专的题目：平面的向量常见的题目型与解的题目指导

1、平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题， 掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决

2、实际问题的能力。3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题2以解答题考查圆锥曲线中的典型问题此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主3向量在空间中的应用（在 B类教材中）在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究 三维空间几何图形的性质在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本因此，掌握双基、精通课本是本章关键 .分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对 于和解析几何相关的线段的定比分

3、点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化 运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类 是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各

4、种 运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐 标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思 想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是 重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。精彩文档二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件例1 :已知a是以点 A(3, 1)为起点

5、，且与向量 b = ( 3,4)平行的单位向量，则向量 a的终点坐标是a思路分析：与a平行的单位向量e=|a|方法设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知18，故填(12，- 1 )或(18，- 9 )5555方法与向量b = (-3,4)平行的单位向量是土1 3 4一(-3,4)，故可得a = (-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=55 5a (3, 1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向 量、同向向量、反向向量、单位向量等概念例2:已知| a |=1,| b |=1, a与b的夹角为

6、60 , x =2a b, y=3b a，则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角需求出|x|,|y|,x2 y的值.计算时要注意计算的准确性.1解：由已知 |a|=|b|=1, a 与 b 的夹角 a为 60 ,得 a2 b=|a|b|cos c=- .n2匕要计算x与y的夹角0,需求出|x|, |y|, x2 y的值.2 2 2 2 2 1|x| = x =(2a b) =4a 4a2 b+ b =4 43+仁3 ,22 2 2 2 2 1|y| = y =(3b a) =9 b 6b2 a+a =9 63+仁7.22 2x2 y=(2a b)2 (3b- a)=6a2 b

7、 2a 3b + a2 b2213=7a2 b 2a 3b =73 2 3=2 23 rr= -14又 x2 y=|x|y|cos 0 即一=、33 7 cos 0 /. cos2点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 AB=b, AC= a, AD =2a,Z BAC=60。.由向量减法的几何意义，得BD = AD AB =2a b.由余弦定理易得|BD |= 3，即|x|= , 3，同理可得 |yi 7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1.平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3, 1) , B( 1,3),若

8、点C满足0C =0A0B，其中：，卜 R且： +卜=1，求点C的轨迹方程。= 3a _ 0 y =a +3 P解：(法一)设 C(x,y),则 OC=(x,y)，由 OC =(x,y)=皿3,1)+ 阡1,3)=(3 a-3 a+3 (可从中解出 a 3)又T a+ 3= 1 消去a 3得x+2y-5=0A , B , C三点共线，故点 C的(法二)禾U用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知: 轨迹方程即为直线 AB的方程x+ 2y 5=0,例2.已知平面向量a= ( ,3 , 1), b =(丄，).(1)若存在实数k和t,便得x = a+ (t2 3)b, y= ka+

9、tb, 2 2且x丄y,试求函数的关系式k = f(t); (2)根据(1)的结论，确定k = f(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式 k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？t2 -2 3 - 33t2 -2 3 - 2解：(1)法一：由题意知 x=(,),2 21 _3y= (t ,3k, t+ k)，又 x丄y2 2,t2_2j3-31 口巧t2_2J3-2 0 得 tv 1 或 t 1.故k = f(t)的单调递减区间是(一 1, 1 )，单调递增区间是(一8,一 1

10、)和(1，+m).点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两 个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用- - 1 . 3例3:已知平面向量a = ( . 3 , 1), b =(,)，若存在不为零的实数k和角a，使向量C = a + (sin2 2a 3)b , d = k a + (sin a ) b ,且c丄d，试求实数k的取值范围.13 29解

11、：由条件可得：k = ( sin a) 一 而1 w sin a 1,42161当sina= 1时，k取最大值1;sina= 1时，k取最小值2又 2 0 k的取值范围为-1,0)(0,1.2点拨与提示：将例题中的t略加改动,旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4 :已知向量 a=(i“),b=(r2i),若正数k和t使得向量2 1x = a (t1)b与 y = -kab 垂直，求t2l 1 T解：x _ y = x y = 0即a(t 1)b ( - ka b) = 022 t 1 212-kab a b - k(t 1)a b = 0tt/

