高等数学课件完整版

1、 一、基本概念一、基本概念 1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体. 组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素. , 21n aaaa 所具有的特征所具有的特征xxm 有限集有限集 无限集无限集 ,ma ,ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若babxax .ba 记作记作 数集分类数集分类:n-自然数集自然数集z-整数集整数集 q-有理数集有理数集r-实数集实数集 数集间的关系数集间的关系:.,rqqzzn .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若baabba )(ba ,2 , 1 a 例如例如 ,023 2 xx

2、xc.ca 则则 不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作 例如例如,01, 2 xrxx 规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集. 2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,barba 且且 bxax 称为开区间称为开区间, ),(ba记作记作 bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作 oxa b oxa b bxax bxax 称为半开区间称为半开区间, 称为半开区间称为半开区间, ),ba记作记作 ,(ba记作记作 ),xaxa ),(bxxb

3、 oxa ox b 有限区间有限区间 无限区间无限区间 区间长度的定义区间长度的定义: : 两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度. 3.3.邻域邻域: : . 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a ).( 0 au 记记作作 ,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . )( axaxau x a a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a . 0)( axxau ,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 4.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量

4、, 注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的. 通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量, 而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量. 常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法： 用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量. 5.5.绝对值绝对值: : 0 0 aa aa a )0( a 运算性质运算性质:;baab ; b a b a .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或 绝对值不等式绝对值不等式: 因变量因变量自变量自变量 .)(, 000 处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfdx .

5、),(称为函数的值域称为函数的值域 函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集 dxxfyyw 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,d是是一一个个给给定定的的数数集集， 数集数集d叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数dx , 二、函数概念二、函数概念 ( ( ) ) 0 x )( 0 xf 自变量自变量 因变量因变量 对应法则对应法则f 函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则. x y d w 约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值的一切实数值. 2 1xy

6、例如，例如， 1 , 1 : d 2 1 1 x y 例如，例如， )1 , 1(: d 定义定义: : .)( ),(),( 的图形的图形函数函数 称为称为点集点集 xfy dxxfyyxc ox y ),(yx x y w d 如果自变量在定如果自变量在定 义域内任取一个数值义域内任取一个数值 时，对应的函数值总时，对应的函数值总 是只有一个，这种函是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否 则叫与多值函数则叫与多值函数 例如，例如， 222 ayx (1) 符号函数符号函数 01 00 01 sgn x x x xy 当当 当当 当当 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例

7、1 -1 x y o xxx sgn (2) 取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线阶梯曲线 x 是无理数时是无理数时当当 是有理数时是有理数时当当 x x xdy 0 1 )( 有理数点有理数点无理数点无理数点 1 x y o (3) 狄利克雷函数狄利克雷函数 (4) 取最值函数取最值函数 )(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy y x o )(xf )(xg y x o )(xf )(xg 0, 1 0, 12 )(, 2 xx xx x

8、f例如例如 12 xy 1 2 xy 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的 式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. 例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图 所示所示,写出电压写出电压u与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0( tt 解解 u t o e ), 2 (e )0 ,( 2 , 2 , 0时时当当 t t e u 2 ; 2 t e 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压, 2 (时时当当 t ),( 2 0 0 t e u)( 2 t e u即即 ,),

9、(时时当当 t. 0 u 其表达式为其表达式为 是一个分段函数是一个分段函数,)(tuu ),(, 0 , 2 (),( 2 2 , 0, 2 )( t tt e tt e tu u t o e ), 2 (e )0 ,( 2 例例2 2 .)3(, 212 101 )(的定义域的定义域求函数求函数设设 xf x x xf 解解 2312 1301 )3( x x xf 212 101 )( x x xf 122 231 x x 1, 3 : f d 故故 三、函数的特性三、函数的特性 m -m y x o y=f(x) x 有界有界无界无界 m -m y x o x 0 x ,)(, 0,成

10、立成立有有若若mxfxxmdx 1函数的有界性函数的有界性: .)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数xxf 2函数的单调性函数的单调性: ,)(didxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数 , 2121 时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxi ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数ixf ),()()1( 21 xfxf 恒有恒有 )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o i )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o i ;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数ix

