第9章 热力学第二定律

1、1 热力学宏观过程的方向性热力学宏观过程的方向性 第第9章章 热力学第二定律热力学第二定律 The Second Law of Thermodynamics Spontaneous heat flow always goes from a body at higher temperature to a body at lower temperature. Beyond Energy Conservation never spontaneously to turn into hot tea in ice cubes 9.1 热力学第二定律的表述热力学第二定律的表述 2 The Kelvin st

2、atement：It is impossible to construct a cycle engine that converts thermal energy from a body into an equivalent amount of mechanical work without a further change in its surroundings. 第二类永动机不可能制成。第二类永动机不可能制成。 The Clausius statement. It is impossible to construct a cyclic engine whose only effect is

3、 to transfer thermal energy from a colder body to a hotter body. 热量不可能自动地从低温物体传到高温物体去。热量不可能自动地从低温物体传到高温物体去。 热力学第二定律热力学第二定律 的两种表述的两种表述he Second Law of Thermodynamics 9.1 热力学第二定律的表述热力学第二定律的表述 3 证明热力学第二定律两种表述的一致性：证明热力学第二定律两种表述的一致性： Q Q=W W Q2 Q+Q2 Q2 Q2 如果开尔文表述不成立，则克劳修斯表述也不成立。如果开尔文表述不成立，则克劳修斯表述也不成立。 高高

4、 温温 热热 源源 T1 低低 温温 热热 源源 T2 9.1 热力学第二定律的表述热力学第二定律的表述 4 高高 温温 热热 源源 T1 低低 温温 热热 源源 T2 W Q2 Q1=Q Q Q Q- Q2 W 如果克劳修斯表述不成立，则开尔文表述也不成立。如果克劳修斯表述不成立，则开尔文表述也不成立。 9.1 热力学第二定律的表述热力学第二定律的表述 5 例例 9-6 试证在试证在p-V 图上两绝热线不相交图上两绝热线不相交 证：证： 反证法反证法 若两绝热线相交于点若两绝热线相交于点A 则作等温线与两绝热线则作等温线与两绝热线 相交于相交于B,C 循环循环BCAB，从单一热源吸收热量，使

5、它完全从单一热源吸收热量，使它完全 转变为功，而不引起其他变化，违反转变为功，而不引起其他变化，违反热力学第热力学第 二定律，所以是不可能的。二定律，所以是不可能的。 在在p-V 图上两绝热线不相交图上两绝热线不相交 o V p dT=0 B C A 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 6 设在某一过程设在某一过程P中，系统从状态中，系统从状态A变化到状态变化到状态B。 如果能使系统进行逆向变化，从状态如果能使系统进行逆向变化，从状态B回复到初状态回复到初状态 A，而且在回复到初态，而且在回复到初态A时，周围的一切也都各自时，周围的一切也都各自恢恢 复原状复原状，过程，过程P就称

6、为就称为可逆过程可逆过程(reversible)； 。 如果系统不能回复到原状态如果系统不能回复到原状态A，或者虽能回复到，或者虽能回复到 初态初态A，但周围一切不能恢复原状，那么过程，但周围一切不能恢复原状，那么过程P称为称为 不可逆过程不可逆过程(irreversible)； 。 可逆机：可逆机：能产生可逆循环过程的机器。能产生可逆循环过程的机器。 不可逆机：不可逆机：不能产生可逆循环过程的机器。不能产生可逆循环过程的机器。 热力学过程的不可逆性 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 7 例如准静态等温膨胀过程是可逆过程例如准静态等温膨胀过程是可逆过程 系统回复原状，周围一切也

7、恢复原状，是可逆过程。系统回复原状，周围一切也恢复原状，是可逆过程。 可逆过程可逆过程 Reversible 无摩擦无摩擦的准静态过程是可逆过程。的准静态过程是可逆过程。 p V o (pi,Vi) T (pf,Vf) 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 8 热传导热传导（Heat conduction） T1 T2 Q 热量由高温物体传向低温物体的过程是不可逆的热量由高温物体传向低温物体的过程是不可逆的 小温差热传导可逆小温差热传导可逆 实际的热力学过程的不可逆性实际的热力学过程的不可逆性irreversible 热传导的不可逆性（克劳修斯表述）导致热传导的不可逆性（克劳修斯表

