第10章 误差项自相关与异方差

1、2021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室1 第十章第十章 误差项自相关与异方差误差项自相关与异方差 第一节第一节 误差项自相关及其影响误差项自相关及其影响 第二节第二节 误差项自相关的检验误差项自相关的检验 第三节第三节 误差项自相关问题的处理误差项自相关问题的处理 第四节第四节 时间序列中的异方差时间序列中的异方差* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2 2页页 学习本章后学习本章后, 您应该做到：您应该做到： 1.理解误差项自相关的概念、产生的原因及其对回归模理解误差项自相关

2、的概念、产生的原因及其对回归模 型的估计产生的影响；型的估计产生的影响； 2.理解误差项自相关的检验方法和原理，能借助于理解误差项自相关的检验方法和原理，能借助于 EViews软件对具体模型进行检验；软件对具体模型进行检验； 3.了解误差项自相关问题的补救方法，理解广义差分法了解误差项自相关问题的补救方法，理解广义差分法 的原理，掌握的原理，掌握EViews软件的具体应用操作；软件的具体应用操作； 4.了解时间序列数据中的异方差问题；了解时间序列数据中的异方差问题； 5.理解理解ARCH模型的特点，掌握模型中模型的特点，掌握模型中ARCH效应的检效应的检 验方法。验方法。 学习重点与难点学习重

3、点与难点 理解误差项自相关的概念；掌握误差项自相关的检验方理解误差项自相关的概念；掌握误差项自相关的检验方 法和补救措施；理解时间序列模型的异方差的特殊性。法和补救措施；理解时间序列模型的异方差的特殊性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3 3页页 由于时间序列数据按照观测时间的先后排序，而对于由于时间序列数据按照观测时间的先后排序，而对于 变量采集其连续的观测结果很可能表现出内在的相关，当变量采集其连续的观测结果很可能表现出内在的相关，当 采集频率较高时尤其明显。经常关注股票市场或者外

4、汇市采集频率较高时尤其明显。经常关注股票市场或者外汇市 场的人们都知道，短期内接连的上涨或下跌是常见现象。场的人们都知道，短期内接连的上涨或下跌是常见现象。 误差项不存在自相关（序列相关）的假定在这种情况误差项不存在自相关（序列相关）的假定在这种情况 下经常被发现是不合理的。在截面数据中，由于通常假定下经常被发现是不合理的。在截面数据中，由于通常假定 搜集的数据是在相同时间对某一总体中的个体进行随机抽搜集的数据是在相同时间对某一总体中的个体进行随机抽 样获得的，所以没有理由认为不同观测值之间存在内在的样获得的，所以没有理由认为不同观测值之间存在内在的 相关关系。因而误差项自相关问题主要存在于时

5、间序列数相关关系。因而误差项自相关问题主要存在于时间序列数 据中。据中。 截面数据中存在的异方差问题在时间序列数据中也有截面数据中存在的异方差问题在时间序列数据中也有 可能存在可能存在,而且还有某些特殊性。而且还有某些特殊性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第4 4页页 第一节第一节 误差项自相关及其影响误差项自相关及其影响 本章我们将研究时间序列数据模型中的自相关问题。本章我们将研究时间序列数据模型中的自相关问题。 为了讨论和理解方便，按照时间序列的习惯做法，我们用为了讨论和理解方便，

6、按照时间序列的习惯做法，我们用t （t=0,1，2）表示时间序列数据的不同的观测点，称之）表示时间序列数据的不同的观测点，称之 为为“期期”，将其作为随机项或其它变量的下标，如，将其作为随机项或其它变量的下标，如ut表示表示u 在第在第t期所取的值，期所取的值， ut-1表示表示u在第在第t-1期所取的值，等等。期所取的值，等等。 一、自相关一、自相关 在时间序列中，自相关在时间序列中，自相关(Autocorrelation)可以理解为按可以理解为按 一定时间顺序排列的观测序列中各观测值之间存在相关性。一定时间顺序排列的观测序列中各观测值之间存在相关性。 例如时间序列数据中例如时间序列数据中

7、和和 相关，则称该序列存在相关，则称该序列存在j阶自阶自 相关。相关。 j=1时，称之存在时，称之存在1阶自相关，阶自相关，j=2时，则为存在时，则为存在2阶阶 自相关。自相关。 t x tj x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第5 5页页 若违背这个假定，若违背这个假定， Cov(ut , us)0，即，即u在不同观测点下的在不同观测点下的 取值相关连，则称随机误差项取值相关连，则称随机误差项u存在存在序列相关序列相关（Series Correlation）或自相关（）或自相关（Aut

