离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

1、离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差(2010高考题)1（2010海南宁夏高考理科t6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为（ ）（a）100 （b）200 （c）300 （d）400 【命题立意】本题主要考查了二项分布的期望的公式.【思路点拨】通过题意得出补种的种子数服从二项分布.【规范解答】选.由题意可知，补种的种子数记为x，服从二项分布，即，所以x的数学期望.2（2010山东高考理科5）已知随机变量服从正态分布,若,则（ ）(a)0.477 (b)0.628 (c

2、)0.954 (d)0.977【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先由服从正态分布得出正态曲线关于直线对称,于是得到与的关系，最后进行求解.【规范解答】 选c.因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选c.3（2010江苏高考22）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.

3、（1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x的分布列；（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【命题立意】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力.【思路点拨】利用独立事件的概率公式求解.【规范解答】（1）由题设知，x的可能取值为10，5，2，-3，且 p（x=10）=0.80.9=0.72， p（x=5）=0.20.9=0.18， p（x=2）=0.80.1=0.08， p（x=-3）=0.20.1=0.02. 由此得x的分布列为：x1052-3p0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件. 由题设知

4、，解得， 又，得或.所求概率为.答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.4（2010安徽高考理科21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述. (1)写出的可能值集合；(2)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布

5、列；(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.【命题立意】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，考查考生的计数能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识.【思路点拨】用列表或树形图表示1,2,3,4的排列的所有可能情况，计算每一种排列下的x值，即可得出其分布列及相关事件的概率.【规范解答】（i）x的可能值的集合为.（ii）1,2,3,4的排列共24种，在等可能的假定下，计算每种排列下的x值，得到x02468（iii）（i）（ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随

6、机猜测得到三轮测试都有x的结果的可能性很小，所以可以认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.5（2010浙江高考理科19）如图，一个小球从m处投入，通过管道自上而下落到a或b或c.已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到a，b，c，则分别设为l，2，3等奖(1)已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50，70，90记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；(2)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求【命题立意】本题主要考查随机事件的概率和随机

7、变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.【思路点拨】（1）求分布列时，要先找出从m出发到相应的位置有几种路，然后再用独立事件的乘法公式.如从m到a有两种路，所以；（2）第（2）题是一个二项分布问题.【规范解答】 ()由题意得的分布列为507090p则=50+70+90=.（）由()可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.由题意得b（3，）则p（=2）=()2(1-)=.【方法技巧】1.独立事件的概率满足乘法公式，互斥事件的概率满足加法公式；2.n次独立重复试验是一个很重要的试验，要注意在实际问题中的应用.6（2010北京高考理科7）某同学参加3门课程的考

8、试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望.【命题立意】本题考查了对立事件、独立事件的概率及期望的求法.【思路点拨】（1）“至少”问题一般用对立事件求概率方便.（2）利用独立事件分别求出时的概率，联立方程解出的值.（3）求出，代入期望公式即可.【规范解答】事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（i）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以

9、该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（ii）由题意知 整理得 ，由，可得，.（iii）由题意知 = d = =.【方法技巧】（1）“至少”“至多”问题，一般采用对立事件求概率较容易；（2）事件a与b独立，则.7（2010福建高考理科16）设s是不等式的解集，m，ns. （i）记“使得m + n = 0 成立的有序数组（m , n）”为事件a，试列举a包含的基本事件； （ii）设，求的分布列及其数学期望.【命题立意】本题考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然、化归与转化思想.【思路点拨】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合s，进

10、而求出a所包含的基本事件；第二步求出m的可能取值，再求出的可能取值，计算出所对应的概率，画出分布列，求出数学期望.【规范解答】（i），则由有，因此a包含的基本事件为：；（ii）的可能取值为，则的可能取值为，因此的分布列为：0149所以其数学期望为 【方法技巧】有关概率统计的问题，利用枚举法求解越来越常见，枚举时一定要考虑全面，漏解是最常见的错误，如本题要求的是有序数组（m，n），坐标的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情况，不能当成同一种.因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，试题的难度为中等或中等偏易.8（2010山东高考理科20）某

11、学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下： 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考

