典型环节的频率特性

1、 5-2 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制 一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图） 以角频率为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率 特性的极坐标图。它是当角频率当角频率从从0 0到无穷变化时，矢量到无穷变化时，矢量 的矢的矢 端在端在 平面上描绘出的曲线。平面上描绘出的曲线。 自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分 成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和 伯德图）。 )(jG )(jG)(jG j ejG)( )(jG （一）（一） 放大环节（比例

2、环节）放大环节（比例环节） KjG)( KsG)(放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是 KjG)( 0)(jG 其幅频特性和相频特性分别为 . 0 0 m I K e R 放大环节的频率响应 频率特性如图所示。 放大环节的幅频特性为常数K， 相频特性等于零度，它们都与频率 无关。理想的放大环节能够无失真 和无滞后地复现输入信号。 （二）（二） 积分环节积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 s sG 1 )( j jG 1 )( 11 )( j jG 0 90 0 )( arctgjG 积分环节的频率响应 e R m I 0 G 0 90 1 频率特性

3、如图所示。由图可知，积分环节的相频特性等于 -900 ， 与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅 频特性等于 ，是的函数， 当由零变到无穷大时，输出幅值则由 无穷大衰减至零。 （三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性 幅频特性和相频特性分别是 1 1 )( Ts sG 1 1 )( jT jG 22 1 1 )( T jG arctgTjG)( 0 1)0(jG 0 0)0(jG T 1 707.0 2 1 ) 1 ( T jG 0 45) 1 ( T jG 0)(jG 0 90)(jG 当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是 正实

4、轴下方的半个圆周 )(jG 2222 11 1 1 1 )( T T j TjT jG )( 1 1 )(Re 22 u T jG 证明证明: )( 1 )(Im 22 v T T jG 22 22 2 22 2 2 2 1 12 1 1 1 )( 2 1 )( T T T vu 是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径为 。且 当由 时， 由 ，说明惯性环节的频率特 性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。 0, 2 1 2 1 0)(jG 900 )(jG 惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输 入信号的幅值衰减较小，滞后相移也

5、小，在高频范围内，幅值衰减较大， 滞后相角也大，最大滞后相角为90 。 推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。 1 )( jT K jG 0, 2 K 2 K 惯性环节的频率响应 0 45 0 1 0.5 T/1 m I G 0 e R ( (四）四） 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数是 频率特性 幅频特性和相频特性分别为 22 1 2 )( T T arctgjG 12 1 )( 22 TssT sG TjTTjT jG 2)1 ( 1 12 1 )( 2222 222222 4)1 ( 1 )( TT jG ) 1 ( 1 2

6、180)( 22 TT T arctgjG ) 1 0( 1 2 )( 22 TT T arctgjG 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频 率特性曲线如图所示。 1)0(jG 2 1 ) 1 ( T jG 0 0 0)0(jG T 1 0 90) 1 ( T jG 0)(jG ()180G j 振荡环节为相位滞后环节， 最大滞后相角是1800。 )(jG 当振荡环节传递函数的分子 是常数K时， 对应频率特性 的起点为 12 )( 22 TssT K sG 0 0 0)0(,)0(jGKjG n r M 0 n n r 0 m I

7、 r 1 e R G 振荡环节的频率响应 n )1( rr MM r r )(jG r M 将 代入 得到谐振峰值 为 ) 2 1 0( 12 1 )( 2 r r jGM 2 0 2 1 arcsin90 21 )( arctgjG rr 将 代入 得到谐振相移r为 r )(jG 041)( 222 2 22 TT d d jG d d ) 2 1 0(2121 1 22 nr T 阻尼比较小时，会产生谐振阻尼比较小时，会产生谐振 谐振峰值 和谐振频率 ，如何求？ 振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 的范围内，随着 的增加， 缓慢增大；当 时， 达到最大值 ；当 时，输出幅值衰减很快。 )(

8、M r )(M r M r 当阻尼比 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的 惯性环节的串联， 即 1 1 11 1 )( 21 sTsT sG T1，T2为一大一小两个不同的时间常 数，小时间常数对应的负实极点离虚 轴较远，对瞬态响应的影响较小。 1 )(M 0 r r M 振荡环节的频率响应 1 r 0 （五）（五） 一阶微分环节一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是 一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比 例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。 1)(ssG 1)(jjG 幅频特