8、述）导致 大温差供热不可逆大温差供热不可逆 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 9 功热转换功热转换 通过摩擦而使功变热的过程通过摩擦而使功变热的过程 是是不可逆的不可逆的； 或，热不能自动转化为功；或，热不能自动转化为功； 或，唯一效果是热全部变成或，唯一效果是热全部变成 功的过程是不可能的。功的过程是不可能的。 功功热转换的不可逆性热转换的不可逆性。 -KelvinKelvin表述表述 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 10 快速做功快速做功 VpA 1 VpA 2 外界对气体作了净功外界对气体作了净功 12 AA 故快速做功过程为不可逆过程故快速做功过程为不

9、可逆过程 V p V p 过程无限慢过程无限慢 21 AVpA可逆过程可逆过程 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 11 气体自由膨胀过程的不可逆性气体自由膨胀过程的不可逆性 气体向真空中绝热自由膨胀的过程是不可逆的。气体向真空中绝热自由膨胀的过程是不可逆的。 非平衡态到平衡态的过程是不可逆的非平衡态到平衡态的过程是不可逆的 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 12 Fig. 1. Reversible adiabatic expansion. Fig. 2. Adiabatic Free Expansion Fig. 3. Expansion into a vac

10、uum from a constant pressure atmosphere. 0 0 0 0 dQ dA dE dT 0 0 0 dQ dE dT 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 13 摩擦和耗散摩擦和耗散 活塞运动时，活塞与缸壁的摩擦活塞运动时，活塞与缸壁的摩擦, ,气体与缸壁气体与缸壁 的摩擦，这都需要消耗一定的功，这部分功通的摩擦，这都需要消耗一定的功，这部分功通 过摩擦全部转化为热，因此由于摩擦，使热力过摩擦全部转化为热，因此由于摩擦，使热力 学过程成为不可逆过程。学过程成为不可逆过程。 实际热力学过程中传热、作功都是在有限温差实际热力学过程中传热、作功都是在有限

11、温差 和压强差下发生的，同时各种摩擦和损耗又不可和压强差下发生的，同时各种摩擦和损耗又不可 避免，所以实际热力学过程都是不可逆过程！避免，所以实际热力学过程都是不可逆过程！ 9.2 可逆过程和不可逆过程可逆过程和不可逆过程 14 热力学第二定律的实质在于指出，一热力学第二定律的实质在于指出，一 切与热现象有关的实际宏观过程都是不可切与热现象有关的实际宏观过程都是不可 逆过程。逆过程。 无摩擦的准静态过程是可逆过程。无摩擦的准静态过程是可逆过程。 非平衡态到平衡态的过程是不可逆的非平衡态到平衡态的过程是不可逆的 自发过程（孤立系统中发生的过程）具有方自发过程（孤立系统中发生的过程）具有方 向性。

12、向性。 9.3 卡诺定理卡诺定理 15 卡诺定理 1. All Carnot cycles that operate between the same two temperatures have the same efficiency. 可逆机效率相等，与可逆循环的种类和工作物质无关可逆机效率相等，与可逆循环的种类和工作物质无关 22 11 11 QT QT 2. The Carnot engine is the most efficient engine possible that operates between any two given temperatures. 22 11 11 Q

13、T QT 可逆 不可逆 9.3 卡诺定理卡诺定理 16 设可逆机设可逆机E，E 先证先证 不可能不可能 若若 则则 Q 证：证： 下面证明卡诺定理下面证明卡诺定理 (1) A 低低 温温 热热 源源 Q2 Q1 Q2 Q1 高高 温温 热热 源源 1212 11 QQQQ QQ 1122 ,QQQQ 22 11 QQ QQ 9.3 卡诺定理卡诺定理 17 违反违反克劳修斯表述的热力学第二定律克劳修斯表述的热力学第二定律 不可能。不可能。 类似的类似的也不可能！也不可能！ 所以只有所以只有 ！ 若若 则则 1212 11 QQQQ QQ 1122 ,QQQQ 22 11 QQ QQ 9.3 卡诺

