因式分解的教材分析

1、因式分解的教材分析塘沽十五中王守娟、知识结构梳理整因式乘W式分法解定义两项式-方法.三项式平方差公式完全平方公式公式法十字相乘法1-多余三项的多项式 一分组分解法L提公因式法步骤- “提” 二“套” 三“分” 四“查”二、本章在代数中的地位和作用因式分解是代数中又一种重要的恒等变形，而本章的因式分 解的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法， 它包括因式分解的概念，整式乘法与因式分解的区别和联系；因 式分解的四种基本方法，即提公因式法、运用公式法、分组分解 法和十字相乘法（本书中只介绍了二次项系数为 1的二次三项式 的十字相乘法）多项式的因式分解是代数中一部分重要内容，它是在学完有

2、 理数和整式乘法之后给出的，它与前一章整式乘除和后一章分式 联系极为密切。这部分内容在将分式通分和约分时有着直接应 用，在解方程以及将三角函数进行恒等变形等方面也经常涉及到 它的应用，因此本章内容对进一步学习数学有重要的作用。三、教学目标1、通过学习因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联 系，提高对代数式的辨别能力。2、学习提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法对加 法的分配律的逆用；学习了公式法，进一步明确公式法分解因式 是乘法公式的逆用。从而提高代数式的恒等变形能力。3、在小学数学中学习分解质因数是为分数运算打基础，进 而计算算术应用题。同样道理，在代数中学习因式分解是为后面 学习分式运

3、算打基础，进而可以列方程解应用题，从而提高分析 问题和解决问题的能力。4、通过分组分解法提高学生观察问题、分析问题、解决问 题的能力。注意观察式子的结构特点，提高合理选择式子变形的 方法，注意提高综合处理因式分解的能力。5、加强把一个式子看作一个字母的换元思想的练习，在因 式分解时对于比较复杂的问题能够通过变形整理使之转化为所熟 悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一个整体以适应 某种基本方法，从而了解等价转化的思想和方法。6寻求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、试探、思 辨的过程，所以要培养学生的探索精神和探索能力，提高解题的 灵活性和创造性。四、教学重点：多项式的因式分解的四种方法

4、。五、教学难点：多项式因式分解方法灵活多变，分组方案的筛选 技巧六、教学建议1、对因式分解这一概念本人认为不宜要求学生一次了解彻 底，可以通过举例及后面的几节课的因式分解过程逐步加深理 解。特别是讲授四个因式分解的基本方法时，结合具体例题的分 析过程、分解结果，说明因式分解的概念，以达到明确这个概念 的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的 方 法，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先复习单项 式乘以多项式，再把它逆转过来运算就是提公因式法。用这个方 法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要 的。3、运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点。对初学 者来说

5、，如何根据要分解的多项式的形式特点（项数、系数、指 数）来选择用什么公式，往往不是很容易，这也是运用公式的难 点。因此在教学中应注意分析实例，指明思路、交待方法，以便 克服难点。4、分组分解法是前两种方法的综合。教材中分两类：一类 是分组后能直接提公因式的；一类是分组后能运用公式的。由于 多项式的形式各异，分组的方法也比较灵活，要具体问题具体分 析，并且要预见到分组后是否能将整个多项式继续分解，相对来 说分组分解法比前两种方法难，教学时要根据教材的层次，先易 后难，最后讲综合性的因式分解。5、运用公式x2 （a b）x a （x a）（x b）进行因式分 解，让学生注意观察该二次三项式的特征：

6、二次项系数为1； 常数项能分解成ab :a b恰好为一次项系数，则一定能分 解为（x - a）（x - b）的形式，只有满足这样特征的二次三项式才能 用它进行正确的因式分解。6综合运用以上四种方法进行多项式的因式分解安排在本 章的最后，对这部分内容的教学要根据不同的题目，进行具体分 析，灵活地运用各种方法来分解因式。通过这部分内容可综合地 培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。这部分内容又 是教学的难点，要从教学要求学生水平出发安排这部分的例题和 练习。7、因式分解的一般步骤是总结各种分解方法后讲述的，教 学时要强调结合题目的形式和特点来选择，确定采用哪种方法分 解。四种方法是彼此联系的

