高等流体力学—伯努力积分和动量定理

1、1 第六章 伯努力积分和动量定理 2 第一节 伯努力积分和拉格朗日积分 理想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及 无旋两种特殊情形下可以积分出来，得到伯努力拉格朗日 积分方程。 理想流体兰勃葛罗米柯形式的运动方程为： divPF dt dv vrotv V grad t v dt dv 2 2 3 将本构方程代入运动方程 z w y v x u x u ppxx 3 2 2 z w y v x u y v ppyy 3 2 2 z w y v x u z w ppzz 3 2 2 y u x v pxy z u x w pxz z v y w pyz divPF dt dv 4 )

2、( 3 vgradvgradpF dt dv 对理想流体：0 gradpF dt dv 1 vrotv V grad t v dt dv 2 2 gradpFvrotv V grad t v 1 2 2 5 正压流体：内部任一点的压力只是密度的函数的流体。若流 体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例如 温度等）有关，则称为斜压流体。 质量力有势：即质量力是一单值函数的势函数，满足 下式： VgradF gradgradp 1 dp 定义： V 则运动方程变为： gradVgradvrotv V grad t v 2 2 6 0 2 2 vrotvV V grad t v 对于定常流

3、动：0 t v 0 2 2 vrotvV V grad s 流线 对流线上任一点的切线 求单位向量得： V v s a) 伯努力积分 7 将此式两边点乘单位矢量s得： 0 2 2 vrotv V v V V grads 0 0 2 2 V V grads 0 2 2 vrotvV V grad 在切线方向的方向导数 0 2 2 V V s 8 沿流线积分，得： C是积分常数，在不同的流线上取不同值，是流线的号码 CV V 2 2 对不可压缩均质流体：为常数 pdp 流体所受质量力只有重力时： VgradzgF 9 g z V 积分得： gzV CV V 2 2 pdp C p gz V 2 2

4、 1 2 2 C p z g V 10 伯努力方程的物理意义：沿流线总能量守恒 速度头 压力头 位势头 11 伯努力方程的适用条件： 理想，正压，质量力有势 不可压缩均质流体 定常流动 C p gz V 2 2 12 b) 拉格朗日积分 0 2 2 vrotvV V grad t v 理想，正压，质量力有势无旋流动 0rotv 速度场有势，存在势函数 gradv 0 2 2 V V grad t grad 13 梯度是对空间坐标的导数，是对时间的导数，空间与 时间是相互独立的变数，因此微分号可以对调，得： t grad t grad 0 2 2 V V grad t grad 0 2 2 V

5、V t grad t 14 )( 2 2 tfV V t 对于某一固定时刻，f(t)在整个流场中采取同一常数值。 对于不可压缩流体，只受重力时： )( 2 2 tf p gz V t c) 对于理想、正压的、质量力有势，不可压缩流体，定常流动 且无旋，只受重力时，得到伯努力拉格朗日积分方程： C p gz V 2 2 对流场中各点和各个时刻取同一常数值 15 d) 实际流体的伯努力方程 w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 hw代表由位置1到位置2单位质量的流体沿流线的能量损失 16 d) 实际流体的总流的伯努力方程 近似认为在各流动截面上流速分布均匀，可以用平

6、均流速 代替不同流线上的流速，条件是流动处于缓变流状态 w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 平均流速 平均流速 17 缓变流：在流道中各流线之间的夹角很小，流线趋于平行， 且流线的曲率很小，流线都近似于直线。 1可忽略惯性力，在流动过程中只受重力 2在垂直流动方向的截面上无速度分布，压力分布规律 与静水压力分布一致。 3在流场中只有法向应力，而无剪切应力。 18 实际流体总流的伯努力方程适用条件： 不可压缩均质流体 定常流动缓变流 19 第三节伯努力方程的实际应用 a) 小孔出流 连续性方程： BBAA VSVS 1 A B B A S S V V 0 A V