11、f ,)(didxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数 , 2121 时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxi ),()()2( 21 xfxf 恒有恒有 3函数的奇偶性函数的奇偶性: 偶函数偶函数 有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd )()(xfxf y x )( xf )(xfy ox-x )(xf ;)(为偶函数为偶函数称称xf 有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf 奇函数奇函数 )( xf y x )(xf ox -x )(xfy 4函数的周期性函数的周期性: （通常说周期函数

12、的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）. ,)(dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的 .)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)( ,dlxdxl 使得对于任一使得对于任一数数 .)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl 2 l 2 l 2 3l 2 3l )(xfy 直直接接函函数数 x y o ),(abq ),(bap )(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 四、反函数四、反函数 五、小结五、小结 基本概念基本概念 集合集合, 区间区

13、间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量, 绝对值绝对值. 函数的概念函数的概念 函数的特性函数的特性 有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. . 反函数反函数 思考题思考题 设设0 x，函函数数值值 2 1) 1 (xx x f ， 求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式. 思考题解答思考题解答 设设 u x 1 则则 2 1 1 1 uu uf , 11 2 u u 故故)0(. 11 )( 2 x x x xf 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 若若 2 2 51 t tt f , ,则则_)( tf, , _)1( 2 tf. . 2

14、 2、 若若 3 ,sin 3 , 1 )( xx x t, , 则则) 6 ( =_=_，) 3 ( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._. 4 4、设、设 2 xy , ,要使要使 ), 0( ux 时，时，)2 , 0(uy , , 须须 _._. 练练 习习 题题 二、证明二、证明xylg 在在), 0( 上的单调性上的单调性. . 三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和. . 四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周

15、期的函数， 且且 10, 0 01, )( 2 x xx xf, ,试在试在),( 上绘出上绘出 )(xf的图形的图形. . 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. . 六、证明函数六、证明函数 acx bax y 的反函数是其本身的反函数是其本身. . 七七、求求 xx xx ee ee xf )(的的反反函函数数，并并指指出出其其定定义义域域. . 一、一、1 1、 2 2 5 t t , , 22 2 )1( 2 )1(5 t t； 2 2、1

16、,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . . 七、七、)1 , 1( , 1 1 ln x x y. . 练习题答案练习题答案 一、基本初等函数一、基本初等函数 1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy o x y )1 , 1( 1 1 2 xy xy x y 1 xy 2.指数函数指数函数)1, 0( aaay x x ay x a y) 1 ( )1( a )1 , 0( x ey 3.对数函数对数函数)1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log )1( a )0 , 1( 4.三角函数三角函数 正弦函数正弦函数 xys

17、in xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数 xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数 xycsc 5.反三角函数反三角函数 xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数 xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数 xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反 三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. xycot 反余切函数反余切函数arc xy

18、cot arc 二、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数 1.复合函数复合函数 ,uy 设设,1 2 xu 2 1xy 定义定义: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域 f d, 而函数而函数 )(xu 的值域为的值域为 z, 若若 zd f , 则称则称 函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y 注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的合函数的; ,arcsinuy 例如例如 ;2 2 xu )2arcsin( 2 xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可

19、以由两个以上的函数经过复 合构成合构成. , 2 cot x y 例如例如,uy ,cotvu . 2 x v 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数. 例例1 1 ).( , 0, 1 0, 2 )(, 1, 1, )( 2 xf xx xx x xx xe xf x 求求 设设 解解 1)(),( 1)(, )( )( xx xe xf x ,1)(10时时当当 x , 0 x或或 , 12)( x

20、x ;20 x, 0 x或或, 11)( 2 xx ; 1 x ,1)(20时时当当 x , 0 x或或 , 12)( xx ;2 x, 0 x或或, 11)( 2 xx ; 01 x 综上所述综上所述 . 2, 1 20 01 1 , , 2 , )( 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 三、双曲函数与反双曲函数三、双曲函数与反双曲函数 2 sinh xx ee x 双曲正弦双曲正弦 xycosh xysinh ),(:d 奇函数奇函数. 2 cosh xx ee x 双曲余弦双曲余弦 ),(:d 偶函数偶函数. 1.双曲函数双曲函数 x ey 2 1 x ey 2