12、查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力.【思路点拨】(1)甲能进入下一轮有以下几种情形：前三个问题回答正确；第一个问题回答错误，后三个问题回答正确；只有第二个问题回答错误；只有第三个问题回答错误；第一、三错误，第二、四正确. (2)随机变量的可能取值为2，3，4.【规范解答】用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误.则与互为对立事件，由题意得p(m1) p(m2) p(m3) p(m4)所以p(n1) p(n2) p(n3)(1) 记“甲同学能进入下一轮”为事件q，q=+，由于每题答题结果相互独立，因此p(q)= p(+)=+=

13、+=.（2）由题意，随机变量的可能取值为2，3，4，由于每题答题结果相互独立，因此p(p(=3) =p(m1m2m3)+ p(m1n2n3)p(=4) =1- p(=2)-p(=3)=1-所以的分布列为234数学期望=+4=.9. （2010天津高考理科8）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额

14、外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列.【命题立意】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.【思路点拨】利用二项分布及独立事件的概率公式求解.【规范解答】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中， 恰有2次击中目标的概率（2）设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 =（3）由题意可知，的所有可能取值为p( p( =p(p(p(所以的分布列是01236p一、填空题1.（2011浙江高考理科15）某毕业生参加人才招

15、聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记x为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量x的数学期望 .【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出,进而求出其他情况的概率,再求出.【精讲精析】由可得,从而, , .所以.【答案】二、解答题2（2011安徽高考理科20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成

16、任务的概率分别为p1，p2，p3,假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需要派出人员数目x的分布列和均值（数学期望）e（x）；（）假定lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【思路点拨】（）利用间接法可以比较容易得出结论；（）直接利用相互独立事件及分布列

17、知识解决；（）先分析抽象概括得出结论，再证明.【精讲精析】（i）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，都等于1-=（ii）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3，随机变量x的分布列为x123pq1 所需派出的人员数目的均值（数学期望）e（x）是 =（iii）由（ii）得结论可知，当以甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有事实上，（） ，即 3.（2011福建卷理科19）某产

18、品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，8，其中x5为标准a，x3为标准b，已知甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（i）已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且x1的数字期望ex1=6，求a，b的值；（ii）为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分

19、布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望.（）在（i）、（ii）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【思路点拨】（i）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和为1，联立关于的方程组，解方程组求得的值；（ii）根据题中提供的数据，列等级系数的概率分布，再利用公式求期望；（）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【精讲精析】（i）因为6,所以即，又由的概率分布列得即.由解得（ii）由已知得，样本的频率分布表如下：345678f0.30.20.

20、20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：345678p0.30.20.20.10.10.1所以，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为所以乙厂的产品更具可购买性.4. （2011新课标全国高考理科19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为a配方和b配方）做

21、试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：a配方的频数分布表指标值分组频数b配方的频数分布表指标值分组频数（）分别估计用a配方，b配方生产的产品的优质品率；（）已知用b配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用b配方生产的产品中任取一件，其利润记为x（单位：元），求x的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【思路点拨】第（）问分别用配方、配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（）问分别求出质量指标落在，上的频率作为概率，明确的对应取值，列分布列，用期望公式求期望即可.

22、【精讲精析】（）由试验结果知，用a配方生产的产品中优质品的频率为，所以用a配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用b配方生产的产品中优质品的频率为，所以用b配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（）用b配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，0.54, 0.42，因此x的可能值为-2,2,4，p(x=-2)=0.04, p(x=2)=0.54, p(x=4)=0.42,x-224p0.040.540.42即x的分布列为x的数学期望为ex=-20.04+20.54+40.42=2.68.5（2011辽宁高考文科19）某农场计划种植某种新作物，为

23、此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（i）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（ii）试验时每大块地分成8小块地，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪种品种？附：样本数据x1，x2，xn的样本方差，其中为样本平均数【思路点拨】（i）先编号，再逐一列出所有的基本事件，最后根据古典概型求解；（ii）先求平均数，再求方差，最后

24、下结论【精讲精析】（i）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4令事件a为“第一大块地都种品种甲” 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）而事件a包含1个基本事件：（1，2）所以 （ii）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：，品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：,由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙 6.（2011 广东高考文科17）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用x

25、n表示编号为n(n=1,2,6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.【思路点拨】(1)由平均数的计算公式列出关于的方程，求出，由标准差的计算公式求标准差；（2）由古典概型概率计算公式直接求解.【精讲精析】（1）由题意，即，解得；标准差s=.（2）从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩，有10种可能，分别是（70，76），（70，72），（70，70），（70，72），（76，72），（76，70）