14、定理卡诺定理 18 例例 9-8 核电厂，核反应热功率核电厂，核反应热功率1590MW，输电功率，输电功率540MW 水蒸气水蒸气556K，冷凝器，冷凝器313K，河水流量，河水流量 求电厂理想和实际效率，河水温度升高多少？求电厂理想和实际效率，河水温度升高多少？ 解解: 12 1 44% TT T 1 1 d d 34% d d A A t Q Q t 2 dd dd Qm cT tt 2 d d 11.1 C (4180J/kg K) Q t Tc cq kg/s1027. 2 4 m q 9.3 卡诺定理卡诺定理 19 9.3.2 克劳修斯不等式克劳修斯不等式 I. Clausius t

15、heorem V P D A B C T1 T2 卡诺定理卡诺定理1 Efficiency for Carnot cycle is 1 2 1 2 11 T T Q Q 0 2 2 1 1 T Q T Q 考虑放热考虑放热Q2为负为负 1 2 1 2 T T Q Q 9.3 卡诺定理卡诺定理 20 p V 0 T dQ 任一可逆循环（图示）任一可逆循环（图示） 任一任一 微小卡诺循环微小卡诺循环 12 12 0 ii ii QQ TT 可逆可逆 Clausius theorem 0 T dQ 不可逆不可逆 Clausius inequality 卡诺定理卡诺定理2：1 2 1 2 11 T T

16、 Q Q 9.4 熵熵 21 baba T dQ T dQ 21 a b 2 1 p V abba T dQ T dQ T dQ 21 0 baab T dQ T dQ 22 结论：结论：沿可逆过程的沿可逆过程的dQ/T的积分，只取决于始末状的积分，只取决于始末状 态，而与过程无关。因此可以认为存在一个新的态态，而与过程无关。因此可以认为存在一个新的态 函数，克劳修斯称这个态函数称为函数，克劳修斯称这个态函数称为“熵熵”S。 设可逆循环设可逆循环 a1b2a 9.4.1 熵的定义熵的定义Entropy as a Thermodynamic Variable 克劳修斯等式克劳修斯等式 9.4 熵

17、熵 22 b a T dQ SS 12 Entropy is defined by 物理意义：物理意义：系统从初态系统从初态 a变化到末态变化到末态b的过程中，的过程中， 系统熵的增量等于初态系统熵的增量等于初态 a 和末态和末态b之间之间任意一可逆任意一可逆 过程过程热温比的积分。热温比的积分。 T dQ dS Differential form： 9.4 熵熵 23 1. 理想气体的熵理想气体的熵 0 1 0 1 m, lnln V V R T T C V dddQEP V S TT 11 00 ,md d TV V TV CT V R TV 11 ,m,m 00 lnln VP PV C

18、C PV 11 ,m 00 lnln P Tp CR Tp 9.4.2 熵的计算熵的计算 求求1mol理想气体由初态（理想气体由初态（p0 ,T0 ,V0 ）经某一过程到达终态）经某一过程到达终态 （p1， T1， V1）的熵变。）的熵变。 9.4 熵熵 24 进一步分析进一步分析：试求：试求1mol理想气体由初态（理想气体由初态（T1V1）经某）经某 一过程到达终态（一过程到达终态（T2V2）的熵变，假定气体的定容摩）的熵变，假定气体的定容摩 尔热容尔热容CV为恒量。为恒量。 （T1V1） （T2V1） 等容升温等容升温 S1 （T2V1） （T2V2） 等温膨胀等温膨胀 S2 21 SSS

19、 1 2 1 ln 2 1T T C T dTC T dQ S V T T V 1 2 2 22 2 ln 112 1V V R V dV RT T dQ T S V V 法一法一 2 S 1 S 9.4 熵熵 25 （T1V1） （T1V2） 等温膨胀等温膨胀 S1 （T1V2） （T2V2） 等容升温等容升温 S2 法二：法二： 1 2 1 11 1 ln 112 1V V R V dV RT T dQ T S V V 1 2 2 ln 2 1T T C T dTC T dQ S V T T V 2 S 1 S 1 2 1 2 lnln V V R T T CS V 9.4 熵熵 26 1