7、，并不是一种类型的多项式只能用一 种方法来分解因式，教学时要让学生学会具体问题具体分析的方 法。8、先分组分解，再最后完成整个分解的方法，既依赖于解 题能力的提高，也是解题能力的培养。要认真组织学生讨论，发 挥实验探索精神，养成探索习惯，以寻求分组途径，所以这种解 法应在学生的研讨中产生，而不宜简单地“传授”给学生，让学 生不仅享受正确分组的成功，也要经历错误分组的失败，然后从 失败中走向成功。七、课时安排： 8.1提公因式法（5课时） 8.2运用公式法（8课时） 8.3分组分解法（8课时）八、具体安排： 8.1提公因式法（第一课时）引出因式分解这一概念的方法很多。本人在课前先让学生完 成如下

8、的题目（课本第7页练习） a3b3c-abc = abc （） m2x3 m2x2m2xy 二 m2x （） 12a2b-3a2b2x-9a2b2 =3a2b （）234 一 342423222 z、 2x y z -14x yz 2xyz=2xyz（）更能体会整式乘法与因式分解互为逆变形，同时也为提公因 式法作准备。提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，即 当多项式各项系数为整数时，应取各项系数的最大公约数与各项 相同因式的最低次幕的积。此种方法分解的步骤是：确定公因式，把它放在括号前。 确定另一个公因式（用提出的公因式去除原多项式，把所得的 商作为另一个因式，并把它写在括号里）

9、。安排例1、6X? +3x3y （含一个字母）例2、8a3b2 -12ab3c （含两个字母）例 3、2a2bc2 -4ab2c2 6abc3 （含三个字母）显然例题是由易到难，这样安排符合学生的认知规律，也使学生 易于掌握。（第二课时）讲解课本上的例 3、3x2 -6xy x （易出现漏 “ 1”的问题，此时可用整式乘法来检验）。补充：已知ba = -6， ab 7，求a2bab2的值。分析：学生先阶段还不能从已知中求出 a、b的值，因此 就需要学生探索求解的方法，即先把多项式 a2b-ab2分解因式 得 ab（a -b），再把 b-a 6,ab=7 代入。（第三课时）添括号法则及例5 （将

10、多项式的后两项添括号）例6、将多项式-4m3 16m2 26m分解因式（在这里又一 次应用了添括号法则，即多项式的最高次项系数为负，在分解之 前应先提出“一”号，再对对括号内的多项式分解因式，这样比 较简单）补充：按要求对多项式5a3b-2ab 3ab2b2添括号 将多项式的中间两项放到前面带有“一”的括号 里； 将多项式的四次项放到前面带有“ +”的括号里，二次项放到前面带有“”的括号里。（例5之后练习）（第四课时）公因式是多项式（这里渗诱换元思想）例7、把2a（b - c） -3（b c）分解因式例8、把18b（a -b）2 -12（a -b）3分解因式（课本例9）（两个例题中括号内的多项

11、式是相同的）（第五课时）公因式仍是多项式，但需在分解前变形，这也是 学生容易错的地方。基于这样在讲例题之前让学生先完成P12的 练习第1题，并通过此题的练习让学生归纳出（x-y）n与（y-x） 的关系：当n为偶数时（x 一 y）n = （ y _ x）当n为奇数时（X 一 y）n = 一 （y 一 X）n从而为例9、把6（x 一2） x（3x）分解因式例10、把5（x-y）3 T0（y-x）2分解因式作了铺垫。（在这里尽量让学生用不同的方法来分解） 8.2运用公式法（这种方法的关键是弄清公式的形式和特 点，熟练地掌握公式）平方差公式的特点：左边：多项式为二项式；两项的符号相反；每项都可 化为某

12、数（或某式）的平方形式。右边：这两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的积。即：（）2 （） 2= （ +）（ ）（第一课时）应充分重视引例x2 -16与9m2 -4n2的因式分 解过程的分析。在讲解例题之前先完成课后练习1、练习4 （判断能否用平 方差公式分解，从而加深对公式的理解，同时也有助于学生逻辑 思维能力的培养）。例1、把下列各多项式分解因式：（1） 1 -25b2（2） x2y2 -丄（3）彳m2-0.01 n649通过例题的讲解归纳步骤先判断能否用此公式，并确定 a、b ;再套用公式分解；化简。（第二课时）相当于公式中的a、b是多项式，又一次体现 了换元的思想，分析时就可以采用