9、性和相频特性分别为 一阶微分环节的频率特性为 1)( 22 jG arctgjG)( 01)0(jG 0 0)0(jG 1 2) 1 ( jG 0 45) 1 ( jG )( jG 0 90)(jG 频率特性如图所示。是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于 实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。 1 e R 0 m I G 0 G 一阶微分环节的频率响应 当 时， ， 当 时， ， 当 时， （六）（六） 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性 幅频特性和相频特性分别为 12)( 22 jjG 222 2 22 41)(jG ） （ 22 1 2 )(arctgjG 0 1)0(j

10、G 0 0)0(jG 1 2) 1 (jG 0 90) 1 ( jG )( jG 0 180)(jG 二阶微分环节频率特性图 1 ) 1 (2 m I e R 00 G 二阶微分环节是相位超前环节，最大超 前相角为180o。 ) 1 ( 1 2 180)( 22 arctgjG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( jT jG （七）（七） 不稳定环节不稳定环节 传递函数为 有一个正实极点，对应的频率特性是 幅频特性和相频特性 1 1 )( 22 T jG arctgT T arctgjG 0 180 1 )( 01)0(jG 0 180)0(jG T 1 2 1 ) 1 ( T jG 0

11、135) 1 ( T jG 0)(jG 0 90)(jG 0 Im Re 0 不稳定惯性环节的频率特性 与惯性环节比较与惯性环节比较 其对应的频率特性是 j ejG )( 1)(jG s esG )( （八）（八） 滞后环节的传递函数滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为 0 m I j 0 e R 1 1 j G 滞后环节频率特性图 （度）弧度）3 .57()(jG 滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。 幅频特性和相频特性分别为 二、典型环节频率特性的伯德图二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特 性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标

12、平面上，前者叫 对数幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴（轴）用对数分度，对数幅频特 性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数 对数相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数 )()(lg20)(dBjGL （度）)()(jG 0 20 40 -40 -20 )(L 0.010.1110100 0 45o 90o -90o -45o )( 0.010.1110100 dB 两个图形上下放置（幅 频特性在上，相频特性 在下），且将纵轴对齐， 便于求出同一频率的幅 值和相角的大小，同时 为求取系统相角裕度带 来方便。 （4） 横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾 了中、高频段，有利

13、于系统的分析与综合。 用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更清晰； )(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)( )()()()( )()()()( 21 21 21 jGjGjGjGL jGjGjGjG jGjGjGjG n n n （2） 幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相 加，简化计算； （3） 用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便； 放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为 )0()(KKjG KjG)( KjGlg20)(lg20 K1，20lgK0，位于横轴上方； K=1，20

14、lgK=0，与横轴重合； K1，20lgK0，位于横轴下方。 （一）放大环节（比例环节）（一）放大环节（比例环节） 放大环节的对数幅频特性如图， 是一条与角频率无关且平行于横 轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即 幅值的总分贝数为 1 0 10 10 20 Klog20 dB)(L 10 1001000 100 1000 0 0 0 90 0 90 0 180 度）（ 10 放大环节的Bode图 n KKKjG.)( 21 n KKKjGlg20.lg20lg20)(lg20 21 放大环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率无关且与轴重合的直线。 0 0)(jG

15、（二）积分环节（二）积分环节 积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是 j jG 1 )( 1 )(jG lg20 1 lg20)(lg20jG 1 . 0)(201 .0lg20)1 .0(lg20dBjG 1)(01lg20) 1(lg20dBjG 10)(2010lg20)10(lg20dBjG 设 ，则有 可见，其对数幅频特性是一条在 =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。 10 lg202010lg20lg20 01. 01 . 01 10 0 0 0 90 0 90 0 180 度）（ 积分环节的

16、Bode图 60 40 0 20 20 dB)(L 01. 01 . 01 decdB/20 10 是一条与无关，值为-900且平行于 轴的直线。积分环节的对数幅频 特性和相频特性如图所示。 0 90)(jG 积分环节的相频特性是 n个积分环节串联时，即 对数幅频特性对数幅频特性 n j jG )( 1 )( lg20 1 lg20)(lg20 n jG n 两个积分环节串联的Bode图 0 90 0 0 1 . 01 0 180 0 90 度）（ 01. 0 0 40 decdB/40 dB)(L 01. 01 . 0110 是斜率为-n20dB/dec，在=1 处过零分贝线（轴）的直线。