26、，（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）.恰有一位同学成绩在区间（68，75）中，有4种可能，分别是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）.设事件a=“恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则p(a).答：恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率是.7.（2011广东高考理科17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共9

27、8件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.【思路点拨】（1）由已知求出抽取比例，从而求得乙厂生产的产品数量；（2）由表格中数据估计乙厂生产的优等品率，然后估计乙厂生产的优等品的数量；（3）先确定的所有取值，逐个算其概率，列出分布列，再求期望值.【精讲精析】（1）由题意知，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为（件）；（2）由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的

28、数量为（件）；（3）由（2）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.的取值为0，1，2.p(=0)=, p(=1)=, p(=2)=.从而分布列为012p数学期望e()=.8.（2011山东高考理科18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a，b，c进行围棋比赛，甲对a，乙对b，丙对c各一盘.已知甲胜a、乙胜b、丙胜c的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【思路点拨】（）本题考查的是相互独立事件发生的概率，红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人获胜的概率和红队有三人获胜的概率之和. （

29、）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出的所有值，并求出每个值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【精讲精析】（）记甲对a、乙对b、丙对c各一盘中甲胜a、乙胜b、丙胜c分别为事件,则甲不胜a、乙不胜b、丙不胜c分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为.（）依题意可知，；;.故的分布列为0123p0.10.350.40.15故.9.（2011辽宁高考理科19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品

30、种乙（i）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为x，求x的分布列和数学期望；（ii）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的样本方差，其中为样本平均数【思路点拨】（i）先根据古典概型结合排列组合的知识求分布列，再利用公式求数学期望；（ii）先求平均数，再求方差，最后下结论【精讲精析】()可能的取值为且 ， ，. 即的分布列为 01234 的数学期望为 + ()品种甲的每公顷产量的样本平均数和样

31、本方差分别为： ， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： ，. 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 10.（2011北京高考理科t17）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.甲组 乙组9 9 0 x 8 91 1 1 0（）如果x=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数y的分布列和数学期望.（注：方差，其中为的平均数）【思路点拨】（）代入平均数、方差公式进行计算；（）先

32、求出y的所有可能取值，再分别求出概率，最后计算数学期望.【精讲精析】（）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，所以平均数为；方差为.（）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树总棵数y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此p(y=17)=, 同理可得 .所以随机变量y的分布列为：y1718192021p=19.11（2011湖南

33、高考理科t18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（）求当天商店不进货的概率；（）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数学期望.【思路点拨】本题主要考查互斥事件、独立事件、对立事件、分布列、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解决此类问题要注意根据事件的性质识别概率模型，而能否正确列出分布列则将直接影响数学期望的求解.它的解题步骤是：一想，想试验和试验的

34、基本事件.二设，设试验的基本事件和要解决的复合事件.三建，建立目标事件和基本事件的关系.四算，算概率，算的依据是对立事件、互斥事件和独立事件.五答.【精讲精析】（i）p（“当天商店不进货”）=p（“当天商品销售量为0件”）+p（“当天商品销售量1件”）=.（ii）由题意知，的可能取值为2，3. ； 故的分布列为23的数学期望为.12（2011江西高考理科16）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为a饮料，另外4杯为b饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯a饮料.若4杯都选对，则月工资定为3 5

35、00元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令x表示此人选对a饮料的杯数，假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力. （1）求x的分布列； （2）求此员工对月工资的期望.【思路点拨】（1）根据超几何分布的概率模型，易得x的分布列.（2）结合第一问月工资为3 500的概率对应x=4的概率，2 800对应x=3的概率,2 100对应x2的概率，易得此员工对月工资的期望.【精讲精析】.x的分布列为：x01234p 13（2011陕西高考理科t20）如图，a地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）1

36、0202030304040505060的频率的频率0现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站（）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（）用x表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（）的选择方案，求x的分布列和数学期望.【思路点拨】（）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（）首先确定x的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望【精讲精析】（）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概

37、率，则有：，；，甲应选择路径；，；，乙应选择路径（）用a，b分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知，又事件a，b相互独立，的取值是0，1，2，x的分布列为012p0.040.420.5414.（2011天津高考理科t15）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.【思路点