21、1 xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh双曲正切双曲正切 奇函数奇函数,),(: d有界函数有界函数, 双曲函数常用公式双曲函数常用公式 ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh 22 xx ;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh 22 xxx 2.反双曲函数反双曲函数 奇函数奇函数, ),(: d .),(内单调增加内单调增加在在 ;sinh xy 反反双双曲曲正正弦弦ar ).1ln( sinh 2 xx xyar sinhar xy

22、.), 1内单调增加内单调增加在在 ), 1 : d y反反双双曲曲余余弦弦coshar ).1ln( cosh 2 xx xyar x cosharx y . 1 1 ln 2 1 x x )1 , 1(: d 奇函数奇函数, .)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反反双双曲曲正正切切tanhar xytanh ar x tanharx y 四、小结四、小结 函数的分类函数的分类: 函数函数 初等函数初等函数 非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) ) 代数函数代数函数 超越函数超越函数 有理函数有理函数 无理函数无理函数 有理整函数有理整函

23、数( (多项式函数多项式函数) ) 有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) ) 思考题思考题 下下列列函函数数能能否否复复合合为为函函数数)(xgfy ， 若若能能，写写出出其其解解析析式式、定定义义域域、值值域域 ,)()1(uufy 2 )(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu 思考题解答思考题解答 2 )()1(xxxgfy ,10| xxdx 2 1 , 0)( df )2(不能不能01sin)( xxg )(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集. ._ 1 反反三三角角函函数数统统称称 对对数数函函数数，三三角角函函数数和

24、和、幂幂函函数数，指指数数函函数数， ._ )(ln31)(2 的定义域为的定义域为 ，则函数，则函数，的定义域为的定义域为、函数、函数xfxf 一、填空题一、填空题: ._3 2 复复合合而而成成的的函函数数为为，、由由函函数数xuey u ._2lnsin4复合而成复合而成由由、函数、函数xy ._)0()()( _)0)( _)(sin_ 10)(5 2 的定义域为的定义域为 ，的定义域为的定义域为 ，的定义域为的定义域为，为为 ）的定义域）的定义域（，则，则，的定义域为的定义域为、若、若 aaxfaxf aaxf xf xfxf 练练 习习 题题 .sin的图形的图形”作函数”作函数二

25、、应用图形的“叠加二、应用图形的“叠加xxy .)()( )( 11 10 11 )( ，并作出它们的图形，并作出它们的图形，求求 ， ， ， ， 三、设三、设 xfgxgf exg x x x xf x . )( )()(30. 0 5020. 05002 20 形形 出图出图之间的函数关系，并作之间的函数关系，并作千克千克于行李重量于行李重量 元元元，试建立行李收费元，试建立行李收费出部分每千克出部分每千克 千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收费千克每千克收费 千克以下不计费，千克以下不计费，定如下：定如下：四、火车站行李收费规四、火车站行李收费规 x xf 一、一、1 1、基本初等函

26、数；、基本初等函数； 2 2、, 3 ee； 3 3、 2 x ey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2,1 ,aa , , 2 1 2 1 01 , a aaa . . 三、三、 1, 1 0, 0 0, 1 )( x x x xgf； 1, 1 1, 1 1, )( x e x xe xfg. . 练习题答案练习题答案 四、四、 50),50(3 . 010 5020,2 . 0 200 xx xx x y “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体

27、而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 播放播放刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 r 正六边形的面积正六边形的面积 1 a 正十二边形的面积正十二边形的面积 2 a 正正 形的面积形的面积 1 26 n n a , 321n aaaa s 2 2、截丈问题：、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 1 x第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为 ; 2 1 2 1 2 2 x为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和 ; 2 1 2 1 2 1 2n n xn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第 n n x 2 1 1 1 二、数列的定

28、义二、数列的定义 定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 , 21n xxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数 列的列的项项, n x称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为 n x. 例如例如 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4

29、 x n x 2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n )1( 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n )1( 1 n n n ,333,33, 3 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 播放播放 三、数列的极限三、数列的极限 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一 确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定? n xn . 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n 问题问题: “无限

30、接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言 刻划它刻划它. 1 n x nn n 11 )1( 1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: , 100 1 给定给定, 100 11 n 由由,100时时只要只要 n, 100 1 1 n x有有 , 1000 1 给定给定,1000时时只要只要 n , 10000 1 1 n x有有, 10000 1 给定给定,10000时时只要只要 n , 1000 1 1 n x有有 , 0 给定给定 ,) 1 (时时只要只要 nn.1成立成立有有 n x 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多

