电磁场07解答证明教材

1、1. 如题（ a ）图所示，在 z 0的下半空间是介电常数为 的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷 q 。求（1） z 0和 z 0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明 表面上极化电荷总电量等于镜像电荷 q 。h0z qo题 4.24图（ a ）解 （1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电 荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（ c）所示）0q ，位于 z hq00 q， 位于 z h上半空间内的电位由点电荷 q和镜像电荷 q 共同产生，即1 q q010 r2 (z h)21 4

2、 0R1 4 0R q14 0 r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷 q和镜像电荷 q 共同产生，即 q q q 12 4 R2 2 （ 0） r2 （z h）22）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为p n P1 P2 z 0 0(E1z E2z) z 00( z2z1) z 0zz(0)hq22 3 22 (0)(r2 h2)3 2极化电荷总电量为qPPdSP2 rdrS0( 0)hqr2 2 320 0 (r 2 h2)32dr( 0)q q 02. 一个半径为 R 的导体球带有电荷量为 Q ，在球体外距离球心为 D 处有一个点电荷 q 。（1）求点电荷 q 与 导体球之

3、间的静电力；（2）证明当 q 与Q同号，且QRD3R2 2 2 q (D2 R2 )2 D成立时， F 表现为吸引力解 （1）导体球上除带有电荷量Q 之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜 像法，像电荷 q 和q 的大小和位置分别为（如题图所示）DqR2Dq q DRq ，d0导体球自身所带的电荷Q 则与位于球心的点电荷Q 等效。故点电荷q受到的静电力为F Fq q Fq q FQ qqq q(D q )4 0(D d )2 4 0D2q Q （R D）q Rq224 0 D D D R D 22）当q与Q同号，且F 表现为吸引力，即 F 0时，则应有由此可得出Q (

4、R D)qRqD2DD RD 2 2 0RD32Q2 2 2 q(D2 R2 )2 D3. 如题5.8所示图，无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为 1和 2种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度 B1和B2 ；磁化电流分布。解 （ 1）由安培环路定理，可得z的两（2）I102x所以得到B1B22）磁介质在的磁化强度2r0H0I2rIe2r1B220e ( 2 0r)I2 0r则磁化电流体密度Jm1 ezrddr(rM ) ez( 2 00)I 1r ddr(r 1r) 0在r 0处， B2具有奇异性，所以在磁介质中r 0处存在磁化线电流I m 。以z轴为中心、 r 为半径故得到1

5、II I m 1 B d l I0 C 0作一个圆形回路C ，由安培环路定理，有H1(P1)H 2(P1)lhH 1 (P2 ) H 2 (P2 )12题 5.9 图( 0 1)I在磁介质的表面上，磁化电流面密度为e (0 )IJ mS = M ? ez z= 0 2 0r4. 如题图所示，一环形螺线管的平均半径 r0 15cm，其圆形截面的半径 a 2 cm，鉄芯的相对磁导率 r 1400，环上绕N 1000匝线圈，通过电流 I 0.7A。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个l0 0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的 r 不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解

6、 （1）由于 a r0 ，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为NI2 r0与螺线管铰链的磁链为NS Ha2N2I2r0I 题 5.12 图故螺线管的电感为a2N22r07221400 4 10 7 0.022 10002 2 0.152.346 H（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁 场只有法向分量。根据边界条件，有B0 B B ，但空气隙中的磁场强度H 0与铁芯中的磁场强度 H 不 同。根据安培环路定律，有H0l0 H (2 r0 l0) NI又由于B00H0 、B0 r H 及B

7、0 B B ，于是可得B 0 r NI rl0 (2 r0 l0 )所以螺线管内的磁链为NSB0 ra2N 2Irl0 (2 r0 l0)故螺线管的电感为0 ra2N 2 rl0 (2 r0 l0)2 7 2 20.944 H4 2 10 7 1400 0.022 100021400 0.001 2 0.15 0.0013)空气隙中的磁场能量为12Wm00H 02Sl02鉄芯中的磁场能量为12 Wm 2 0 rH 2S(2 r0 l0)故Wm0rl01400 0.001 1.487Wm 2 r0 l0 2 0.15 0.001 1.4875. 一根半径为 a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 B e

8、zB0中与 z轴平行。设棒以角速度 绕轴作等速旋 转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为E v B e r ez B0 er r B0故介质棒内的极化强度为P Xe 0 E er ( r 1) 0r B0 er(0)r B0极化电荷体密度为r1 r (0)r 2 B0rr1P P (rP) rr 2( 0) B0极化电荷面密度为P P n er (0)r B0 er r a (0)a B0则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为22QP a 1 P 2 a (0) B02QPS 2 a 1 P 2 a2(0) B06. 一圆

9、柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为l。设外加电压为U0 sin t ，试计算电容 器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为 相同(准静态电场)，即U0 sin t E er r r ln (b a)故电容器两极板间的位移电流密度为DU 0 cos tJderdtrrln (b a)id Jdserrd dzdS 02 0l U0 cos t式中，2lln( b a)2lln(b a)U0 cos t C U0cos t是长为 l 的圆柱形电容器的电容0 0 r ln(b

