matlab求定积分之实例说明99922

1、符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被枳函数或 符号表达式s求不定积分：int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分：int(s,v.a.b)：求左积分运算。a.b分别表示左积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a.b 上的世积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。 当函数f关于变量x在闭区间a.b上可积时，函数返回一个泄积分结果。当a.b中有一个是 inf时，函数返回一个广义积分。当a.b中有一个符号表达式时，函数返回一个

2、符号函数。 例：求函数2+尸2+2人2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z枳分下限是sqrt(x*y),积分 上限是2*y：对y积分下限是sqrt(x),积分上限是2：对x的积分下限1,上限是2,求 解如下：syms x y z %定义符号变量F2=int(int(int(xA2+yA2+zA2,z,sqrt(x*y),xA2*y),y,sqrt(x),xA2),x,l,2) %注意定积分的书写格式 NORMINV(probability,mcan.standard_dev)Probability正态分布的概率值。Mean分布的算术平均值。Standard_dev分布的标准偏差。F2 =16

3、10027357/6563700-6072064/348075*2A( 1/2)+14912/4641 *2A( 1 /4)+64/225*2A(3/4) %给出有 理数解VF2=vpa(F2) %给岀默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1. 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿 一柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个 积分区间a, b分成n个子区间xi,xi+l, i二1,2,n,其中xl=a, xn+1二b。 这样求定积

4、分问题就分解为求和问题。2. 数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了 quad函数来求定积分。该函数的调用格式 为：I, n=quad(, fname, a, b, tol, trace)基于变步长、牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了 quadl函数来求 定积分。该函数的调用格式为：I, n二quadl ( fname, a, b, tol, trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积 分精度，缺省时取tol二0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现 积分过程，取0则不展现，缺省时取t

5、race二0。返回参数I即定积分值，n为被 积函数的调用次数。例：求函数exp(-x*x)的定积分，积分下限为0,积分上限为1。fun二inline( exp(-x. *x), x) ; %用内联函数定义被积函数 fnameIsim:quad (fun, 0, 1) %辛普生法Isim =0. 746824180726425IL二quadl (fun, 0, 1) %牛顿一柯特斯法IL 二0. 746824133988447三、梯形法求向量积分trapz (x, y)梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方 法)。d二0 001;x=0:d: 1;S=d*trapz (exp

6、 (-x. 2)s=0. 7468nV.format long gx=0：0. 001:1;紙向量，也可以是不等间距y二exp(-x. 2) ; %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量S=trapz (x, y) ; %求向量积分S =0.746824071499185int的积分可以是定积分，也可以是不定积分(即有没有积分上下限都可以积) 可以得到解析的解，比如你对2积分，得到的结果是1/3水x“3,这是通过解析 的方法来解的。如果int(x2,x, 1,2)得到的结果是7/3quad是数值积分，它只能是定积分(就是有积分上下限的积分)，它是通过 simpson数值积分来求得的(并不是通过

7、解析的方法得到解析解，再将上下限代 入，而是用小梯形的面积求和得到的)。如果f=inline(x.2);quad(f,l,2) 得到的结果是2. 333333,这个数并不是7/3int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度 限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。 FROM: 58. 192. 116. *对于y二exp(-(x. 2+x+l)/(l+x),被积函数之原函数无封闭解析表达式，符号 计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下： syms xy=exp (- (x. 2+x+l)/ (1+x)s=int (y, x,

8、0, inf)y 二exp (-x2-xT)/ (1+x)Warning: Explicit integral could not be found In sym. int at 58s =int (exp (-x2-xT) / (1+x), x = 0 . Inf)只有通过数值计算解法 dx=0. 05; %采样间隔x=0:dx:1000; %数值计算适合于有限区间上，取有限个釆样点，只要终值足够 大，精度不受影响y=exp (-(x. 2+x+l). /(1+x);S=dx*cumtrapz (y) ; %讣算区间内曲线下图形面积，为小矩形面积累加得S (end)ans =0. 5641

9、%所求定积分值或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：%表达式保存为函数文件function y=fxy(x)y二exp (一(x2+x+l)/(1+x): % save fxy. m% main主程序clear,clch二.001; p二0; a0;R二inputC请输入积分上限，R二)while a0el 二2;endendif n2=0e2=l;else 辻 n20e2 二2;endend辻 n3=0e3=l;else if n30e3=2;endendF=(x, y, z) sqrt(el*e2*e3)*cos(nl*pi*x/12). *cos(n2*pi*y/ll).*cos (n

10、3*pi* z/9);S=triplequad(F, -6, 6, -5. 5, 5. 5, -4. 5, 4. 5) %求三重数值积分将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行: Fn(l, 1,1)S =866. 9655FROM: 211.65. 33. *三重积分请用三重积分函数triplequad ,与三个积分上下限对应，即 x=triplequad(F, 一6, 6, 一3 5, 3 5, 一4. 5, 4. 5)其中被积函数F用”匿名函数来表达，即F=(x,y,z)sqrt(el*e2*e3)*cos(nl*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/ll).*cos(n3*pi*z/9);如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是 el,e2,e3,nl,n2,n3,x,y,z而用匿名函数时,已知变量el,c2,c3,nl,n2,n3就会以常数看待，未知 数就只有x,y,z T -完整函数程序：function Fn(nl,n2,n3)if n l=0el=l;else if nl0el=2;endendif n2=0e2=l;else if n20e2=2;endendif n3