12、a=(1,、.2),b(-21)，二 |a|= 3 , |b|= .32_t 亠 11b = 2 +2 ,代入上式 3k + 3ttt1当且仅当t=，即t=l时，取“=”号，即 k的最小值是2.t题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查例 7.设函数 f (x)= a b,其中向量 a= (2cosx , 1), b= (cosx, J3 sin2x), x R. (1)若 f(x)= 1 J3 且 x ,3,求x; (2)若函数y= 2sin2x的图象按向量c3(m , n) ( m )平移后得到函数 y=

13、 f(x)的图象，求实数m、2n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能,解:(1)依题设，f(x)=( 2cosx, 1 )2 (cosx, , 3 sin2x)= 2cos2x+ . 3 sin2x= 1 + 2sin(2x+)6- 3由 1 + 2sin(2x+)=1 .3，得 sin(2x+)=.6 6 2-5 二 w x, . w 2x+ w ,. 2x+=,即 x =.33266634(2)函数y= 2sin2x的图象按向量c=( m , n)平移后得到函数y = 2sin2(x m)+n的图象，即函数 y= f(x)的图象.兀I

14、兀由(1)得 f (x) = 2sin2(X 秽1 V m -，JI m= 一 , n = 1.12实用标准文案点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径一般地，函数y= f (x)的图象按向量a= (h , k)平移后的函数解析式为y k= f (x h)、例 8:已知a=(cos asina), b=(cos 3sin ) (0 aBn, (1)求证：a+ b 与a-b 互相垂直；(2)若ka+ b 与a-kb的模大小相等(k R且k工0)，求3- a解：(1

15、)证法一：/ a = (cos a, sin a) ,b= (cos 3sin 3二 a+ b=( cos a cos 3 sina+ sin 3 ,a- b=( cos a-cos 3 sin a sin 3(a+b) (-a-b)= (cos a+cos 3 sin a sin 32 (cos a-cos 3 sin a sin 32 2 2 2=cos acos 3+sin a sin 3=0(a+b)丄(a- b)证法二：/ a=(cosa,sina),b=(cos 3sin3- |a|= 1,|b|= 12 2 2 2 (a+b) (-a-b)= a -b = |a|-|b| =0

16、(a + b)丄(a-b)证法三：/ a=(cos a, sin a),b=(cos 3,sin3-|a|=1,|b|= 1,记 OA = a, OB = b,则 |OA|=|OB|=1,又a 3, 0、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、0B为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中OC = a+ b, BA =a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+ b)丄(a-b)(2)解：由已知得 |ka+b|与|a-kb|,又/ |ka+ b| = (kcosa+cos3) +(ksin a+sin 3) =k +1+2 kcos( 3 M,2 2 2 2|ka+ b| = (cosa

17、kcos 3 +(sin a-ksin 3) =k +1-2 kcos( 3 a, 2 kcos( 3 a= -2 kcos( 3 a又 kM 0- cos( 3 a = 0冗-0 a 3 n - - 0 3 a n,- - 3 a 2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的

18、几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9 :设G、H分别为非等边三角形 ABC的重心与外心，A(0 , 2), B (0, 2)且GM二AB (入 R). (I)求点C(x, y)的轨迹E的方程；(H)过点(2, 0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设OP=OM ON , 是否存在这样的直线 L,使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由实用标准文案思路分析：(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系(2)根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得 k的值.解: (1)由已知得 G( /),又GHAB，二 H( ,0)3 332 2/ CH=HA二(X )2 y2 = (；)2 4 即1(X 二2. 3)3 3124(2)设I方程为y=k(x-2)，代入曲线2 2 2 2E 得(3k +1) x -12k x+12(k -1)=0设 N(X1, y1), M (X2,y2),则12k2X1 +X2=23k2 +1X1 X2=212(k -1)3k21 OP =ON OM四边形OMPN是平行四边形若四边形OMPN是矩形，则ON _OM二 X1 x2+y1 y2=0k2( 卓 4)3k213k21 3k2 1直线 l 为：y= y = _亦-2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题2