等比数列的前n项和

1、1 等比数列的 前n项和 2 复习数列的有关概念 叫做数列叫做数列 的前的前n项和项和。 n a nnn aaaaas 1321 )2( ) 1( 1 1 nss ns a nn n 数列的第n项 与前n项和 之间的关系 n a n s 3 复习等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数（指与项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列无关的数），这个数列 就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比 通常用字母通常用字母q表示。表示。 等比数列等比

2、数列 的通项公式为的通项公式为 n a )0( 1 1 1 qaqaa n n )0( qaqaa m mn mn 用数学语言表示为用数学语言表示为 1 0 n n a qq a 4 引入新课 我们一起回顾一下，在我们学习数列第一节的时候，我们一起回顾一下，在我们学习数列第一节的时候， 我给大家讲了一个关于国际象棋的故事。当时的国王觉我给大家讲了一个关于国际象棋的故事。当时的国王觉 得国际象棋特别好玩，就想奖励象棋的发明者，于是就得国际象棋特别好玩，就想奖励象棋的发明者，于是就 问象棋的发明者有什么要求，发明者说：问象棋的发明者有什么要求，发明者说：“请在象棋的请在象棋的 第一个格子里放第一个

3、格子里放1颗麦粒，第二个格子放颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三颗麦粒，第三 个格子放个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都 是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要 求求”。国王不假思索就欣然答应了他的要求。国王不假思索就欣然答应了他的要求。 我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里 的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，共有倍，共有64个个 格子，各个格子里的麦粒数依次是：格子，各个格子里的麦粒数依次是：

4、 5 引入新课 1 2 2 2 3 2 4 2 这一格放这一格放 的麦粒可的麦粒可 一对成一一对成一 座山座山! 63 2 63 2 6 引入新课 它是以为首项公比是的等比数列，它是以为首项公比是的等比数列， 64 s 2363 1 2222 . 分析：分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有64 格每格所放的麦粒数依次为：格每格所放的麦粒数依次为： 麦粒的总数为麦粒的总数为: 2363 1,2,2 ,2 ,2 . 7 引入新课 64 s 2363 1 2222 .(1) 请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？ 64 2s 2363 2(

5、1 2222 ). 64 2s即 236364 22222 .(2) 6464 2ss 23463 (122222 ) 2346364 (222222 ) 230 - 1 = 1073741823 64 64 21s 这种求和 的方法,就 是错位相 减法! 19 1.84 10 18446744073709551615 如果如果1000粒麦粒重为粒麦粒重为40 克，那么这些麦粒的总质克，那么这些麦粒的总质 量就是量就是7300多亿吨。根据多亿吨。根据 统计资料显示，全世界小统计资料显示，全世界小 麦的年产量约为麦的年产量约为6亿吨，就亿吨，就 是说全世界都要是说全世界都要1000多年多年 才能

6、生产这么多小麦，国才能生产这么多小麦，国 王无论如何是不能实现发王无论如何是不能实现发 明者的要求的。明者的要求的。 8 等比数列的前n项和公式的推导1 nnn aaaaas 1321 , 1 a, 2 a , 3 a , n a 由等比数列由等比数列 的前的前n项和项和 得 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaas )( 1 1 2 1 2 111 nn nn qaqaqaqaaqss )( 1 1 1 3 1 2 11 nn qaqaqaqaqa )1 ( 111 nn qaqaa )1 ()1 ( 1 n n qasq即 当当q1时，时， q qa s n n 1 )1

7、 ( 1 当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？ 1 nasn 这种求和 的方法,就 是错位相 减法! 231 11111 nn a qa qa qa qa q n qs 9 等比数列的前n项和公式的推导2 324 1231 aaa an q aaaan q aaaa aaaa n n 1321 432 , 1 a, 2 a , 3 a , n a 由等比数列由等比数列 的定义：的定义： q as as nn n 1 q qaa s n n 1 1 当当q1时时， qaasq nn 1 )1 ( 当当q=1时时? 10 等比数列的前n项和公式的推导3 nnn aaaaas 1321 )(

8、1211 n aaaqa )( 1nn asqa qaasq nn 1 )1 ( 当当q=1时时? q qaa s n n 1 1 当当q1时时， 13211 n qaqaqaqaa 1 nasn 11 等比数列的前n项和两种公式的关系 1q 当时 q qa s n n 1 )1 ( 1 q qaa s n n 1 1 1 nasn 当q=1时， 1 11 nn n aqaqqa q 12 等比数列的前n项公式 1 1 1 1 1 1 n n naq saq q q 综上综上 或或 1 1 1 1 1 n n naq saa q q q 13 等比数列的前n项和例题1 解解: 例例1 求等比数

9、列求等比数列 的前的前8项的和项的和., 8 1 , 4 1 , 2 1 8, 2 1 , 2 1 1 nqa 2 1 1 2 1 1 2 1 8 8 s . 256 255 q qa s n n 1 )1 ( 1 14 例2求和 分析：上面各个括号内的式子均由两项组成。其中各括号内的前一分析：上面各个括号内的式子均由两项组成。其中各括号内的前一 项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和， 就能得到所求式子的和。就能得到所求式子的和。 等比数列的前n项和例题2 2 2 111 n n xxx yyy 0,1,1xxy 0,1

10、,1xxy当时 2 2 111 n n xxx yyy 2 2 111 n n xxx yyy 11 1 1 1 1 1 n n xx yy x y 1 1 1 1 nn nn xxy xyy 15 现在我们把该题推广一下 当x=0,y=1时 n和 2 2 111 n n xxx yyy 2 2 111 n n x xx y yy 1,1xy当时 2n和 1,1xy当时 1 1 n nn y n yy 和 1,1xy当时 1 1 n xx n x 和 0,1xy当时 1 1 n nn y yy 和 16 等比数列的前n项和例题3 例例3 某制糖厂今年制糖某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产

11、量比上万吨，如果平均每年的产量比上 一年增加一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30 万吨（保留到个位）万吨（保留到个位）. 解：解： 由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万 吨）组成一个等比数列，吨）组成一个等比数列， 记为记为 n a 30, 1 . 1%101, 5 1 n sqa .30 1 .11 )1 .11 (5 n 答：答：5年内可以使总产量达到年内可以使总产量达到30万吨万吨. 于是得到于是得到 整理后，得整理后，得 6 . 11 . 1 n 5 0414.0 20

12、41.0 1.1lg 6.1lg n6 . 1lg1 . 1lg 6 . 1lg1 . 1lg n n 第一年为第一年为5万吨，万吨， 第二年为第二年为 5+510%= 5（1+10%） q qa s n n 1 )1 ( 1 17 等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 : n a ;6,2,3)1( 1 nqa ;5, 2 1 ,8)3( 1 nqa .189 21 )21(3 6 6 s 5 5 1 81 2 3 1 . 21 1 2 s 2. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. n s 18 等比数列的前n项和练习2-3 1 1,2,aq解法二： 510 16,512,aa 2. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. 1 1,2,aq解 法 一 ： .15 21 )21 (1 4 4 s .1023 21 )21 (1 10 10 s .1008151023 410 ss从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 把第把第5项作为新等比数列项作为新等比数列 的首项的首项,第第10项作为末项项作为末项. 从第从第1项到第项到第6项的和项的和: 6 16512 2 1008 12 s