8、ocorrelation） 。 在时间序列回归中，经典线性回归模型的假定在时间序列回归中，经典线性回归模型的假定TS.5和和 TS. ，都假定随机误差项相互之间不存在序列自相关，即，都假定随机误差项相互之间不存在序列自相关，即 Cov(ut , us)=0 (t s, t,s=1,2, ,n) 6 自相关的程度用自相关系数表示。为了不与自回归系自相关的程度用自相关系数表示。为了不与自回归系 数数 混淆，本节用符号混淆，本节用符号 表示自相关系数。表示自相关系数。 随机误差项随机误差项 与滞后一期的与滞后一期的 的自相关系数为的自相关系数为 r t u 1t u )var()var( ),cov

9、( 1 1 tt tt uu uu (10.2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第6 6页页 (10.2)式定义的自相关系数与普通相关系数的公式形式相同，式定义的自相关系数与普通相关系数的公式形式相同， 的取值范围为的取值范围为 。由于式中。由于式中 ut-1是是ut滞后一滞后一 期的随机误差项，因此，将上式计算的自相关系数期的随机误差项，因此，将上式计算的自相关系数 称为一称为一 阶自相关系数。阶自相关系数。 r 11 r r 根据自相关系数的符号可以判断自相关的状态，如果根据自相关系

10、数的符号可以判断自相关的状态，如果 0，则，则ut与与ut-1为正相关；如果为正相关；如果 =0，则，则ut与与ut-1为不相关；为不相关； r r r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第7 7页页 二、自相关产生的原因二、自相关产生的原因 （一）解释变量的遗漏或省略解释变量的遗漏或省略 自相关问题是利用时间序列数据构建结构模型自相关问题是利用时间序列数据构建结构模型(因果关系因果关系 模型模型)时面临的主要问题。自相关产生的原因很多，主要有：时面临的主要问题。自相关产生的原因很多，主要有

11、： 如果模型中省略了某些应该被包含到模型中的重要如果模型中省略了某些应该被包含到模型中的重要 解释变量，会产生系统误差，这种误差存在于随机误差解释变量，会产生系统误差，这种误差存在于随机误差 项中，从而带来了误差项自相关。项中，从而带来了误差项自相关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第8 8页页 这种由于设定误差造成的自相关，在计量经济分析中经常这种由于设定误差造成的自相关，在计量经济分析中经常 可能发生。例如，本来应该用两个解释变量去解释可能发生。例如，本来应该用两个解释变量去解释y，

12、即，即 01122tttt yxxv(10.3) 而建立模型时，模型设定为而建立模型时，模型设定为 011ttt yxu (10.4) 这样，这样， 的影响在便归入到随机误差项的影响在便归入到随机误差项ut中，由于中，由于x2t在在 不同观测点上是相关的，就造成了不同观测点上是相关的，就造成了ut是自相关的。是自相关的。 2tt xy对 在自回归模型中，由于随机变量的动态过程没有被完整设定，在自回归模型中，由于随机变量的动态过程没有被完整设定， 也会导致误差项序列相关。例如，也会导致误差项序列相关。例如，“真实真实”的模型是的模型是AR(2): 01122tttt yyyu 2 . .(0,)

13、 tu uiid 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第9 9页页 但我们设定的回归方程是但我们设定的回归方程是AR(1)： 011ttt yyv 显然显然 21ttt vyu 由于时间序列由于时间序列 是是AR(2)过程，所以，误差项肯定表现为自过程，所以，误差项肯定表现为自 相关。相关。 t y 更为普遍的是，在建立回归模型时，总是要略去某些次要更为普遍的是，在建立回归模型时，总是要略去某些次要 的解释变量。如果略去的解释变量有一些存在自相关，它必的解释变量。如果略去的解释变量有一些存在自

14、相关，它必 然在随机项中反映出来，从而使随机项具有自相关性。然在随机项中反映出来，从而使随机项具有自相关性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1010页页 （二）回归模型函数形式设定错误（二）回归模型函数形式设定错误 若回归模型所采用的数学形式与所研究问题的真实若回归模型所采用的数学形式与所研究问题的真实 关系不一致，随机误差项就可能存在自相关。例如某些商关系不一致，随机误差项就可能存在自相关。例如某些商 品的销售量受季节的影响。设品的销售量受季节的影响。设y代表销售量，代表销售量，t

15、代表时间，代表时间， 则则y与与t的真实关系是周期函数形式。如果选用了线性函数的真实关系是周期函数形式。如果选用了线性函数 形式，其周期项就并入了误差项之中，误差项在时间上是形式，其周期项就并入了误差项之中，误差项在时间上是 相关的。相关的。 （三）原始数据的处理变换（三）原始数据的处理变换 在实证分析中，所用数据有的是由原始数据经过一定在实证分析中，所用数据有的是由原始数据经过一定 的变化处理得到的。的变化处理得到的。 例如有些季度数据来自于月度数据的平均，有些年度例如有些季度数据来自于月度数据的平均，有些年度 数据是由季度数据或者月度数据计算得到的，这种处理可数据是由季度数据或者月度数据计