20、 2 1 2 lnln V V R T T CS V 法三：法三： 2 1 dQdEpdV S TT 2 1 2 1 V dV R T dTCV 1 2 1 2 lnln V V R T T CV 1 2 1 2 1 2 1 2 lnlnlnln p p R T T C V V C p p CS ppV 9.4 熵熵 27 T S p V 11 ,m 00 lnln V TV SCR TV 11 ,m,m 00 lnln VP PV CC PV 11 ,m 00 lnln P Tp CR Tp 11 00 lnln VP SRR VP T0=T1等温等温 p 0 = p 1 等 压等 压 11

21、 ,m,m 00 lnln PP VT SCC VT V 0=V1等容 等容 11 ,m,m 00 lnln VV PT SCC PT S 0 9.4 熵熵 28 9.4 熵熵 29 设设 摩尔理想气体作摩尔理想气体作绝热的自由膨胀绝热的自由膨胀，最初其体积为，最初其体积为 V1，膨胀后的体积为，膨胀后的体积为V2，求过程的熵变。，求过程的熵变。 解：解： 设想气体的膨胀在可逆设想气体的膨胀在可逆 的的等温过程等温过程下进行。下进行。 pdVdQ T pdV T dQ S 2 1 1 2 ln V V V V R V dV RS RTpV 2.不可逆过程的熵变计算不可逆过程的熵变计算 9.4

22、熵熵 30 9.4.3 能量退化原理能量退化原理 能量品质能量品质 Q 高高 温温 热热 源源T1 低低 温温 热热 源源T0 0 1 (1) T AQ T Q 高高 温温 热热 源源T1 次高次高 温温 热热 源源T2 不可逆的热传导过程 T2 T2 2) ) 末态温度末态温度 9.5 熵增加原理熵增加原理 Entropy Increase 312 1 2 TTT 33 11 3 1 1 dd ln TT TT TQCm T SCm TTT 11 ,T c 22 ,T c )()( 2313 TTCTTC BA 0 9.5 熵增加原理熵增加原理 36 0 同样：同样： 33 11 3 1 1

23、 dd ln TT TT TQCm T SCm TTT 33 22 3 2 2 dd ln TT TT TQCm T SCm TTT 2 3 12 12 ln T SSSCm TT 2 12 12 ()1 ln 4 TT Cm TT 0 abba2 22 9.5 熵增加原理熵增加原理 37 T1 A T2 B dQ T1 T2 物体物体A的熵变：的熵变： 1 T dQ dS A 物体物体B的熵变：的熵变： 2 T dQ dS B 封闭系统的总熵变：封闭系统的总熵变： 12 T dQ T dQ dS 0 9.5 熵增加原理熵增加原理 38 因系统自由膨胀，系统因系统自由膨胀，系统 温度不变，可以

24、设想气温度不变，可以设想气 体的膨胀在可逆的等温体的膨胀在可逆的等温 过程下进行过程下进行。 2. 2. 理想气体作绝热的自由膨胀，由理想气体作绝热的自由膨胀，由V V1 1 变为 变为V V2 2 0 dP V T dQ S T PVRT 2 1 2 1 d ln V V VV SRR VV 9.5 熵增加原理熵增加原理 39 绝热系统中的不可逆过程绝热系统中的不可逆过程 A B 例例 9-14 等压泻流：绝热系统，中间固定等压泻流：绝热系统，中间固定 导热板（阀门），上面活塞（砝码，开始导热板（阀门），上面活塞（砝码，开始 容积相同，容积相同， A：单原子理想气体，：单原子理想气体， 温度

25、温度 T1， B:真空，后微微真空，后微微打开阀门，打开阀门，活塞下降活塞下降，达达 到平衡，求熵变。到平衡，求熵变。 设初态设初态V1, T1, p1 终 态终 态 : V 1 + V 0 , T 2 , p 解：解： 11 102 pVRT p VVRT 10,m21 V AP VVCTT 21 7 5 TT 设想一准静态等压升温过程设想一准静态等压升温过程 0 22 11 dd57 ln 25 TT P TT CTQ SR TT 9.5 熵增加原理熵增加原理 40 9.5.1 熵增加原理熵增加原理How Entropy Changes for Irreversible Processes