31、么不论它多么 小小),),总存在正数总存在正数n, ,使得对于使得对于nn 时的一切时的一切 n x, , 不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列 n x的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 n x收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxn n 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的. 注意：注意： ;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axax nn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 n x 1 x 2 x 2 n x 1 n x 3 x 几何解释几何解释: 2 a a

32、 a .)( ,),(, 落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个 内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 n aaxnn n :定义定义n 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0 lim axnnn ax n n n 恒有恒有时时使使 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. 例例1. 1 )1( lim 1 n n n n 证明证明 证证1 n x1 )1( 1 n n n n 1 , 0 任给任给,1 n x要要, 1 n 只要只要, 1 n或或 所以所以, , 1 n取取,时时则当则当n

33、n 1 )1( 1 n n n 就有就有. 1 )1( lim 1 n n n n 即即 注意：注意： 例例2.lim),(cxccx n n n 证明证明为常数为常数设设 证证 cxn cc ,成成立立 ,0 任给任给 所以所以, 0 ,n对于一切自然数对于一切自然数 .limcxn n 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. 小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给 定定 寻找寻找n,但不必要求最小的但不必要求最小的n., 0 例例3 . 1, 0lim qq n n 其中其中证明证明 证证, 0 任给任给 ,0 n n qx

34、,lnln qn , ln ln q n 取取,时时则当则当nn ,0 n q就有就有. 0lim n n q , 0 q若若; 00limlim n n n q则则 , 10 q若若 , ln ln q n 例例4 .lim , 0lim, 0 ax axx n n n n n 求证求证 且且设设 证证 , 0 任给任给 .limaxn n 故故 ,limaxn n , 1 axnnn n 时恒有时恒有使得当使得当 ax ax ax n n n 从而有从而有 a axn a 1 四、四、数列极限的性质数列极限的性质 1.有界性有界性 定义定义: 对数列对数列 n x, 若存在正数若存在正数m

35、, 使得一切自使得一切自 然数然数n, 恒有恒有mxn 成立成立, 则称数列则称数列 n x有界有界, 否则否则, 称为无界称为无界. 例如例如, ; 1 n n xn数列数列 .2 n n x 数列数列 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 n x都落在闭区间都落在闭区间 ,mm 上上. 有界有界无界无界 定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. . 证证,limaxn n 设设由定义由定义, 1 取取 , 1, axnnn n 时恒有时恒有使得当使得当则则 . 11 axa n 即有即有 ,1,1,max 1 aaxxm n 记记 ,mxn n 皆有皆有则对一切自

36、然数则对一切自然数 .有界有界故故 n x 注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. 推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. . 2.唯一性唯一性 定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. . 证证,lim,limbxax n n n n 又又设设由定义由定义, 使得使得., 0 21 nn ; 1 axnn n 时恒有时恒有当当 ; 2 bxnn n 时恒有时恒有当当 ,max 21 nnn 取取 时有时有则当则当nn )()(axbxba nn axbx nn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一

37、故收敛数列极限唯一. 例例5.)1( 1 是发散的是发散的证明数列证明数列 n n x 证证,limaxn n 设设由定义由定义, 2 1 对于对于 , 2 1 ,成立成立有有时时使得当使得当则则 axnnn n ), 2 1 , 2 1 (, aaxnn n 时时即当即当区间长度为区间长度为1. ,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 n x 不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内. ., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上 n x 3.(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列如果数列 收敛于收敛于a，那么它的任一子数

38、列也收敛，且极限也，那么它的任一子数列也收敛，且极限也 是是a n x 五五.小结小结 数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律; 数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义; 收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性有界性唯一性. 思考题思考题 指出下列证明指出下列证明1lim n n n中的错误。中的错误。 证明证明要使要使,1 n n只要使只要使)1ln(ln 1 n n 从而由从而由 2ln )1ln( ln )1ln(1 nn 得得 , 0 取取 1 )1ln( 2ln n 当当 时，必有时，必有 成立成立nn 10 n n 1lim n n