16、算得到的，这种处理可 能会产生系统性信息使误差项产生自相关；能会产生系统性信息使误差项产生自相关； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1111页页 有时数据来源于某种特殊假定前提下的推测，例如想有时数据来源于某种特殊假定前提下的推测，例如想 要获得我国第五次人口普查要获得我国第五次人口普查(2000年年11月月1日日)与第六次人口与第六次人口 普查普查(2010年年11月月1日日)之间某年的人口数据，或者第六次人之间某年的人口数据，或者第六次人 口普查口普查(2010年年11月月1日日)之

17、后某年如之后某年如2012年的人口数据，就年的人口数据，就 需要运用一些假定与技术进行推测，这些技术会带来原始需要运用一些假定与技术进行推测，这些技术会带来原始 数据所没有的系统性信息导致自相关。数据所没有的系统性信息导致自相关。 另外，建模过程中有时需要对原序列进行变换，例如另外，建模过程中有时需要对原序列进行变换，例如 由水平形式变为一阶差分形式，原模型中使用原始数据误由水平形式变为一阶差分形式，原模型中使用原始数据误 差项不存在自相关，而差分变换后数据的误差项就可能导差项不存在自相关，而差分变换后数据的误差项就可能导 致自相关的产生。致自相关的产生。 因为，尽管因为，尽管 1 cov,)

18、0 tt u u （ 但但 1 cov,) tt uu （ 1 cov tt uu （， 12 ) tt uu 1 var t u （） 0 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1212页页 （四）（四） 经济变量的惯性作用经济变量的惯性作用 大多数的经济时间序列都有一个明显的特点，就是他大多数的经济时间序列都有一个明显的特点，就是他 们的惯性。由于经济变量的惯性，使得许多经济变量前后们的惯性。由于经济变量的惯性，使得许多经济变量前后 期总是相互关联的。例如期总是相互关联的。例如GDP、

19、价格指数、生产、就业和、价格指数、生产、就业和 失业等时间序列都呈现循环波动。在经济复苏时，大多数失业等时间序列都呈现循环波动。在经济复苏时，大多数 的经济序列数据从经济衰退的最低点逐年开始上升，这是的经济序列数据从经济衰退的最低点逐年开始上升，这是 由经济的内在规律驱动造成的。因此，在有关时间序列数由经济的内在规律驱动造成的。因此，在有关时间序列数 据的回归中，连续的观测值很可能是自相关的。据的回归中，连续的观测值很可能是自相关的。 如果被解释变量不同时期的取值是相关联的，也就是现如果被解释变量不同时期的取值是相关联的，也就是现 期的取值受上期或上几期取值的影响，即存在自相关。由期的取值受上

20、期或上几期取值的影响，即存在自相关。由 于被解释变量与随机项有相同的分布，被解释变量的自相于被解释变量与随机项有相同的分布，被解释变量的自相 关必然意味着随机项的自相关。关必然意味着随机项的自相关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1313页页 （五）误差项本身存在自相关（五）误差项本身存在自相关 在许多情况下，随机因素在许多情况下，随机因素(如洪水、瘟疫、战争、地震如洪水、瘟疫、战争、地震 等等)所产生的影响，常常持续很长时间。例如，严重的偶发所产生的影响，常常持续很长时间。例如，严重

21、的偶发 事件事件 (比如汶川地震、日本福岛核泄漏等比如汶川地震、日本福岛核泄漏等)不仅对当年的生不仅对当年的生 产、生活造成影响，而且也影响会持续到至少产、生活造成影响，而且也影响会持续到至少35年以后，年以后， 这样自然就导致了随机误差项的自相关，这种由偶发性事这样自然就导致了随机误差项的自相关，这种由偶发性事 件引起的自相关也称为件引起的自相关也称为“纯粹自相关纯粹自相关”。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1414页页 三、误差项自相关对回归的影响三、误差项自相关对回归的影响 如果

22、模型中的随机项存在自相关，仍然采用普通最小二如果模型中的随机项存在自相关，仍然采用普通最小二 乘法乘法OLS，会有以下后果：，会有以下后果： 1. 斜率系数斜率系数 依然是线性的和无偏的依然是线性的和无偏的，即，即 。 因为参数因为参数OLSE的线性和无偏性不需要的线性和无偏性不需要ut无自相关假定无自相关假定(假假 定定TS.5和和TS. )的支持。但的支持。但OLSE有效性、渐进有效性需要有效性、渐进有效性需要 TS.5和和TS. 的支持，所以自相关情况下，的支持，所以自相关情况下，OLSE不具备有不具备有 效性和渐进有效性，即效性和渐进有效性，即不具有最小方差性不具有最小方差性。 这说明

