第六章 参数估计(2)

1、1 第五节第五节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 v一一. . 总体均值的区间估计总体均值的区间估计 v二二. . 总体比例的区间估计总体比例的区间估计 v三样本容量的确定三样本容量的确定 一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计 v 在对总体均值进行区间估计时，需要考虑总体是否为正态分布、总体 方差是否已知、用于估计的样本是大样本（n30）还是小样本（n30 ）等几种情况。 v 但不管哪种情况，总体均值的置信区间都是由样本均值加减估计误差 得到的。其中，估计误差由两部分组成：一是样本均值抽样分布的标 准误差；二是估计时要求置信水平为1-时，统计量分布两侧面积各 为2时的分位

2、数值。 v 因此总体均值在1-置信水平下的置信区间可一般性的表达为： ()xx分位数值的标准误差 1.1.大样本总体均值大样本总体均值 的区间估计的区间估计 v 假定条件n30或者n 50 ，总体均值为,方差为 ，分布不 限，由中心极限定理知，样本均值的抽样分布为正态分布，并 且均值的期望值等于，方差等于 ，那么可以转化成标准 正态分布： 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为： )1 ,0( N n x z )( 22 未知或 n s zx n zx 2 n 大样本总体均值的区间估计大样本总体均值的区间估计（实例（实例1 1） 例例 设某工厂妇女从事家务劳动服从正态分布设某工厂妇女从事家务

3、劳动服从正态分布 ，0.660.662 2 ，根据 ，根据3636人人 的随机抽样调查，样本每天平均从事家务劳动的时间为的随机抽样调查，样本每天平均从事家务劳动的时间为2.652.65小时，求小时，求 的置信区间（置信度的置信区间（置信度 1-1- =0.95=0.95）。）。 解解 按题意，此为大样本，且总体方差已知，又按题意，此为大样本，且总体方差已知，又n n3636， 2.65, 2.65, 0.660.66，1-1- 0.950.95。 查表得查表得 1.961.96，代入公式有，代入公式有 2.65 2.65 1.96 1.96 2.65 2.65 0.22 0.22 因此，我们有

4、因此，我们有9595的把握，该厂妇女的平均从事家务劳动的时间的把握，该厂妇女的平均从事家务劳动的时间 在在2.87 2.432.87 2.43小时之间。小时之间。 x 2 z 2 xz n 0.66 36 36 66. 0 36 66. 0 5 大样本总体均值的区间估计大样本总体均值的区间估计（实例（实例2 2） 解：已知 x26, s=6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96，总体的置信区 间为： 22 ss , 66 261.96,261.96 100100 24.824,27.176 xZxZ nn 我们可以95的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.82427.176 分

5、钟之间 【例例】某大学从该 校学生中随机抽取 100人，调查到他 们平均每天参加体 育锻炼的时间为26 分钟。试以95的 置信水平估计该大 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 时间（已知样本方 差s2为36分钟）。 6 2.2.小样本正态总体均值的置信区间小样本正态总体均值的置信区间( ( 2 2 已知已知) ) 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 /2/2 (0,1) P()1 x ZN n x ZZ n n Zx n Zx 22 , 假定条件总体服从正态分布,且总体方差（）已知， 7 小样本正态总体均值的区间估计小样本正态总体均值的区间估计( (实例）实例） 已知N(，0.152)，x

6、2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 总体均值的置信区间为 498.21,302.21 9 15.0 96.14 .21, 9 15.0 96.14 .21 , 22 n Zx n Zx 我们可以95的概率保证该种零件的平 均长度在21.30221.498 mm之间 【例例】某种零件 长度服从正态分 布，从该批产品 中随机抽取件 ，测得其平均长 度为21.4 mm。 已知总体标准差 =0.15mm，试 建立该种零件平 均长度的置信区 间，给定置信水 平为0.95。 8 3.3.小样本正态总体均值的置信区间小样本正态总体均值的置信区间( ( 2 2 未知未知) ) n假定条件