17、0 90)(njG 是一条与无关，值为-n900 且与轴平行的直线。 相频特相频特 性性 当 时， 当 时， 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性， 22 22 1lg20 1 1 lg20)(lg20 T T jG T 1 T 1 )(01lg20)(lg20 22 dBTjG )(lg201lg20)(lg20 22 dBTTjG T 1 T 1 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直线 构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。 （三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是 1 1 )( jT jG )(32lg201lg20 1 22 dBT T 显然，

18、距离转折频率 愈 远 ，愈能 满足近似条件，用渐近线表示 对数幅频特性的精度就愈高； 反之，距离转折频率愈近，渐 近线的误差愈大。等于转折频 率 时，误差最大，最大误 差为 T 1 ) 11 ( TT 或 T 1 渐近特 性 decdB/20 精确特 性 惯性环节的Bode图 )( )(Ldb 10 0 10 20 T 1 20 1 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 T 1 2 T 1 10 T 1 20 0 0 0 45 0 90 时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于转折频率 T 1 2 1 )(97. 0 2 5 lg201lg20 1 2 1 22 dBT T T 1 2 )(

19、97. 0 2lg205lg20)lg20(1lg20 1 2 1 2 22 dB TT TT T 1 db 0 1 2 3 4 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 2 1 T 1 T 1 2 T 1 5 T 1 10 误差修正曲线 惯性环节的相频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 相频特性曲线如图, 是一条由00至 -900范围内变化的反正切函数曲线， 且以 和 的交点为斜对称。 TarctgjG)( 0 0 0)0(jG T 1 0 45) 1 ( T jG 0 90)(jG T 1 0 45)(jG 渐近特 性 decdB/20 精确特 性 )(Ldb 10 0 10 20 T

20、1 20 1 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 T 1 2 T 1 10 T 1 20 惯性环节的Bode图 )( 0 0 0 45 0 90 对数幅频特性 如图，渐近线的转折频率为 ，此处渐近特性与精确特性的 误差为 ，误差范围与惯性环节类似。 1)(jjG 1lg20)(lg20 22 jG 1 )(01lg20 22 dB 1 )(lg201lg20 22 dB 1 arctgjG)( （四）（四） 一阶微分环节一阶微分环节 频率特性为 dB32lg20 1 100 1 10 1 1 10 1 1 100 1 )( 度 0 90 0 45 0 0 一阶微分环节的Bode图 20

21、10 0 db)(L 1 100 1 1 10 1 1 1 10 1 100 decdB/20 渐近特性 精确特性 一阶微分环节的相频特性如 图，相角变化范围是 00 至 900，转折频率 处的相角为 450。与惯性环节Bode 图相比， 一阶微分环节与惯性环节的 对数幅频特性和相频特性以 横轴（轴）为对称。 1 90)( jG 45) 1 ( jG T 1 , 0 0)0( jG 相频特性 TjT jG 2)1 ( 1 )( 22 222222 4)1 (lg20)(lg20TTjG T 1 )(04)1 (lg20 222222 dBTT T 1 )(lg404)1 (lg20 22222

22、2 dBTTT （五）（五） 振荡环节振荡环节 振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 0 decdB/40 40 20 dB)(L 高频渐近线 T 1 10 1 T 1 T 1 10 低频渐近线 振荡环节渐近线对数幅频特性 误差分析误差分析： 当 时， ，它是阻尼比的函数； 且以转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十 倍转折频率时，误差可忽略不计。误差曲线如图所示。 T 1 2lg204)1 (lg20 1 222222 T TT 振荡环节的误差曲线 经过修正后的对数幅频特性曲线如图所示。 由图可知，振荡环节 的对数幅频特性在转折频 率 附近产生谐振峰，这 是该环节固有

23、振荡性能在 频率特性上的反映。前面 已经分析过，谐振频率r 和谐振峰Mr分别为 db)(L 20 0 40 T 1 10 1 T 1 T 1 10 05. 0 0 . 1 5 . 0 decdb/40 振荡环节对数幅频率特性图 T 1 ) 2 1 0(21 2 nr 2 12 1 )( rr jGM 阻尼比愈小，谐振频率r愈接近无阻尼自然振荡频率n，当=0时，r=n 当 时， 当 时， 当 时， 振荡环节相频特性也是阻尼比的函数，随阻尼比变化，相频特性在 转折频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比越小，变化速率越大， 反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比的相 频特性如图所示。 0 0 0)0(jG T 1 0 90) 1 ( T jG 0 180)(jG 0 0 0 90 0 180 n 10 1 T n 1 n 10 05. 0 0 . 1 振荡环节对数相频特性