23、，当误差项存在自相关时，这说明，当误差项存在自相关时，OLSE不再是最佳不再是最佳 线性无偏估计量线性无偏估计量(BLUE)。一般情况下，参数估计值的真实。一般情况下，参数估计值的真实 方差会被低估，即使大样本与于事无补。方差会被低估，即使大样本与于事无补。 j () jj E 6 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1515页页 用来估计随机项的方差会严重低估真实的方差，进用来估计随机项的方差会严重低估真实的方差，进 而低估回归参数的方差公式和标准差，从而过高估计而低估回归参数的方差公

24、式和标准差，从而过高估计t统统 计量的值，夸大所估计参数的显著性，对本来不重要的计量的值，夸大所估计参数的显著性，对本来不重要的 解释变量可能误认为重要而被保留。这时通常的回归系解释变量可能误认为重要而被保留。这时通常的回归系 统显著性的统显著性的t 检验将失去意义。类似地，由于误差项自检验将失去意义。类似地，由于误差项自 相关，参数的相关，参数的OLSE是无效的，使得是无效的，使得F检验和检验和 检验不检验不 可靠可靠。 2 最小二乘最小二乘估计量的方差估计是有偏的估计量的方差估计是有偏的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研

25、室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1616页页 模型预测的精度决定于抽样误差和总体误差项的方差模型预测的精度决定于抽样误差和总体误差项的方差 。 抽样误差来自于对估计量抽样误差来自于对估计量 的精度，在自相关情形下，的精度，在自相关情形下， 的方差的最小二乘估计变得不可靠，由此必定加大抽样误的方差的最小二乘估计变得不可靠，由此必定加大抽样误 差。同时，在自相关情形下，对差。同时，在自相关情形下，对 的估计的估计 也会不可靠。由此可看出，影响预测精度的两大因素都因也会不可靠。由此可看出，影响预测精度的两大因素都因 自相关的存在而加大不确定性，使预测的置信区间不可靠，自相关的存在而加大不确定

26、性，使预测的置信区间不可靠， 从而降低了预测的精度。从而降低了预测的精度。 2 u j j 2 u 1/ 22 kTet u 3. 因变量的因变量的预测精度降低预测精度降低。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1717页页 第二节第二节 误差项自相关的检验误差项自相关的检验 随机误差项自相关问题的实质在于随机误差项随机误差项自相关问题的实质在于随机误差项 序序 列的前后数据具有相关性。但真实的列的前后数据具有相关性。但真实的 是无法观测的，是无法观测的， 与横截面数据的异方差分析类似，由于

27、残差与横截面数据的异方差分析类似，由于残差 可看作可看作 的估计值，我们可以利用从的估计值，我们可以利用从OLS法中得到的样本残差序列法中得到的样本残差序列 来判断误差项是否自相关问题。来判断误差项是否自相关问题。 下面介绍几种常用的自相关检验方法。下面介绍几种常用的自相关检验方法。 t u t u t e t u t e 一、图示检验法一、图示检验法 根据给定的样本数据，应用普通最小二乘法回归后，根据给定的样本数据，应用普通最小二乘法回归后， 求出残差求出残差 (t=1, 2, ,n) 。然后可采用两种绘图方法。然后可采用两种绘图方法。 t e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-

28、7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1818页页 （一）（一）绘制绘制et、et-1的散点图的散点图 做出做出 的散点图如图的散点图如图10-1。 如果大部分散点落在如果大部分散点落在、象限，如图象限，如图A所示。那么所示。那么 et和和et-1就是正相关，这表明随机项就是正相关，这表明随机项 存在正的自相关；存在正的自相关； 如果大部分点落在如果大部分点落在、象限，如图象限，如图B所示，那么所示，那么et 和和et-1就是负相关，这表明随机项就是负相关，这表明随机项 存在负的自相关。存在负的自相关。 et et-1 et et-1 A

29、 误差项一阶正自相关误差项一阶正自相关B 误差项一阶负自相关误差项一阶负自相关 12231 (,),(,),(,) nn eeeeee t u t u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第1919页页 （二）按照时间顺序绘制残差（二）按照时间顺序绘制残差et的图形的图形 做出做出et(t=1, 2, ,n)随时间随时间t变化的图形。如果随变化的图形。如果随t的变化的变化et并不并不 存在明显的规律性，则存在明显的规律性，则ut是非自相关的是非自相关的; 如果随着如果随着t的变化的变化et是几

30、个正的后面跟着几个负的，呈现较长是几个正的后面跟着几个负的，呈现较长 周期的循环，则周期的循环，则et(ut)之间存在正的自相关之间存在正的自相关(图图A)； 如果随着如果随着t的变化的变化et不断地改变符号，呈现锯齿型，则判定不断地改变符号，呈现锯齿型，则判定et 之间存在负自相关，表明之间存在负自相关，表明ut存在负自相关（图存在负自相关（图B）。）。 t etet t A 误差项一阶正自相关误差项一阶正自相关B 误差项一阶负自相关误差项一阶负自相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第