26、 V p 1 2 a b irrev rev For an irreversible cycle 0 T dQ Clausius inequality 1221 0 ba T dQ T dQ irrev T dQ SS 12 The difference in entropy between two points is greater than the integral of dQ/T over an irreversible change. Efficiency for an arbitrary cycle is 1 2 1 2 11 T T Q Q 9.5 熵增加原理熵增加原理 41 对于

27、微小过程对于微小过程 For adiabatic reversible process For dQ=0 irreversible process 绝热、孤立系统之熵永不减少。绝热、孤立系统之熵永不减少。热力学第二定律的数学表述。热力学第二定律的数学表述。 0S V p 1 2 a b irrev rev 0S d d Q S T d0S ( T 热源温度热源温度 ) 2 1 2 1 leirreversibreversible T dQ T dQ S The Entropy of an Isolated System Never Decreases. 9.5 熵增加原理熵增加原理 42 讨论

28、讨论 1. 熵是态函数熵是态函数 2. 自发过程是初态自发过程是初态 平衡被破坏，经一系列不平衡态平衡被破坏，经一系列不平衡态 最终达到新的平衡态最终达到新的平衡态 i i SS P V A B0 S C 0 S 平衡态的熵最大！平衡态的熵最大！ 非平衡态之熵非平衡态之熵 从初态出发绝热膨胀相同体积，从初态出发绝热膨胀相同体积， 若过程可逆，必沿（准静态）绝若过程可逆，必沿（准静态）绝 热线；若过程不可逆，必不沿热线；若过程不可逆，必不沿 （准静态）绝热线。（准静态）绝热线。 9.5 熵增加原理熵增加原理 43 3. 对于封闭或开放系统对于封闭或开放系统 对于孤立系统对于孤立系统 dSi熵产生

29、项熵产生项 dSe熵流项熵流项 对于任何系统对于任何系统 ie dddSSS i d0S e d0S d0S 9.5.2 熵流和熵产生 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 44 Increased entropy corresponds to a lost heat flow, and hence a lost ability to do work 9.6 Microscopic Interpretation of Entropy Classical examples of entropy increase Engines and Entropy 0 L L H H T

30、Q T Q H L T T 1 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 45 2 1 3 3 2 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3 9.6.1 热力学几率热力学几率 N粒子系统粒子系统 微观态微观态 ) , , ( 2111NN vrvrvr 宏观态宏观态),(TVp 宏观态所包宏观态所包 含的含的微观态微观态 数目称为该数目称为该 宏观态的热宏观态的热 力学概率。力学概率。 The Number of Ways and Probability 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 46 左左4，右，右0，状态数，

31、状态数1； 左左3，右，右1，状态数，状态数4 左左2，右，右2 状态数状态数6 左左0，右，右4，状态数，状态数1； 左左1，右，右3，状态数，状态数4 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 47 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 48 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 49 N=1023 ， 微观状态数目用微观状态数目用表示，表示， 则则 N/2Nn（左侧粒子数）（左侧粒子数） n 平衡态所包含的微观态数目最大平衡态所包含的微观态数目最大 在孤立系统中发生的自发过程总是从包含微观态在孤立系统中发生的自发过程总是从包含微观态

32、数目少数目少 的宏观态向含微观态的宏观态向含微观态数目多数目多的宏观态转变，或者说，从的宏观态转变，或者说，从 热力学热力学几率小几率小的宏观态向热力学的宏观态向热力学几率大几率大的宏观态过渡。的宏观态过渡。 热力学第二定律的统计意义热力学第二定律的统计意义 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 50 9.6.2 玻尔兹曼关系玻尔兹曼关系Entropy and Probability 孤立系统总是从热力学几率小的宏观态向热力学孤立系统总是从热力学几率小的宏观态向热力学 几率大的宏观态过渡。几率大的宏观态过渡。 孤立系统总是从非平衡态向平衡态过渡。孤立系统总是从非平衡态向平衡

33、态过渡。 孤立系统总是沿着熵增加的方向进行！孤立系统总是沿着熵增加的方向进行！ VAVB The chance of a particular molecule in the small box is B A V V Two molecules 2 )( B A V V NA molecules A N B A V V P )( In free expending 21 ln() B A V SSR V So PkSln 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 51 玻耳兹曼引入了熵的统计表述：玻耳兹曼引入了熵的统计表述： 墓铭誌墓铭誌 玻耳兹曼熵玻耳兹曼熵 （Entropy