39、n 思考题解答思考题解答 1 n n)1ln(ln 1 n n （等价）（等价） 证明中所采用的证明中所采用的 2ln )1ln( ln )1ln(1 nn 实际上就是不等式实际上就是不等式 )1ln( ln2ln n n n 即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值 n nln 从而从而 时，时， 2ln )1ln( nn 仅有仅有 成立，成立， )1ln( 2ln n 但不是但不是 的充分条件的充分条件 )1ln( ln n n 反而缩小为反而缩小为 n 2ln 一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、 2 3 12 13 lim n n

40、 n ； 2 2、19.999. 0lim n 二、二、 设数列设数列 n x有界，又有界，又0lim n n y， 证明：证明：0lim nn n yx. . 练练 习习 题题 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数

41、列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观

42、察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 三、数列的极限三、数列的极限 .

43、 sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 播放播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. ;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .的过程的过程表示表示 xxx . 0 sin )(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 x x xfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: 问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. 定义定义 1 1 如果对于任意给定的

44、正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在着正数总存在着正数x, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式xx 的一切的一切 x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 axf)(, , 那末常数那末常数a就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim xaxfaxf x 当当或或 :. 1 定义定义 定定义义x .)(, 0, 0 axfxxx恒恒有有时时使使当当 axf x )(lim :.10情形情形x .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 :.2 0 情形情形xaxf x )(l

45、im .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axf x )(lim 2.另两种情形另两种情形: axf x )(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxf xx 且且 x x y sin 3.几何解释几何解释: x x .2, )(, 的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ay xfyxxxx a x x y sin 例例1. 0 sin lim x x x 证明证明 证证 x x x xsin 0 sin x 1 x 1 , , 0 , 1 x取取 时恒有时恒有则当则当xx ,0 sin x x .

46、 0 sin lim x x x 故故 . )(,)(lim: 的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线 是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxf x 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 0 xx 的的过过程程中中,对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. ;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .0 00 的过程的过程表示表示xxxx x 0 x 0 x 0 x , 0 邻域邻域的去心的去心点点 x. 0程度 程度接近接近体现体现xx 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果

47、对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 axf)(, ,那末常数那末常数a就叫函数就叫函数 )(xf当当 0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim 0 0 xxaxfaxf xx 当当或或 :. 1 定义定义 定义定义 .)( ,0, 0, 0 0 axf xx 恒有恒有 时时使当使当 2.几何解释几何解释: )(xfy a a a 0 x 0 x 0 x x y o .2 , )(, 0 的带形区

48、域内的带形区域内宽为宽为 为中心线为中心线线线 图形完全落在以直图形完全落在以直 函数函数域时域时 邻邻的去心的去心在在当当 ay xfy xx 注意：注意：;)(. 1 0是 是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2).( ,lim 0 为常数为常数证明证明ccc xx 证证 axf )( cc ,成立成立 , 0 任给任给 0 .lim 0 cc xx , 0 任取任取,0 0 时时当当 xx 例例3.lim 0 0 xx xx 证明证明 证证 ,)( 0 xxax

49、f , 0 任给任给, 取取 ,0 0 时时当当 xx 0 )(xxaxf ,成立成立 .lim 0 0 xx xx 例例4. 2 1 1 lim 2 1 x x x 证明证明 证证 2 1 1 )( 2 x x axf, 0 任给任给 , 只只要要取取 ,0 0 时时当当 xx 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义. 1 x ,)( axf要使要使 ,2 1 1 2 x x 就有就有 . 2 1 1 lim 2 1 x x x 例例5 .lim 0 0 xx xx 证证 0 )(xxaxf , 0 任给任给 ,min 00 xx取取 ,0 0 时时当当 xx 0 0 xx xx ,)(

50、 axf要使要使 , 0 xx就有就有 , 0 0 x xx . 00 且且不不取取负负值值只只要要 xxx .lim,0: 00 0 xxx xx 时时当当证明证明 3.单侧极限单侧极限: 例如例如, . 1)(lim 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 证明证明 设设 两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx , 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 0 0 xx记作记作 , 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 0 0 xx记作记作 y ox 1 xy 1 1 2 xy 左极限左极限 .)( , 0, 0 00 axf xxx 恒有恒有 时时使当使当

