2022届高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 两个计数原理、排列与组合教案 北师大版

1、2022届高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 两个计数原理、排列与组合教案 北师大版2022届高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 两个计数原理、排列与组合教案 北师大版年级：姓名：计数原理、概率、随机变量及其分布全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1道小题或者1道解答题，分值占517分2.考查内容计数原理常与古典概型综合考查；几何概型均以选择题的形式单独考查；对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项；对正态分布的考查，可能单独考查也可能在解答题中出现；以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的

2、热点题型.两个计数原理、排列与组合考试要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法结论完成这件事共有nm1m2mn种方法完成这件事

3、共有nm1m2mn种方法2排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组3排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式an(n1)(n2)(nm1)c性质an！，0！1cc，ccc一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)kcnc

4、.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有_种；若从每一层中各取1本书，不同的取法有_种16120书架上共有35816本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法；若从每层中各取1本书，共有358120种不同取法2用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为_48末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有ac432248个36把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_24“插空法”，先排3个空位

5、，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为a43224.4五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种(用数字作答)4554五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性 考点一两个计数原理的综合应用 利用两个基本计数原理解决问题的步骤1用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，

6、这样的四位数一共有_个(用数字作答)1 080当不含偶数时，有a120个，当含有一个偶数时，有cca960个，所以这样的四位数共有1 080个2.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形a，b，c，d中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种72法一：首先涂a有4种涂法，再涂b有3种涂法，c与a，b相邻，则c有2种涂法，d只与c相邻，则d有3种涂法，所以共有432372种涂法法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时a有4种涂法，b有3种涂法，c有2种涂法，d有1种涂法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时a，b，c的涂法有43224(种)，d只要不与c

7、同色即可，故d有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种)3.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答)40把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8个由分类加法计数原理知，共有32840(个)4甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为_805日至

8、9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9，有3天是奇数日，2天是偶数日第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有224(种)；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有32212(种)，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有238(种)，共计12820(种)根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为42080.点评：(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成(2)较复杂的问题可借助图表来完成(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是

9、否可以使用同类元素 考点二排列问题 求解排列应用问题的六种常用方法典例13名女生和5名男生排成一排(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有a种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有a种排法，因此共有aa4 320种不同排法(2)(插空法)先排5名男生，有a种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，

10、有a种排法，因此共有aa14 400种不同排法(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有a种排法，剩余的位置没有特殊要求，有a种排法，因此共有aa14 400种不同排法法二：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有a种排法，其余位置无限制，有a种排法，因此共有aa14 400种不同排法. (4)8名学生的所有排列共a种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为a20 160.(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置法一：(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有a种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有a种而乙可排在

11、除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有a种，其余人全排列，共有aaa种不同排法由分类加法计数原理知，共有aaaa30 960种不同排法法二：(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有a种排法，余下7个位置全排，有a种排法，但应剔除乙在最右边时的排法aa种，因此共有aaaa30 960种排法法三：(间接法)8名学生全排列，共a种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有a种排法，乙在最右边时，有a种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有a种排法因此共有a2aa30 960种排法点评：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优

12、先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法17人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()a120b240 c360d480c第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有345636

13、0种方法2把5件不同的产品摆成一排，若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有_种36(捆绑法和插空法的综合应用)记其余两种产品为d，e.将a，b视为一个元素，先与d，e进行排列，有aa种方法，再将c插入，每种排列均只有3个空位可选， 故不同的摆法共有aa326336(种)3现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种(用数字作答)8先安排甲，其选座方法有c种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有a种，所以共有坐法

14、种数为ca428种 考点三组合问题 组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解典例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法

15、有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有c561(种)，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有c种或者ccc5 984(种)所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有cc2 100(种)所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有cc种，选取3种假货有c种，共有选取方式ccc2 1004552 555(种)所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3种的总数为c，选取3种假货有c种，因此共有选取方式cc6 5454556 090(种)所以至多有2种

16、假货在内的不同的取法有6 090种点评：含有附加条件的组合问题通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解1某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()a30种b36种 c42种d48种c若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有c种选法，9日、10日有cc种安排方法，共有ccc24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有ccc种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有cc6(种)安排方法所以总共有2412642(种)安

17、排方法2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()a232b252 c472d484c分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有cc264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有c3c22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法有264208472(种)3某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解

18、(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选故共有cc350种(2)两队长当选，共有cc165种(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选故共有cccc825种(或采用排除法：cc825(种)(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选故选法共有ccccc966种 考点四分组、分配问题分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：完全均匀分组，每组元素的个数都相等；部分均匀分组，应注意不要重复；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题

19、，常见的分配方法有三种：相同元素的分配问题，常用“挡板法”；不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；有限制条件的分配问题，采用分类求解整体均分问题 典例31国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法90先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有a6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有a90种分派方法点评：本题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以a(n为均分的组数)，避免重复计数部分均分问题 典例32将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)1 560把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有20(种)；有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有45(种)所以不同的分组方法共有204565(种)然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65a1 560(种)点评：本题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样