7、近近似似认认为为 20 a) 小孔出流 伯努力方程： 0 ppp BA wAB B hgzgz V 2 2 wBA B hzzg V )( 2 2 ghhghV wB 222ghSQ B 2 流流量量系系数数: 21 b) 驻点压力 忽略重力影响，沿O点的流 线建立伯努力方程： o ppV 2 2 动压静压总压 22 风速管Pitot tube(1732) 最简单的估算公式： )(2 pp V o h h gh h V 4 205. 1 8 . 92 2 2 水水 OmmHh 2 23 c) 文丘里管(Venturi tube) QVSVS 2211 hw pVpV 2 2 21 2 1 22

8、 忽略能量损失得： 2 1 2 2 2 2 1 2 212 1 22S S VVVppp 2 1 2 2 2 2 1 2S S S Q 24 喉部的静压： 2 1 2 2 2112 1 2S S Vpppp 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 11 2 1 2SS Qp S S S Q p 122 ppS可可大大大大低低于于足足够够小小，则则足足够够大大，Q 25 文丘里管的工业应用 文丘里式除尘器 26 作业：P299第4题 27 第四节动量定理及其应用 SpFSvv t v nSS n )( 积分形式的动量方程 对于流体边界上属于整体性的特征量，例如运动的流体 对于边界的作

9、用力等，可以利用积分形式的动量方程根 据边界条件直接求解，而不需要求助于解微分方程。 动量方程 SpFv dt d nS 28 第四节动量定理及其应用 SpFSvv t v nSS n )( 积分形式的动量方程 面积分体积分面积分 定常运动时： SpFSvv nSS n 29 面积分体积分面积分 不可压缩均质流体：常数 SpFSvv nSS n 质量力有势：即质量力是一单值函数的势函数，满足 下式： VgradF V dSnVdVF s 体积分 面积分 奥高定理 30 控制面S可自由选取，对于特定的控制面形状，很 容易利用上式及边界条件直接积分 SpSnVSvv nSsS n a) 小孔出流的

10、反推力及收缩比计算 (1) 质量力只有重力； (2) 只有水平方向的速度； xn SxS n SpSvv 31 认为在出口截面上速度均匀分布 为小孔出流的收缩系数：实际形 成的出流面积与孔口截面积之比 j xS n SVSvv 2 ghV2 B j S S B xS n ghSSvv2 32 为小孔出流的收缩系数：实际形 成的出流面积与孔口截面积之比 x BC B xn S RghSdSppSp )( 0 B xS n ghSSvv2 5 . 0 33 a) 小孔出流的应用 34 b) 火箭发动机推动力计算 (1) 设气体是理想的、定常运动且重力可忽略 (2) 只有运动方向上有支反力作用； 动

11、量定理的表达：单位时间动量的变化等于合外力 35 b) 圆管突然扩大的能量损失 (1) 不可压缩流体、定常运动且重力可忽略 (2) 忽略粘性的作用； 36 b) 圆管突然扩大的能量损失 实际流体的伯努力方程为： w hp V p V 2 2 2 1 2 1 22 w hpp VV 21 2 2 2 1 22 37 b) 圆管突然扩大的能量损失 对控制面ABCDEFGH应用动量定理 2211 SVSV SpSvv nSS n 1 2 12 2 2 SVSVSvv S n 连续性方程： )( 1222 VVSVSvv S n 38 b) 圆管突然扩大的能量损失 对控制面ABCDEFGH应用动量定理SpSvv nSS n 221111 SpSpSpSpSp GHCD nS 21 SSSS GHCD 221 )(SppSp nS 39 b) 圆管突然扩大的能量损失 221 )(SppSp nS SpSvv nSS n )( 1222 VVSVSvv S n )( 12221 VVVpp 40 b) 圆管突然扩大的能量损失 )( 12221 VVVpp w hpp VV 21 2 2