51、 右极限右极限 .)( , 0, 0 00 axf xxx 恒有恒有 时时使当使当 00 0: 00 0 xxxxxx xxx 注意注意 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 axfaxf xx xx 或或记作记作 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 axfaxf xx xx 或或记作记作 .)0()0()(lim: 00 0 axfxfaxf xx 定理定理 .lim 0 不存在不存在验证验证 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, .)(lim 0 不存在不存在xf x 例例6 证证 1)1(lim 0

52、 x x x x x xx00 limlim 11lim 0 x 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 1.有界性有界性 定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在 过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. . 2.唯一性唯一性 定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一. 推论推论 ).()(),(, 0 ,)(lim,)(lim 0 0 00 xgxfxux babxgaxf xxxx 有有则则 且且设设 3.不等式性质不等式性质 定理定理( (保序性保序性) ) .),()(),(, 0 .)(l

53、im,)(lim 0 0 00 baxgxfxux bxgaxf xxxx 则则有有若若 设设 ).0)(0)(,),(, 0 ),0(0,)(lim 0 0 0 xfxfxux aaaxf xx 或或时时当当则则 或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ) ).0(0),0)(0)( ,),(, 0,)(lim 0 0 0 aaxfxf xuxaxf xx 或或则则或或 时时当当且且若若 推论推论 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) . )(),(,),(),(,)( .),( ),( 21 000 时的子列时的子列当当 为函数为函数即即 则称数列

54、则称数列时时使得使得有数列有数列 中中或或可以是可以是设在过程设在过程 ax xfxfxfxfxf axnax xxxaax nn nn 定义定义 .)(lim, )()(,)(lim axf axxfxfaxf n n n ax 则有则有时的一个子列时的一个子列 当当是是数列数列若若定理定理 证证 .)( ,0, 0, 0 0 axf xx恒有恒有时时使当使当 axf xx )(lim 0 .0 , 0, 0 0 xx nnn n 恒有恒有时时使当使当对上述对上述 ,)( axf n 从而有从而有.)(limaxf n x 故故 ,lim 00 xxxx nn n 且且又又 例如例如, x

55、x y sin 1 sin lim 0 x x x , 1 1 sinlim n n n , 1 1 sinlim n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 n n n n n 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在限都存在, ,且相等且相等. . x y 1 sin 例例7 . 1 sinlim 0 不存在不存在证明证明 x x 证证 , 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 , 2 14 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 n x n

56、 n n sinlim 1 sinlim 而而 , 1 2 14 sinlim 1 sinlim n x n n n 而而 1lim n 二者不相等二者不相等,. 1 sinlim 0 不存在不存在故故 x x , 0 四、小结四、小结 函数极限的统一定义函数极限的统一定义 ;)(limanf n ;)(limaxf x ;)(limaxf x ;)(limaxf x ;)(lim 0 axf xx ;)(lim 0 axf xx .)(lim 0 axf xx .)( , 0)(lim axf axf 恒有恒有 从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻 (见下表见下表) 过过 程程 时时 刻刻 从此

57、时刻以后从此时刻以后 n xxx n nn nx nx nx )(xf axf)( 0 xx 0 0 xx 0 xx 0 xx 0 0 xx0 0 xx 过过 程程 时时 刻刻 从此时刻以后从此时刻以后 )(xf axf)( 思考题思考题 试试问问函函数数 0,5 0,10 0, 1 sin )( 2 xx x x x x xf在在0 x处处 的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的 极极限限是是否否存存在在？ 思考题解答思考题解答 )(lim 0 xf x , 5)5(lim 2 0 x x 左极限存在左极限存在, )(lim 0 xf x , 0 1 sinli

58、m 0 x x x 右极限存在右极限存在, )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 不存在不存在. .01. 01 _1 3 1 2 2 2 yzx z x x yx ，必有，必有时，只要时，只要 取取，问当，问当时，时，、当、当 .001. 0420 _421 2 yx xyx ，必有，必有只要只要 时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义 一、填空题一、填空题: 0 sin lim2 2 12 41 lim1 2 2 1 x x x x x x 、 、 练练 习习 题题 . )(: 0 极限各自存在

59、并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右 时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf ? 0)( 存存在在 时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 x x x x 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. . 四四、不不存存在在. . 练习题答案练习题答案 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自

60、变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的