两点间的距离公式

1、两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移知识梳理1 .设 a (刀,y。, b (x2, y2),则 ab =(x2 xi, y2 y。.，|ab|二j(x2 玉)2 (y2 y02 .2 .线段的定比分点是研究共线的三点p1, p, p2坐标间的关系.应注意：（1）点p是不同于r, p2的直线pip2上的点；（2）实数入是p分有向线段p1p2所成的比，即 p-p, ap2的顺x x2x ,序,不能搞错；（3）定比分点的坐标公式op1 +op2 （o为平面内任一点） （入w1）.y1 y2y n3 .点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,x h, y k.特别提

2、示1 .定比分点的定义：点p为p1p2所成的比为 入，用数学符号表达即为pf =入pp2 .当人0时，p为内分点；入0时，p为外分点.2 .定比分点的向量表达式:1p点分p1p2成的比为入，则op= 13.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f （x）的图象按向量 a平移，使图象上点的坐标由（1, 0）变为（2, 2）,则平移后的图象的解析式为(x+1) - 2=f (x 1) - 2=f(x 1) +2=f (x+1) +2解析：由平移公式得 a= （1, 2）,则平移后的图象的解析式为y=f （x1） +2.答案：c2. ( 2004

3、年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线 y24y=4x,则向量a为a. (1, 2)b. (1, 2)c. (4, 2)d. (4, 2)解析：设a= (h, k),由平移公式得xxhxxh,yykyyk,代入y2=4x得(y k) 2=4 ( x h), y 2 2k y =4x 4h- k2,即 y22ky=4x 4hk2,1- k=2, h=1.a= (1, 2).答案：a思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗提示：由y2- 4y=4x,配方得(y-2) 2=4 (x+1), .h=-1, k=2.(知道为什么吗)a. 3c.- 38解析：设a点分bc所得的比为入

4、，则由2=3 .设a、b c三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10,则a点分bc所得的比为b.-83d.-335-,得入18答案：c4 .若点p分ab所成的比是 入（入w 0）,则点a分bp所成的比是 解析：ap = x pb, ap = x (- ap + ab ) .( 1+ 入)ap =x ab .ab =1ap . . ba=-1- ap.答案：15.（理）若 abc勺三边的中点坐标为（2, 1）、（一 3, 4）、（一 1, 1）,则 abc勺重心坐标为解析：设a （xi, yi）b(x2,c (x3, y3),x1x22yy22xx3则2yy32x2x32v2 y3 22,1,

5、3,4,x1yix2v2x32v3 4重心坐标为答案：（-3（文）已知点1,1.m(6,2)和 m(17）,直线y=mx- 7与线段mm的交点m分有向线段m1m2的比为3 ： 2,则m的值为解析：设m （x,y),则6 x=-132=15=33522 7y=1 0232 =421 =5,即 m(3, 5),代入5y=mx 7 得 5=3m- 7,m=4.答案：4典例剖析【例1】已知点6)和b (30）,在直线 ab上求一点p,使| ap |二| ab |.3剖析：| ap |= | ab| , 3则靠=3 ab或ap= ba.设出p （x, y）,向量转化为坐标运算即可.解：设p的坐标为(x,

6、 y),若而=1 ab ,则由(x+1, y6) =1 (4, 6),得 3341x 1 了解得x 3，y 62.y 4.此时p点坐标为（2,4）.3若 ap =-1 ab ,则由（x+1, y-6 3d47x 13解得 x ，y 6 2.y 8.p （ 7, 8）.综上所述，p （1,33深化拓展=（4, 一6）得3本题亦可转化为定比分点处理 .由ap入=1,代入公式即可；若ap = - 1 ab234)或(-7 , 8). 3=1 ab ,得appb ,则p为nb的定比分点，32,则晶=1 pb,则p为ab的定比分点，入 4由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一

7、般方法【例2】已知abc勺三个顶点坐标分别是a (4,1),b (3,4),c(1,2),bd是/abc勺平分线，求点 d的坐标及bd的长.剖析：: a、c两点坐标为已知，要求点d的坐标，只要能求出 d分ac所成的比即可.解： | bc=2 j5 , | ab=/0 ,，d分ac所成的比入=但 些 上2dc bc 2由定比分点坐标公式，得xd9 5-2,yd1221 一2，d点坐标为(9-52 , j2)| bd= 3(9 5呢 2(豆 4)2 = ,104 68年.评述：本题给出了三点坐标， 因此三边长度易知， 由角平分线的性质通过定比分点可解出d点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题

8、得以简化深化拓展本题也可用如下解法：设 d (x, y), bd是/abc勺平分线， = .ba bd bc bd- ；- ；,|ba|bd| |bc| |bd|即 ba bd = bc bd|ba| |bc|又 ba= (1, 3), bd= (x-3, y-4), bc = (4, 2),x 3 3y 12 4x 12 2y 8二”10. 20(4+v2) x+ (2372) y+97220=0.又a、d c三点共线，ad , ac共线.又 ad = (x4, y1), ac = (x+1, y 2),(x 4) (y 2) = (x+1) (y1)由可解得x 9 5.2, y 2.d点坐

9、标为(95，2, j2), |bd=由04 68历.思考讨论若bd是ac边上的高，或 bdffi abo成面积相等的两部分，本题又如何求解请读者思考.【例3】 已知在dabcdk点a (1, 1), b (2, 3), cd的中点为e (4, 1),将 abc强向量a平移，使c点移到原点 o(1)求向量a；(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标解：(1)由 dabcdt彳# ab = dc ,设 c (x3, y3), d (x4, y4),x3 x4 1,则34y3 v4 2.又cd勺中点为e (4, 1),x3 x4 , 4,则 2 4 1.(2)由平移公式得a闯关训练夯实基础7-2b