10、a)流过电容器的传导电流为ic CdUdtC U0 cos t可见id ic7. 已知在空气中E ey0.1sin10 xcos(6 109tz)，求H 和 。(提示将 E 代入直角坐标中的波方程，可求得 。) 解 电场 E 应满足波动方程2 E 0 0 E2 0将已知的E eyEy 代入方程，得2E2E2Ex2z2式中2Eyx20.1(10 )2 sin10 xcos(6 109t z)20.1sin10 x 2 cos(6 109t z)Ey2 z0.1 0 0 sin10 x (6 109)2 cos(6 109tz)故得(10 )2 2 0 0(6 109)2 0 则300 54.41

11、rad/m由E1 exx0EyzezExyx19 ex0.1 sin10 x sin(6 109tz)ez0.1 10 cos10 x cos(6 109t z)将上式对时间t 积分，得 19 ex 0.1 sin10 x cos(6 109tz0 6 109 xez cos10 x sin(6 109tz)49ex2.3 10 4 sin10 x cos(6 109t 54.41z)ez1.33 10 4 cos10 x sin(6 109t 54.41z)A/m8. 在自由空间中，已知电场E(z,t) ey10 sin( t z)V/m ，试求磁场强度 H(z,t) 解 以余弦为基准，重新

12、写出已知的电场表示式E(z,t) ey103 cos( t z2)V/m这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 90 。与之相伴的磁场为1 1 3H (z,t)ez E (z,t)ez ey10 cos t z0 0 2 103excos t zx2120ex 2 65sin( tz)A/m1 A/m 9.均匀平面波的磁场强度 H 的振幅为3，以相位常数 30rad/m在空气中沿 ez方向传播。当 t=0和z=0时，若H 的取向为 ey ，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式1Hey cos( t z)A/m3与之相伴的电场为1E

13、0 H ( ez) 120 ey cos( t z) ( ez)3ex 40cos( t z)V/m由 rad/m 得波长 和频率 f 分别为0.21mvp c 3 1089 Hz 1.43 109 Hz 0.212 f 2 1.43 109 rad/s 9 109 rad/s则磁场和电场分别为19Hey cos(9 109t 30 z) A/m39E ex 40cos(9 109t 30z)V /m10. 海水的电导率 4S/m ，相对介电常数 r 81。求频率为 10kHz、100kHz、1MHz 、10MHz、100MHz、 1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。2. 解

14、先判定海水在各频率下的属性8.8 1082 f r 0 2 f 81 0可见，当 f 10 Hz时，1满足 ，海水可视为良导体。此时c (1 j)f0f=10kHz时10 103 4 10 7 4 0.126 0.396 Np/m220.12615.87 m10 103 4 10 7 c (1 j)0.099(1 j)5m0.314(1 j)4(1 j)100 103 4 10 7223.961.587mf=100kHz时100 103 4 10 7 4 1.26 Np/m 1.26f=1MHz时106 4 10 7 4 3.96Np/m106 4 10 7c (1 j) 0.99(1 j)f

15、=10MHz时10 106 4 10 7 4 12.6Np/m2212.60.5m(1 j) 10 106 4 10 73.14(1 j)1当 f=100MHz 以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，2f0 ( r 0)1 j (2 f r 0)f=100MHz时37.57Np/m42.1rad/m20.149m421 j8.914.05e j 41.8f=1GHz时69.12Np/m203.58rad/m20.03m4236.5ej20.81 j0.8911. 有一线极化的均匀平面波在海水( r 80, r 1,4S/m)中沿+y方向传播，其磁场强度在 y=0 处为H ex0.1si

16、n(1010 t /3)A/ m(1)求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；(2)求出 H 的振幅为 0.01A/m 时的位 置；(3)写出 E(y,t)和 H(y,t)的表示式。100.184 3610 10 9解 ( 1) 1010 80 0 1010 80 10 910可见，在角频率 10 时，海水为一般有损耗媒质，故1 ()2 11 0.18283.9 Np/m1 ( )2 1221010 80 0 0101080 0 0 1 0.182 1 300 rad/m21 j0.1842.151.008e j0.028 41.82evp10100.333 108m/sp300

17、223006.67 10 3mc 1 1 11.92 10 3mc 83.92)由0.01 0.1 e y即e y 0.1 得1 1 3 y ln10 2.303m 27.4 10 3m 83.9H (y,t) ex 0.1e 83.9 y sin(1010 t 300 y )A/m (3)3其复数形式为jH (y) ex0.1e 83.9ye j300 ye 3 A/m故电场的复数表示式为11j 0.02883.9y j(300 y )E(y) cH(y) ey 41.82ej0.028 0.1e 83.9y e 3 2 ex eyez4.182e83.9ye j(300 y 3 0.028 2) V/mE(y,t) ReE (y)ej tez4