回路中 L2 引起的全磁通正比于电流引起的全磁通正比于电流 I1 ，即，即 12121 IM 电流电流 I2 产生的通过回路产生的通过回路 L1 的全磁通也正比于电流的全磁通也正比于电流 I2 ，即，即 12122 M I 对于给定的一对线圈回路，可以证明：对于给定的一对线圈回路，可以证明： MMM 1221 本题有本题有 12 II所有所有 2112 21122112 21122112 (A)2.(B). 1 (C).(D). 2 19 8

26、. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行， 矩形线圈的边长分别为矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为，它到直导线的距离为c（如图），（如图）， 当矩形线圈中通有电流当矩形线圈中通有电流I = I0sin t时，求时，求直导线直导线中的感应电动势。中的感应电动势。 解解:如果在直导线中通以稳恒电流如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为，在距离为r处处 产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为B = 0I/2 r在矩形线圈中取在矩形线圈中取 一面积元一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为，通过线圈的磁通量为 00 d d

27、ln 22 a c Sc Ib rIbac B S rc 互感系数为互感系数为 0 ln 2 bac M Ic 当线圈中通以交变电流当线圈中通以交变电流I = I0sin t时，时， 直导线中的感应电动势大小为直导线中的感应电动势大小为 t I M d d tI c cab cos)(In 2 0 0 M12=M21=M I b c a M=？ 参考：习题参考：习题16.17 20 9. 两个线圈的自感分别为两个线圈的自感分别为L1和和L2，它们之间的互感为，它们之间的互感为M (1) 将两个线圈顺串联，如图将两个线圈顺串联，如图a所示，求所示，求1和和4之间的互感；之间的互感； (2) 将两

28、线圈反串联，如图将两线圈反串联，如图b所示，求所示，求1和和3之间的自感之间的自感 参考：习题参考：习题16.19 12 3 4 (a) 234 (b) 1 解：两个线圈串联时，通以电流解：两个线圈串联时，通以电流 I 之后，之后， 总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢 量和磁场的能量为：量和磁场的能量为： VHBW V m d 2 1 P157（16.16） 21 BBB V BB V B V B VVV dd 2 d 2 21 2 2 2 1 V BB ILIL V d cos 2 1 2 1 21 2 2 2 1 21 V BB ILILW V m d

29、 cos 2 1 2 1 21 2 2 2 1 12 3 4 (a) 234 (b) 1 22 2 2 1 2 1 2 1 MIILILWm (1) 当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0，所以，所以 P160（16.19） 自感系数为自感系数为 MLL I W L m 2 2 21 2 (2) 当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以，所以 MLL I W L m 2 2 21 2 自感系数为自感系数为 22 10. 一根电缆由半径为一根电缆由半径为R1和和R2的两个薄圆筒形导体组成，在两圆筒中的两个薄圆筒

30、形导体组成，在两圆筒中 间填充磁导率为间填充磁导率为 的均匀磁介质电缆内层导体通电流的均匀磁介质电缆内层导体通电流I，外层导体，外层导体 作为电流返回路径，如图所示求长度为作为电流返回路径，如图所示求长度为l的一段电缆内的磁场储存的一段电缆内的磁场储存 的能量的能量 I I R1 R2 l 解：解： i IlH d 12 2()rHIRrR r I H 2 r I HB 2 2 222 )2(22r IB wm lrrwVwW mmm d2ddrrl r I d2 )2(2 2 2 2 1 2 1 d 4 d 2 R R R R mm r rlI WW 1 2 2 ln 4R RlI 23 1

31、1. 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀 地流着一层随时间变化的面电流地流着一层随时间变化的面电流i(t)，则，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场 (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零 (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零 (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零 i(t) 答案：答案：(B) 参考解答：参考解答： 麦克斯韦方程组：磁场的高斯定理和电场的高斯定理分别如下：麦克斯韦方程组：磁场的高斯定理和电场的高斯定