10、1), c(0, 0), d1. (2004年福州质量检查题)将函数y=sin x按向量a=, 3)平移后的函数解析4式为=sin(x- - ) +3=sin/ 兀、(x+-)+3=sin (x- ) - 3=sin (x+ ) 3解析:h得 k,兀4，3.y 3=sin兀、+ -).297由一得x3-，2x42y3 2,v40,即 c ( 9 ,2), d(7,0).22./兀 y =sin ( x + ) +3,即 y=sin (x+ ) +3.答案：c2. （2003年河南调研题）将函数y=2sin2 x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin （2x+）3+1的图象，则a等于a. (-

11、 1, db. ( ： 1)c. (：, -1)d. (： , 1)解析：由 y=2sin (2x+ ) +1 得 y=2sin2 (x+ ) +1,，a=(三，1)答案：b3. （2004年东城区模拟题）已知点p是抛物线y=2x2+1上的动点，定点 a （0, 1）,若点 m分pa所成的比为 2,则点 m的轨迹方程是 ,它的焦点坐标是解析：设 p (xc, y), m (x, y)x。x 一3vo 2xvo3x, 3y代入 y0=2x02+1 得 3y+2=18x2+1,即 18x2=3y+1 ,x2=- y+=-2618 6(y+-), 1. p=,焦点坐标为(0,工) 31224答案：x

12、2=1 (y+1)(0,二)63244.把函数y=2x2 4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a b）, c= （1, -1）,b - c=4,贝 u b=解析：a= (0, 0) (1, 3) =( 1, 3) .设 b= (x, y),由题意得x 3y 0, x 3,x y 4,y1,则 b= (3, 1).答案：(3, 1)5.已知向量oa = (3, 1),ob =( 1,2) , oc ob , bc / oa.试求?t足 od +oa = oc的od的坐标.解：设 od= (x, y),贝u oc= (x,y) + (3, 1) = (x+3, y+1),bc =

13、oc ob = (x+3, y+1) ( 1)2) = (x+4)y 1)则(x3)2( y 1)0,、(x4)3( y 1) 0. x 11 所以od= (11, 6).y 6，6.已知 a (2, 3) , b ( 1, 5),且满足 ac =1 ab , ad =3 ab , ae =1ab ,求 c 34.c(1, u), d (-7, 9),3口 e的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解e(曹 5).42培养能力7. (2004年福建，17)设函数 f(x)=a b,其中a=(2cosx,1),b= (cosx,$/3sin2x),xc r(1)若 f (x)

14、=1、回，且 xc求 x;(2)若y=2sin2 x的图象按向量 c= (mn) (| m v 5)平移后得到函数y=f (x)的图象，求实数m n的值.解：(1)依题设 f (x) =2cos2x+43sin2 x=1+2sin ( 2x+ ),由 1+2sin (2x+) =1 - q3 ,得 ./ c ,兀、 3 362 i i / 兀 兀 / c _l 兀 7 5兀 | x| , - - 2x+ 一 .sin (2x+ )=.2x+-=-,即 x=-.(2)函数y=2sin2 x的图象按向量c= ( m n)平移后得到函数 y=2sin2 (xmi +n的图象，即 y=f (x)的图象

15、.由(1)得 f (x) =2sin2 (x+ ) +1.又| m v ,m=-, n=1.8.有点难度哟!(2004年广州综合测试)已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a= (2, 1)平移后得到曲(1)求曲线c的方程;m n,且m在d n之间，设dm =(2)过点d(0, 2)的直线与曲线 c相交于不同的两点入mn ,求实数入的取值范围解：(1)原曲线即为(x+2)2+2 (y+1) 2=2,则平移后的曲线c 为 x2+2y2=2,2即+y2=1.2(2)设 m (xi, yi), n (x2, y2),则xiyix22 v21由于点 m n在椭圆x2+2y2=2上，则22x12

16、 y12,22x22 y22,(产)22(一)22,22x22 2y222.消去x22得，2入2+8入y2+8=2入2+4入+2,即 y2= 23 .4一 1w y2=c 1 , 一 1 w -& 1.41 又入0,故解得入*.故人的取值范围为1, +8).2思考讨论本题若设出直线l的方程y=kx+2,然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗(不 要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下探究创新9.甲船由a岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为 15后n mile/h ,在 甲船从a岛出发的同时，乙船从a岛正南40 n mile处的b岛出发，朝北偏东0 ( 0 =arctan

17、 1 )2的方向作匀速直线航行，速度为 1015 n mile/h.(如下图所示)(1)求出发后3 h两船相距多少海里(2)求两船出发后多长时间相距最近最近距离为多少海里解：以a为原点，ba所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系x东b设在t时刻甲、乙两船分别在p (xi, yi), q (x2, y2),贝u xi 15 . 2t cos4515t,y1 x1 15t.由 9 =arctan 1,可得 cos 9 =-2-5- , sin 9 =, 255x2=10 4r5 t sin 9 =10t ,y2=10v5tcose 40=20t40.(1)令t=3, p q两点的坐标分别为(45,

18、45), (30, 20)| pq= *45 30) 2 (45- 20) 2 = 20 v2 .当且仅当t=4时，|pq的最小值为20行，即两船出发4 h时，相距20 j2 n mile 为两船最近距离.思悟小结1 .理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：(1)弄清起点、分点、终点，并由此决定定比入；(2)在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义 ptp = x pp2获解.2 .线段的定比分点的坐标表示， 强化了坐标运算的应用，确定入的值是公式应用的关键.3 .关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4 .配