34、）公式）公式 单位单位 J/K （在维也纳的中央（在维也纳的中央 坟场，玻耳兹曼的坟场，玻耳兹曼的 墓碑上没有墓志铭，墓碑上没有墓志铭， 只有玻耳兹曼的这只有玻耳兹曼的这 个公式）个公式） 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 52 信息熵浅谈信息熵浅谈 1、信息熵定义、信息熵定义 其中：其中：b=2比特（比特（bit), b=e纳特，纳特，b=10-dit b 11 ( ) ( )( )log( ) NN iiii ii SP x I xP xP x 信息量 每一英文字母的信息量每一英文字母的信息量 2 1 log4.7 26 I 每一中文字符的信息量每一中文字符的信息量

35、 2 1 log11.3 2500 I 信息熵为平均信息量信息熵为平均信息量 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 2. 信息熵信息熵与玻尔兹曼熵与玻尔兹曼熵 熵增熵增自然过程总是按有序变无序的方向进行自然过程总是按有序变无序的方向进行平衡态。平衡态。 熵增熵增消除人们对事物了解的不确定性消除人们对事物了解的不确定性确定；有序确定；有序 信息熵与热熵互为负量信息熵与热熵互为负量 若该系统仅有两种等概率状态，即若该系统仅有两种等概率状态，即 N = 2， 则系统相应的信息熵则系统相应的信息熵 S信 信 = ln2 =1 bit 相当相当 S热 热= k ln2 = 0.975

36、 10-23 J K-1 9.6 熵和熵增加原理的统计意义熵和熵增加原理的统计意义 一张面朝下的扑克一张面朝下的扑克 牌（牌（52张，无王牌），问至张，无王牌），问至 少猜几次可确定是什么牌？少猜几次可确定是什么牌？ 52 02 1 1 log 52 52 i S ln523.95 2 12 1 1 log 2 2 i S ln20.69 总的平均信息量总的平均信息量 每猜一次得到的平均信息量每猜一次得到的平均信息量 至少要提问次数至少要提问次数 01 /5.7NSS至少要提问至少要提问5次次 Chapter 9 Thermodynamic Laws 55 作业作业8.2 N=1023/s v

37、=1.00105cm/s 45 o 解：解： 一个气体分子与器壁发生一个气体分子与器壁发生 弹性碰撞产生的冲量为弹性碰撞产生的冲量为 2 x dIFdtmv 2 x Fmv N 所有所有气体分子与器壁发生气体分子与器壁发生 弹性碰撞产生的冲力为：弹性碰撞产生的冲力为： 墙面上的压强为：墙面上的压强为： 24323 4 2/ 2 3.32 101.00 10cos4510 2.0 10 x pmv N S S=2.0cm2 6 2.3 10 Pa Chapter 9 Thermodynamic Laws 56 作业作业8.3 已知已知V=10cm3, T=300K, p=0.67Pa, 求求N,

38、 E, Et, Er 解：解： 设总粒子数位设总粒子数位N, 由理想气体状态方程由理想气体状态方程 pV=NkT得得 pV N kT 65 555 0.67 10 101.68 10 ( ) 222 ENkTpVJ 刚性双原子分子刚性双原子分子i=(3+2)=5： 平均平动动能平均平动动能 平均动能：平均动能： 65 33 0.67 10 101.01 10 ( ) 22 EpVJ 平均转动动能平均转动动能 65 2 0.67 10 100.67 10 ( ) 2 EpVJ Chapter 9 Thermodynamic Laws 57 作业作业8.5 已知速率分布如图所示，求归一化常数已知速率分布如图所示，求归一化常数a；v0 1.5v0和和3v04v0 间的分子数；粒子的平均速率。间的分子数；粒子的平均速率。 解：解： （1）由归一化条件求）由归一化条件求a 0 ( )1f v dv （2） 2 1 ( ) v v NNf v dv （3）粒子平均速率）粒子平均速率 0 a v0 2v04v0 f(v) v 00 (4) 1 2 vva 0 2 5 a v 0 00 0 1.5 1.5 ( ) 5 v vv v N NNf v dv 0 00 0 4 34 3