13、换元法。例2、把下列多项式分解因式：（x - p）2 -（x q）2 16（a-b）2 -9（a b）2 （分解时让学生注意系数、指数的变化）。（第三课时）综合运用提公因式法和公式法分解多项式（有 助于培养学生分析问题能力）初次让学生体会到因式分解方法的 考虑顺序是一“提”二“套”。例3、分解下列多项式：x5 -x3x4-y4 （两次运用公式，强调分解要彻底。这里又一次体现换元的思想）（第四课时）完全平方公式：公式特点：（左边）a、多项式为三项式；b、有两个平方 项且同号，又能写成两数（或式）的平方形式； c、另一项是这 两数（或式）的积的二倍，符号可正可负。（右边）这两数（或式）的和或差的平

14、方形式。 运用此公式的关键是会判断一个三项式是否为完全平方式 即：（） 2 2* * +（）2 补充下面的练习：1、下列各式是否为完全平方式: x2 2xy y2 x2 -2xy y22、填空: m2 _( )+4n2 =( 了个 丫 -xy+y2 =( 2完成以上练习后再讲例-4a2 4ab 2b2 x2 -4x 4 a2 -2a 亠f1把多项式25x4 10x2 1分解因式及引例x2 6x 9和4x2 -20x - 25的分解因式。（第五课时）例5、（首项系数为负，先提出“一”，使字母的平方项系 数为正）（x2 4y2 4xy ）例6、（含公因式的）3ax2 6axy 3ay2 （又一次体

15、现一 “提”二“套”的步骤）（第六课时）例7、把2（a b）220（a b） 50分解因式（此题中既含有公因式2，又把a b看作整体，进一步渗透换元 思想）补充：分解（x2 y2）2-4x2y2 xn1-xn3（第七课时）补充因式分解的一些应用（如简便计算：1962 -16证明数的整除：n为整数，则（2n 1）2-（2n-1）2） 能被8整除等问题）（第八课时）公式法的小结课，综合运用两个公式和提公因 式法。从而培养学生观察问题、解决问题的能力。 8.3分组分解法（关键是分组后能继续分解）一）分组后直接提公因式（等项分组）分组的原则是：可按相同的系数或相同的系数比进行分组女口：多项式3ax 4

16、by 4ay - 3bx可有两种分组方法，（方法一）（3ax 3bx） （4ay 4by）（也可说是按x、y分组）（方法二）（3ax 4ay） （3bx 4by）（也可说是按a、b分组）可根据字母的次数来分组（如 X y _2x 3x-3y 2 可把二次项、一次项和常数项分别分组即（x2xy y2）（3x -3y） 2，当然它还有其它的分组方法这里就不介绍了）（第一课时）例 1、a2 - ab ac-be例 2、2ax - 10ay 5by - bx（第二课时）例 3、3ax - 4by - 4ay - 3bx例 4、m2 5n _ mn _ 5m（例1例4由同学们互相讨论寻求）二）分组后直接

17、运用公式（第三课时）例5、x2 -y2 ax ay （还是分组后提公因 式，只是前两项为一组需用平方差公式）（第四课时） 例7、x3+x2y-xy2 - y3 （启发学生用多种 方法分解）（第五课时）分组分解法的小结课补充打散原有组合重新分组例如 4a2 3b -a（3b 4），要 想对它分解须先去掉括号得4a23b3ab4a，再按前面的例1 那样类似地分组。（x2 -2x）（x2 -2x-2） 3 （书中这样的题目 还有如P37 B组的第3题、P43的第6题）三）十字相乘法形女口 x2 px q形式，若q=ab且p=a，b贝U x2 px q = （ x a）（ x b）（第六课时）常数项为

18、正数例8把下列各式分解因式：（1） x2 3x 2（2） x2 -7x 6（第七课时）常数项为负数例9、把下列各式分解因式：（1） x2 x-2 （2） x2-2x-15 （3） m2x2-2mx-15由此总结x2 px q分解因式的规律即a、b与常数项q、 一次项系数p的关系（尽量由学生说出）： p 0， q 0时，a、b同为正； p V 0， q 0时，a、b同为负； p 0， q V 0时，a、b异号且绝对值较大的数为正； p V 0， q V 0时，a、b异号且绝对值较大的数为负。（第八课时）通过例题x2y2-5x2y -6x281x5y5-16xy 综合运用前面几种方法及前几节的学习总结步骤如下（P34黑体字），本人把它总结成如下“顺口溜”：首先要提公因式，然后 考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复 试，