38、拨】（）根据古典概率、互斥事件的概率公式求解；（）先求出独立事件的概率、再求数学期望.【精讲精析】 （i）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则（ii）设“在1次游戏中获奖”为事件b，则，又且a2，a3互斥，所以（ii）由题意可知x的所有可能取值为0，1，2. 所以x的分布列是x012p x的数学期望 （2012高考）一、填空题1.（2012湖南高考文科13）如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_.(注：方差，其中为x1，x2，xn的平均数) 【解析】，.【答案】6.8二、解答题2.（2012浙江高考理科19）已知箱中装有4个白

39、球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量x为取出此3球所得分数之和.（1）求x的分布列.（2）求x的数学期望e（x）.【解析】（1）x=3，4，5，6，所以x的分布列为：x3456p(2)x的数学期望e（x）=.3.（2012陕西高考理科20）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频 率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的

40、概率.（）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.【解析】设表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得的分布列如下：12345p0.10.40.30.10.1（）a表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件a对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以.（）方法一:x所有可能的取值为0，1，2.对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以；对应第一个顾客办理业务所需的时间为1

41、分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以；x=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以,所以x的分布列为x012p0.50.490.01.方法二：x所有可能的取值为0，1，2.对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以；x=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以；所以；所以x的分布列为x012p0.50.490.01.4. （2012辽宁高考理科t19）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该

42、体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. ()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ ()将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望和方差.附：【解题指南】()据频率分布直方图可计算“体育迷”， “非体育迷”人数，按照提供的公式，计算相关数值，与所给数据比较，获得结论；（）将所有的基本事件罗列，很容易解决问题.【解析】()由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为，“非体育迷”人数为75，则据题意完成列

43、联表：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表的数据代入公式计算： .因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为x0123px的数学期望为，x的方差为.5.（2012安徽高考理科17）某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类型试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试

44、题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类型试题的数量.（）求的概率.（）设，求的分布列和均值（数学期望）.【解题指南】（i）根据得到两次调题均为类型试题，进而求出概率；（）先求出随机变量的可能取值，再求出取每个值的概率，列出分布列，求出均值.【解析】（i）表示两次调题均为类型试题，概率为.（）时，每次调用的是类型试题的概率为， 随机变量可取，其中x=n,x=n+1,x=n+2,分别意味着两次调题都是b类型试题、一次a类型试题和一次b类型试题（先a后b与先b后a）、两次调题均为a类型试题，对应概率为，分布列是均值.答：（）的概率为； （）分布列（见上表），的均值为.6. （2012新课标全国高考

45、理科t18）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式. （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【解题指南】

46、(1) 根据题意建立利润与需求量的分段函数；(2)利用公式求期望与方差，注意随机变量x代表利润；（3）比较购买17枝与16支的期望，期望越大越好.【解析】（1）当时，. 当时， 得：. （2）（i）可取， . 的分布列为 . .（ii）购进17枝时，当天的利润为， 得：应购进17枝.7.（2012江西高考理科18）如图，从a1（1,0,0），a2（2,0,0），b1（0，1，0），b2（0,2,0），c1（0,0,1），c2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点o两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量v（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积

47、v=0）.(1)求v=0的概率.(2)求v的分布列及数学期望.【解题指南】（1）列出v0时的三个点的坐标的可能情况，然后除以总的基本事件数即得概率，列举时若情况较多，可用排列组合的知识解决；（2）求出v取各个值时对应的概率，列分布列，求出数学期望.【解析】（1）从6个点中随机选取3个点总共有种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有种，因此的概率为（2）v的所有可能取值为，因此的分布列为vp由v的分布列可得8.（2012山东高考理科19）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分.该

48、射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（）求该射手恰好命中一次的概率.（）求该射手的总得分的分布列及数学期望.【解题指南】（）利用间接法来求解，分两类，命中甲一次，命中乙一次.（）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出得分的所有值，并求出每个得分所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【解析】() 由于射手每次射击的结果相互独立，所以p（命中一次）=.() 由题意知得分x的可能取值为0,1,2,3,4,5，因此随机变量x的分布列为x012345p所以9.（2012天津高考理科16）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味

49、性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率. （）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. （）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，设“4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件，则，（）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.（）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件b，则,由于与互斥，故所以，这4个人中去参加

50、甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.（iii）的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故所以的分布列是024p随机变量的数学期望=.10. （2012湖南高考理科17）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【解析】（）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 的分布列为x11.522.53px的数学期望为 .（）记a为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 ，由于各顾客的结算相