31、2020页页 二、解释变量严格外生条件下，误差项一阶自相关检验二、解释变量严格外生条件下，误差项一阶自相关检验 当时间序列回归方程的解释变量严格外生于误差项时当时间序列回归方程的解释变量严格外生于误差项时 (类似类似 的方程显然不符合要求的方程显然不符合要求)， 如果总体回归模型如果总体回归模型(PRF)的随机误差项的随机误差项 之间存之间存 在一阶自相关形式，可以写成如下的误差项一阶自回归方在一阶自相关形式，可以写成如下的误差项一阶自回归方 程，记为程，记为AR(1)： 01122tttt yyyu 12T uuu， ， ， ut= ut-1+vt （10.5) 其中，其中，为自回归系数，为

32、自回归系数，vt为满足高斯马尔科夫假定的随为满足高斯马尔科夫假定的随 机误差项。机误差项。 在大样本条件下，可以通过检验误差项自回归模型在大样本条件下，可以通过检验误差项自回归模型(10.5) 的斜率系数的斜率系数是否为是否为0，判断误差项是否存在自相关。一个，判断误差项是否存在自相关。一个 自然而然的思路是回归系数的显著性检验。自然而然的思路是回归系数的显著性检验。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2121页页 步骤如下：步骤如下： 1. 构造样本回归方程构造样本回归方程 01 1 t

33、 tkkt yxx 计算出残差计算出残差 iii eyy 2. 估计对应于估计对应于(10.5)的样本回归方程：的样本回归方程： 1 t t ee (10.6) (这个样本回归方程中也可以包括截距项，由此会对这个样本回归方程中也可以包括截距项，由此会对 的的t统统 计量产生些许影响，但不影响其渐进有效性计量产生些许影响，但不影响其渐进有效性) 自回归系数自回归系数 的计算公式如下：的计算公式如下： 1111 22 1111 ()()() ()() ttttttt tttt eeeee ee eeee 由于由于 1 0 T t t t e e T 1 2 1 0 1 T t t t e e T

34、在大样本情况下在大样本情况下 22 1tt ee 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2222页页 所以有所以有 22 111111 222 11111 1 ()()() ()() tttttttt tt t r ttttt tt ee eee eeeeee eeeee ee 其中其中 是自相关系数是自相关系数 的样本估计值。可以证明，的样本估计值。可以证明， 是总是总 体一阶自相关系数体一阶自相关系数 的一致估计量。可见，在大样本条件的一致估计量。可见，在大样本条件 下，一阶自回归系数大致

35、等于一阶自相关系数。下，一阶自回归系数大致等于一阶自相关系数。 r r r 3.检验回归系数检验回归系数的统计显著性。的统计显著性。 如果统计显著，可以认为随机误差项存在一阶自相关。方法如果统计显著，可以认为随机误差项存在一阶自相关。方法 是：是： 第一步，建立假设：第一步，建立假设： 01 :0,:0HH 第二步，计算检验统计量：第二步，计算检验统计量： ( ) t se 如果怀疑误差项存在异方差可以使用对异方差稳健的方差计如果怀疑误差项存在异方差可以使用对异方差稳健的方差计 算算 。( )se 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济

36、教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2323页页 第三步，统计推断。如果检验统计量第三步，统计推断。如果检验统计量t的绝对值大于给定显的绝对值大于给定显 著性水平著性水平(一般是一般是0.05)下的下的t检验临界值，则拒绝原假设，认检验临界值，则拒绝原假设，认 为随机误差项存在一阶自相关。为随机误差项存在一阶自相关。 这种方法无法用于隔期自相关的诊断，如季（月）度自相这种方法无法用于隔期自相关的诊断，如季（月）度自相 关关(即即 与与 或或 的自相关的自相关)的诊断。的诊断。 t u 4t u 12t u 三、古典假定下，误差项一阶自相关的三、古典假定下，误差项一阶自相关的DW检验检验

37、 德宾和沃森德宾和沃森(J.Durbin, G.S.Watson, 1951)提出了一种适提出了一种适 用于小样本的检验序列一阶自相关的方法，被称为用于小样本的检验序列一阶自相关的方法，被称为 DurbinWatson检验检验 (DW检验检验)。该方法的假定条件是：。该方法的假定条件是： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2424页页 1.1.解释变量解释变量x非随机变量非随机变量(固定回归元固定回归元)，且不含滞后被，且不含滞后被 解释变量，即自变量严格外生。解释变量，即自变量严格外生。