7、 总体必须服从正态分布正态分布 总体方差（）未知 样本统计量满足自由度为K=n-1的t分布 n使用 t 分布统计量 /2/2 (1) P() 1 x tt n sn x tt sn n总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 22 , ss xtxt nn t 分布分布 t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布 t 分布与标准正态分布的比较 t 分布 标准正态分布 不同自由度的t分布 标准正态分布 10 小样本正态总体均值的区间估计小样本正态总体均值的区间估计（实例）（实例） 已知N

8、(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。 22 , 88 502.0639,502.0639 2525 46.69,53.3 ss xtxt nn 我们可以95的概率保证总体均值 在46.6953.30 之间 从一个 正态总体中抽 取一个随机样 本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立 总体均值 的 95%的置信区 间 11 二、总体成数（比例）的置信区间二、总体成数（比例）的置信区间 n假定条件 总体变量只有两个取值 总体服从二点分布 n50，并且np5时可以由正态分布来近似 n使用正态分布统计量 n总体比例在1-置

9、信水平下的置信区间为 ) 1 , 0( )1 ( N n p z n pp zp )-1 ( 2 总体成数（比例）的置信区间总体成数（比例）的置信区间（实例（实例1 1） 【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机地抽取 了100名下岗职 工，其中65人为 女性职工。试以 95%的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间 解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%， z/2=1.96 %35.74%,65.55 %35.9%65 100 %)651%(65 96.1%65 )1 ( 2 n pp zp 该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%74.

10、35% 13 总体成数（比例）的置信区间总体成数（比例）的置信区间（实例（实例2 2） 已知 n=200 ， 0.7 , n =1405, n(1- )=605，= 0.95，/2=1.96 p p p 2 (1) 0.7(10.7) 0.71.96 200 0.636,0.764 pp pZ n 我们可以95的概率保证该企业职工由 于同管理人员不能融洽相处而离开的比 例在63.6%76.4%之间 某企业在一项关于职 工流动原因的研究中，从该 企业前职工的总体中随机选 取了200人组成一个样本。 在对其进行访问时，有140 人说他们离开该企业是由于 同管理人员不能融洽相处。 试对由于这种原因而

11、离开该 企业的人员的真正比例构造 95%的置信区间。 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计( (小结小结) ) 15 n根据均值区间估计公式可得样本容量n为 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 n样本容量n与总体方差2、允许误差E、置信水平 之间的关系为 与总体方差成正比 与允许误差成反比 与置信水平成正比 因为： 22 2 2 Z n E 2 EZ n 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定（例题）（例题） 【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生 年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计 年薪95%的置信区间，希望边际误差为400 元，应抽取

12、多大的样本容量？ 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定（例题）（例题） 解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 应抽取的样本容量为 即应抽取97人作为样本 9704.96 400 2000)96. 1 ( )( 2 22 2 22 2 E z n 1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为 估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 E的取值一般小于0.1 未知时，可用样本比例p来代替 其中 2 2 2 )1 ()( E z n n zE )1 ( 2 估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定( (例题例题) )

13、【例】根据以往的生产统 计，某种产品的合格率约 为90%，现要求边际误差 为5%，在求95%的置信 区间时，应抽取多少个产 品作为样本？ 解:已知= 9 0 %=0.05 z/2=1.96，E=5% 应抽取的样本容量为 1393 .138 05. 0 )9 . 01 (9 . 0)96. 1 ( )1 ()( 2 2 2 2 2 E z n 应抽取139个产品作为样本 思考思考 v1.1.区间估计的含义。区间估计的含义。 v2.2.解释置信区间、置信水平的含义解释置信区间、置信水平的含义 v3.3.简述样本容量与置信水平、总体方差、估计误简述样本容量与置信水平、总体方差、估计误 差的关系差的关系 练习练习 1 1、根据某大学、根据某大学100100名学生的抽样调查，每月平均用于购买书籍的名学生的抽样调查，每月平均用于购买书籍的 费用为费用为4545元，标准差为元，标准差为5 5元，求大学生每月用于购买书籍费用元，求大学生每月用于购买书籍费用 的区间估计（置信度为的区间估计（置信度为95%9