38、 ； 2. 随机误差项随机误差项ut为为一阶自回归形式一阶自回归形式：ut= ut-1+vt , 其中，其中，-11, 为为自回归系数自回归系数, vt 满足所有高斯马尔满足所有高斯马尔 科夫假定。科夫假定。 3. 原回归模型必须含原回归模型必须含截距项截距项，即只适用于有常数项的，即只适用于有常数项的 回归模型；回归模型； 4. 无无数据数据缺失缺失。 5. 假定误差项假定误差项 vt服从正态分布。服从正态分布。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2525页页 第一步，建立假设：第一步，

39、建立假设： 01 :0,:0HH 第二步，估计样本回归方程第二步，估计样本回归方程 ： 检验步骤如下：检验步骤如下： 01 1 t tkkt yxx 计算出残差计算出残差 iii eyy 第三步，定义第三步，定义DW统计量为统计量为 2 1 2 2 1 () T tt t T t t ee DW e 这个统计量的分子是残差的一阶差分平方和，分母是这个统计量的分子是残差的一阶差分平方和，分母是 残差平方和。由残差平方和。由 (10.7) 式可得式可得 (10.7) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教

40、研室第第2626页页 因为因为 ，所以，所以，0DW4。 ( (展开展开DW统计量统计量) )： 22 11 222 2 1 2 TTT tttt ttt T t t eee e e 随着序列长度增大随着序列长度增大 1 2 2 1 2 1 T tt t T t t e e DW e 1| DW T t t T t t T t t eee 1 2 2 2 1 2 2 所以所以 ) 1 (2)1 (2 2 2 1 2 1 T t t T t tt e ee 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第

41、2727页页 也就是说，也就是说，DW值越接近于值越接近于2，ut的自相关性越小；的自相关性越小；DW 值越接近于零，值越接近于零， ut 正自相关程度越高；正自相关程度越高；DW值越接近于值越接近于 4， ut 负自相关程度越高。负自相关程度越高。 二者对应关系如下：二者对应关系如下： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2828页页 第四步，第四步， DW统计量的使用统计量的使用 计算出来计算出来DW统计量的值，那么统计量的值，那么DW值到底在什么样的情值到底在什么样的情 况下，可以判定

42、况下，可以判定 自相关呢？德宾和瓦特森根据样本容自相关呢？德宾和瓦特森根据样本容 量和解释变量的数目，在给定显著性水平下，建立了检验量和解释变量的数目，在给定显著性水平下，建立了检验 的下临界值的下临界值 与上临界值与上临界值 (参见附表参见附表)。 t u L d U d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第2929页页 当当DW(4 dL)时时,拒绝原假设拒绝原假设 H0:=0 ；接受备择假设；接受备择假设 H1:0， ut 存在一阶负自相关。存在一阶负自相关。 当当dUDW(4dU)时

43、时,接受原假设接受原假设H0:=0, ut不存在自相关。不存在自相关。 当当dLDWdU 或或 (4dU)DW(4dL)时，则这种检验没有时，则这种检验没有 结果，即结果，即ut是否存在自相关，不能确定。是否存在自相关，不能确定。 DW 4- dU 4 2 dU dL 4-dL 正 自正 自 相关相关 不 能不 能 确定确定 无 自无 自 相关相关 不 能不 能 确定确定 负 自负 自 相关相关 0 DW检验的准则如下：检验的准则如下： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3030页页 DW

44、检验是检验自相关的常用方法，许多计量经济学软件检验是检验自相关的常用方法，许多计量经济学软件 和统计软件都提供和统计软件都提供DW值。但值。但DW检验检验 有其局限性：有其局限性： DW检验仅适用于一阶自回归。检验仅适用于一阶自回归。 DW检验有着两个不能确定的区域。一但检验有着两个不能确定的区域。一但DW值落在值落在 这两个区域，就无法确定是否存在自相关。在这种这两个区域，就无法确定是否存在自相关。在这种 情况下，只有通过增加样本观测值或选取其它的样情况下，只有通过增加样本观测值或选取其它的样 本，重新检验或采用别的检验方法。本，重新检验或采用别的检验方法。 DW检验仅适用于自变量严格外生的

45、回归模型，如检验仅适用于自变量严格外生的回归模型，如 果模型某些自变量非严格外生，例如以滞后因变量果模型某些自变量非严格外生，例如以滞后因变量 作自变量，如：作自变量，如： 即使即使ut存在自相关，存在自相关，DW值也经常接近于值也经常接近于2，DW 检验失效。检验失效。 011tttt yxyu ： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3131页页 德宾证明，在无自相关的假设下，德宾证明，在无自相关的假设下，h近似服从标准正态分布，近似服从标准正态分布， 所以可以用标准正态分布对其显著性进

46、行检验。这个统计量所以可以用标准正态分布对其显著性进行检验。这个统计量 的缺点是，它并不是总能够计算出来，比如存在多个非严格的缺点是，它并不是总能够计算出来，比如存在多个非严格 外生变量时。外生变量时。 其中，其中， 和和 分别是模型中分别是模型中yt-1系数估计量的方差系数估计量的方差 和标准差和标准差,T是样本容量（长度）。是样本容量（长度）。 ( )se 四、自变量非严格外生条件下，误差项一阶自相关检验四、自变量非严格外生条件下，误差项一阶自相关检验 如前所述，如前所述，DW检验仅适用于自变量严格外生的回归模型。检验仅适用于自变量严格外生的回归模型。 如果模型中存在非严格外生的自变量，如

47、如果模型中存在非严格外生的自变量，如 011tttt yxyu 针对这个问题，德宾针对这个问题，德宾(J.Durbin,1970)设计了两种应对方法：设计了两种应对方法： 第一，使用调整的第一，使用调整的DW统计量，即德宾统计量，即德宾h统计量统计量(Durbins h Statistic): 2 )(1 ) 2 1 ( ) var(1 seT TDW T T h var( ) DW检验失效。检验失效。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3232页页 第二，一阶自回归方法。第二，一阶自回归

48、方法。 这种方法可以应用于含非严格外生自变量的回归方程，这种方法可以应用于含非严格外生自变量的回归方程， 而且对非严格外生自变量的个数没有限制，这是它优于德宾而且对非严格外生自变量的个数没有限制，这是它优于德宾 h统计量之处。检验步骤类似于自变量严格外生条件下，误统计量之处。检验步骤类似于自变量严格外生条件下，误 差项一阶自相关检验，都是在大样本条件下，检验误差项自差项一阶自相关检验，都是在大样本条件下，检验误差项自 回归模型回归模型(10.5)的斜率系数的斜率系数 是否为是否为0。 步骤如下：步骤如下： 1. 构造样本回归方程构造样本回归方程 01 1 t tkkt yxx 计算出计算出OL

49、S残差残差 iii eyy 2. 估计辅助回归方程：估计辅助回归方程： (10.8) 01 11 t tkktt exxe 与与(10.6)相比，相比，(10.8)中等号右边增加了非严格外生的中等号右边增加了非严格外生的 解释变量。解释变量。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3333页页 即允许即允许 与与 存在相关性，从而保证存在相关性，从而保证 在大样本在大样本 下，渐进服从下，渐进服从t分布。而分布。而(10.5)忽视了忽视了 与与 的相关性问的相关性问 题，所以在解释变量非严格外

50、生条件下无法使用。题，所以在解释变量非严格外生条件下无法使用。 3.利用常规的利用常规的t检验方法，检验回归系数检验方法，检验回归系数 的统计显著性。的统计显著性。 如果统计显著如果统计显著(即拒绝即拒绝 )，可以认为随机误差项存，可以认为随机误差项存 在一阶自相关。在一阶自相关。 如果怀疑误差项存在异方差可以使用对异方差稳健的如果怀疑误差项存在异方差可以使用对异方差稳健的 方差计算方差计算 。( )se 0 :0H j x 1t u () t se j x 1t u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量

51、经济教研室第第3434页页 五、误差项高阶自相关的布殊五、误差项高阶自相关的布殊-戈弗雷检验（戈弗雷检验（BG检验）检验） 上述几种检验方法均是对误差项一阶自相关的检验。布上述几种检验方法均是对误差项一阶自相关的检验。布 殊殊(Breusch)和戈弗雷和戈弗雷(Godfrey)将自变量非严格外生条件下将自变量非严格外生条件下 的一阶自相关检验扩展到高阶自相关，使其适用于误差项服的一阶自相关检验扩展到高阶自相关，使其适用于误差项服 从从AR(p)或或MA(q)的情况，被称为布殊戈弗雷检验的情况，被称为布殊戈弗雷检验 （Breusch-Godfrey Test)，简称，简称BG检验。检验。 01

52、1ttkktt yxxu 1122tttptpt uuuuv 012 :0 p H 对于模型对于模型 设随机误差项存在设随机误差项存在p阶自相关：阶自相关： (vt满足古典假定满足古典假定) 检验假设是检验假设是(不存在不存在p阶自相关阶自相关) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3535页页 012 :0 p H BG检验步骤如下：检验步骤如下： 检验假设是检验假设是 1. 用用OLS估计样本回归方程估计样本回归方程 2. 将将 对解释变量和残差的滞后值对解释变量和残差的滞后值 进行进行

53、 回归，估计辅助回归方程：回归，估计辅助回归方程： (不存在不存在p阶自相关阶自相关) 01 1 t tkkt yxx 计算出计算出OLS残差残差 iii eyy 12 , tttp eee t e 01 11122 t tkktttp tp exxeee 如果确知某个如果确知某个(些些)解释变量严格外生，可以将其从等号解释变量严格外生，可以将其从等号 后面省略掉。后面省略掉。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3636页页 注意：实际应用时，可以从注意：实际应用时，可以从1阶，阶，2阶阶

54、逐次向高阶检验。逐次向高阶检验。 EViews的残差分析中有的残差分析中有BG检验的选项，所以使用也比较方便。检验的选项，所以使用也比较方便。 3.自相关检验。自相关检验。 有两种检验方法，其一是对假设有两种检验方法，其一是对假设 作作F检验。检验。 012 :0 p H 其二是计算这个辅助回归模型的决定系数其二是计算这个辅助回归模型的决定系数 ，布罗施和，布罗施和 戈弗雷证明了误差项不存在戈弗雷证明了误差项不存在p阶自相关的原假设下（要求阶自相关的原假设下（要求 大样本），大样本）， 渐进服从渐进服从 (其中的其中的T为样本容为样本容 量量)，从而可以对原假设进行，从而可以对原假设进行 检验

55、。由于检验。由于 检验基于拉检验基于拉 格朗日乘数原理，所以后一种方法也被称为拉格朗日乘数格朗日乘数原理，所以后一种方法也被称为拉格朗日乘数 检验（检验（LM Test）。）。 2 R 2 () LMTp R)( 2 p 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3737页页 第三节第三节 误差项自相关问题的处理误差项自相关问题的处理 通过检验，如果确定模型的随机误差项通过检验，如果确定模型的随机误差项 存在自相关，存在自相关， 就应对产生自相关的原因进行分析。就应对产生自相关的原因进行分

56、析。 如果自相关是由于模型中省略某些解释变量造成的如果自相关是由于模型中省略某些解释变量造成的,那么那么 就应根据经济理论找出被省略的解释变量，将它包含在模型就应根据经济理论找出被省略的解释变量，将它包含在模型 之中。如果自相关是由于错误地确定模型的函数形式造成的，之中。如果自相关是由于错误地确定模型的函数形式造成的， 比如说本来是非线性关系而错误地确定为线性关系，那么就比如说本来是非线性关系而错误地确定为线性关系，那么就 应该修正模型的函数形式。应该修正模型的函数形式。 若排除了上述造成自相关的原因之后，经过自相关检验，随若排除了上述造成自相关的原因之后，经过自相关检验，随 机项机项 仍存在

57、自相关，则认为存在仍存在自相关，则认为存在“纯粹纯粹”的自相关。的自相关。 t u t u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3838页页 前面已经讨论过误差项自相关的后果，知道前面已经讨论过误差项自相关的后果，知道OLSE不再不再 有效，就需要对自相关进行修正。本节仅针对解释变量严格有效，就需要对自相关进行修正。本节仅针对解释变量严格 外生条件下，误差项存在一阶自相关的情况讨论补救方法。外生条件下，误差项存在一阶自相关的情况讨论补救方法。 一、一、 已知的广义差分回归已知的广义差分回归

58、01 (1,2,) ttt yxutT 其中其中, ut具有一阶自回归形式具有一阶自回归形式: ut= ut-1+vt vt满足古典假设满足古典假设, 为简单起见，仍以一元线性模型为例。设模型为为简单起见，仍以一元线性模型为例。设模型为 (10.9) 11 如果如果(10.9)在在t时刻成立，则在时刻成立，则在(t-1)时刻也成立，即时刻也成立，即 11101 ttt uxy(2,3, )tT(10.10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室第第3939页页 10111ttt yxu 假设假设

59、 已知已知, 将将 乘以乘以(10.10)式两边式两边得：得： (10.11) (10.9)减减(10.11)，得：得： 1011 (1)() ttttt yyxxv (10.12) * 11 ,(2, ) tttttt yyyxxxtT 其中其中 1 ttt uu 作数据变换：作数据变换： (10.13) (10.13)式的变换，称为广义差分变换，或准差分变换式的变换，称为广义差分变换，或准差分变换 (Quasi-Differenced Transform)。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-7-12021-7-1山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教

60、研室第第4040页页 在进行广义差分变换时，解释变量在进行广义差分变换时，解释变量x与被解释变量与被解释变量y均均 以广义差分形式出现，因而样本容量由以广义差分形式出现，因而样本容量由T减为减为T-1，即丢失，即丢失 了第一个观测值。如果样本容量较大，减少一个观测值对了第一个观测值。如果样本容量较大，减少一个观测值对 估计结果影响不大。但是，如果样本容量较小，则会对估估计结果影响不大。但是，如果样本容量较小，则会对估 计量的计量的BLUE性质产生不利影响。此时，可采用普莱斯性质产生不利影响。此时，可采用普莱斯-温温 斯顿变换斯顿变换(Prais-Winsten Transform)，将第一个观